Harry-Dym方程的推廣

王麗真，黃 晴，左蘇麗

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系，陜西西安 710127)

研究方程的可積性是可積系統(tǒng)中的重要而基本的問題。在對稱方法中，無窮多高階對稱的存在性或局部守恒律的存在性被認(rèn)為是某種可積性的定義。這種方法的主要目的是得到容易被證實的可積性的必要條件，辨識可積的情形并給出可積系統(tǒng)的完全的刻畫和分類。

本文研究推廣的Harry－Dym方程

其中ci(i=1，2，…，10)為任意常數(shù)。當(dāng)c5=1，其他常數(shù)取零時，方程(1)為Harry－Dym方程。這個由非線性項和耗散項耦合的方程是在表面張力的 Saffman－Taylor問題的分析中產(chǎn)生的[1]。Harry－Dym方程具有完全可積性，有孤子解，有B?cklund變換，Painleve性質(zhì)和無窮多個守恒律[2－4]。文獻(xiàn)[5]利用直接方法給出了 Harry－Dym方程的Cusp型單孤子波解。利用Adomian分解、何氏變分迭代、直接積分及冪級數(shù)，文獻(xiàn)[6]建立了Harry－Dym方程的行波解。文獻(xiàn)[7－9]研究了Harry－Dym方程的其他性質(zhì)。

文獻(xiàn)[10－11]利用符號表示的方法研究了Camassa－Holm類方程并分離出了可積的情形。受此啟發(fā)，本文中將Harry－Dym方程推廣為四次齊次的三階方程(1)，并利用文獻(xiàn)[11]中的方法分離出其中的可積方程類。

1 預(yù)備知識

1.1 基本定義

設(shè)R是關(guān)于 u，uxx，uxxx，… 的微分多項式在復(fù)數(shù)域C上的環(huán)。簡單起見，記。環(huán) R 是具有導(dǎo)數(shù)

的微分環(huán)。這個環(huán)有一個自然的相對于u及它的關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)的非線性程度的分級

其中Ri={f(u，u1，…，uk)∈R|f(λu，λu1，…，λuk= λif(u，u1，…，uk)}λ∈C?？臻gR0=C，R1是關(guān)于 u，uxx，uxxx，… 的線性多項式的空間，R2是二次多項式的空間。記

記R+為沒有單位元的微分環(huán)

1)對于線性項ui∈R1，定義其符號表示為

2)對于二次項uiuj∈R2，定義其符號表示為

下面給出R上的加法、乘法和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的符號表示形式。設(shè)f∈Ri，g∈Ri是兩單項式，它們的符號表示分別為 f→(ξ1，…，ξi)和 g→(ξ1，…，ξj)，則

Dx(f)→(ξ1，…，ξi)(ξ1+ … + ξi)。

對于符號表示中的算子Dx，定義特殊的符號η滿足

一般地，考慮級數(shù)

其中 ak(ξ1，…，ξk，η)是關(guān)于 ξ1，…，ξk的對稱函數(shù)。其加法法則是顯然的，而復(fù)合運(yùn)算為…，

其中對稱運(yùn)算是關(guān)于變量ξ1，…，ξi+j而不是關(guān)于η的。

下面給出擬微分算子的局部性概念。

定義1 函數(shù)a(ξ1，…，ξi，η)被稱為局部的，如果在η→∞ 時，它關(guān)于η的展開式

中的所有系數(shù) aj(ξ1，…，ξi)是變量 ξ1，…，ξi的對稱多項式。

如果式(2)中所有的函數(shù) aj(ξ1，…，ξj)(j=1，2，…)是局部的，則稱式(2)是局部的。

定義2 擬微分算子

則Frechet導(dǎo)數(shù)f*的符號表示為

1.2 符號表示中的對稱和近似對稱

設(shè)F∈R+，研究形如

的方程，其中Δ(F)的符號表示為

G=G1+ … +Gm，Gi∈，i=1，…，m。設(shè)Gi∈的符號表示為

則G的符號表示為

命題1 具有符號表示(4)的方程容許具有符號表示(5)的對稱生成子的充分必要條件是式(5)中Ai滿足如下條件

其中

定義3 一個擬局部形式級數(shù)稱為方程(3)的形式遞歸算子如果滿足

定理1[10]如果方程(3)容許無窮多個高階對稱，則它具有形式遞歸算子(6)，Φ(η)=η。

方程(7)的解還可以用函數(shù) Φi(ξ1，…，ξi，η)表示。

命題2 設(shè)Φ(η)是任意函數(shù)且形式級數(shù)Λ = Φ(η)+(ξ1，η)+(ξ1，ξ2，η)+ …是方程(7)的解，則其系數(shù)Φm(ξ1，…，ξm，η)由如下遞推公式確定

定理1和命題2表明方程(3)的可積性測試的步驟為:

1)計算方程(3)的符號表示并且計算首次系數(shù) Φi(ξ1，…，ξi，η)(i=1，2，…);

2)檢查擬局部性條件。

本文使用以上方法來推廣可積Harry－Dym方程，得到推廣的可積方程形式。

2 定理及其證明

本節(jié)給出關(guān)于Harry－Dym類方程(1)的可積性的以下結(jié)論。

定理2 若在c2，c5不全為零時方程(1)具有無窮多的擬局部高階對稱，則在尺度變換

x → αx，t→ βt，u → γu，

(其中α，β，γ為常數(shù))的意義下，方程(1)必為下列方程之一

證 明 對u作平移變換u→u－1，可得新方程

其中Fi為i次齊次多項式，即

下面由符號表示方法推導(dǎo)方程(12)的可積性條件。

1.由F1的符號表示為 ^u(－ c1ξ1－－可得:ω(ξ1)= － (c1ξ1++)。F2的符號表示為

由定義

知

1)當(dāng)c5=0時，上式表明Φ1可以表示為的形式，其中系數(shù)c(ξ1)是ξ1的多項式。

2)當(dāng)c5≠0時，

其中Φ1n(ξ1)是ξ1的多項式。

綜合以上兩種情形可知，任何情形下Φ1(ξ1，η)是擬局部的。

2.F3的符號表示為

由定義可知

這里及下文中，由于Φi的形式復(fù)雜冗長，為簡潔起見，我們略掉它們的具體表達(dá)式。

1)當(dāng)c5=0，c2≠0時，要讓Φ2是局部的即

其中 Φ2s是 ξ1，ξ2的多項式，必須有成立。

2)當(dāng)c2=c3=0，c8=c10，c5≠0時，Φ2是局部的。

3.F4的符號表示為

由定義可知

對于任意的ci，Φ3非常復(fù)雜。結(jié)合前面的討論可知，要讓方程(12)可積，只需討論以下兩種情形:

(3.1)當(dāng)c2≠0，c3=時，要讓Φ3是局部的，只要

c2≠0=c5=c6=c7=c8=c9=c10=0，此時方程為(8)。

(3.2)當(dāng) c2=c3=0，c8=c10，c5≠0 時，需分c9=0和c9≠0兩種情況來討論。

(3.2.1)當(dāng)c9=0時，有以下幾種情形:

1)c2=c3=c4=c6=c7=c8=c9=c10=0，c5≠0時，Φ3是局部的，此時得到方程(9)，即為Harry－Dym方程。

2)c1=c2=c3=c6=c7=c8=c9=c10=時，Φ3是局部的，此時可得方程(10)。

3)c2=c3=c6=c7=c8=c9=c10=0，c5≠0，c4=3c5時，Φ3是局部的，此時可得方程(11)。

(3.2.2)當(dāng) c9≠0 且9=c2=c3=c6=c8=c10=0，時，要讓Φ3是局部的，只有c2=c5=0成立，這與定理的題設(shè)c2，c5不全為零矛盾。故此種情形方程(12)不可積。

綜合以上討論，定理得證。

[1]KADANOFF L P.Exact solutions for the Saffman－Taylor problem with surface tension[J].Physical Review Letters，1990，65(24):2986－2988.

[2]NEWELL A C.Solitons in Mathematics and Physics[M].CBMS－NSF SIAM，1985:48.

[3]PALAIS R S.The symmetries of solitons[J].Bulletin of the American Mathematical Society，1997，34(4):339－403.

[4]WADATI M，ICHIKAWA Y H，SHIMIZU T.Cusp soliton of a new integrable nonlinear evolution equation[J].Progress of Theoretical Physics，1980，64:1959－1967.

[5]HEREMAN W，BANERJEE P P，CHATTERJEE M.Derivation and implicit solution of the Harry Dym equation and its connections with the Korteweg－de Vries equation[J].Journal of Physics.A:Mathematical and General，1989，22(3):241－255.

[6]MOKHTARI R.Exact solutions of the Harry－Dym equation[J].Communication in Theory Physics，2011，55:204－208.

[7]QIAO Zhi－jun.Commutator representations of nonlinear evolution equations:Harry－Dym and Kaup－Newell cases[J].Nonlinear Mathematical Physics，1995，2(2):151－157.

[8]GUO Ben－yu，ROGERS C.On Harry－Dym equation and its solution[J].Science in China(series A)，1989，32(3):283－295.

[9]PEDRONI M，SCIACCA V，ZUBELLI J P.The Bi－Hamiltonian theory of the Harry－Dym equation[J].Theoretical and Mathematical physics， 2002， 133(2):1585－1597.

[10]MIKHAILOV A，NOVIKOV V S.Perturbative symmetry approach[J].Journal of Physics A:Mathematical and General，2002，35:4775－4790.

[11]NOVIKOV V.Generalizations of the Camassa－Holm equation[J].Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical，2009，42(34):342002.