對(duì)數(shù)學(xué)問題鏈的再認(rèn)識(shí)與實(shí)踐

鄒宗平

問題是數(shù)學(xué)的心臟，這是人們對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展史的高度概括，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻認(rèn)識(shí)。1900年8月5日，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert，1862～1943）在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上所作的演講。其中最令人矚目的是，整個(gè)演講的主題，是他根據(jù)19世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)而提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問題，而演講也以“數(shù)學(xué)問題”而命名。一百多年來，這些問題一直激勵(lì)著數(shù)學(xué)家們濃厚的研究興趣，為數(shù)學(xué)的發(fā)展起了重要的推動(dòng)作用。

由此看來，問題是引導(dǎo)研究的，提出問題是科學(xué)研究思想方法的起步，尋找和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，是獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的基本方法之一。

一、數(shù)學(xué)問題與問題鏈

在認(rèn)知心理學(xué)中，“問題”（Problem）是指一個(gè)人在有目的待追求而尚未找到適當(dāng)手段時(shí)所感到的心理困境。因而，問題的存在與否依賴于人已有的認(rèn)知能力?！皢栴}”還可以被視為一個(gè)系統(tǒng)，好某個(gè)人而言，若一個(gè)系統(tǒng)的全部元素、元素的性質(zhì)和元素間的相互關(guān)系中至少有一個(gè)是未知的，那么這個(gè)系統(tǒng)被稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)即問題系統(tǒng)，反之，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)即非問題系統(tǒng)。在問題系統(tǒng)中。如果確立了一個(gè)或一個(gè)以上未知要素，那么該系統(tǒng)就成為一個(gè)問題?？梢?，問題是確立了一個(gè)或一個(gè)以上未知要素的系統(tǒng)，問題的存在因人而異，具有相對(duì)性。

數(shù)學(xué)問題是指“以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，但必須運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、理論或方法才能解決的問題”。

數(shù)學(xué)問題的提出是一個(gè)發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題的過程。在這個(gè)過程中，主體通過對(duì)數(shù)學(xué)情境基本構(gòu)成要素的觀察、分析，深入挖掘隱藏于其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，大膽置疑，大膽猜想，并確定新的未知構(gòu)成要素，即提出一個(gè)新的數(shù)學(xué)問題。因而，數(shù)學(xué)問、題提出便是把一個(gè)數(shù)學(xué)問題情境變成一個(gè)新的數(shù)學(xué)問題情境的過程。這是一個(gè)發(fā)現(xiàn)，探索和創(chuàng)新的過程，借用這個(gè)過程，可以使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)。

面對(duì)數(shù)學(xué)問題，當(dāng)我們通過對(duì)它進(jìn)行深化、推廣、引申、綜合，從而發(fā)現(xiàn)矛盾和缺陷（問題所在），探索到新的發(fā)展規(guī)律（需要論證的問題），或找到了問題與問題之間的新的聯(lián)系時(shí)，這就是形成“問題鏈”的開始。通過這種過程的不斷深化和逐次推進(jìn)而找到的，具有內(nèi)在聯(lián)系的若干問題，就形成了“問題鏈”。

數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，是一個(gè)縱橫交錯(cuò)的命題鏈結(jié)構(gòu)，或者是可以用類似于問題鏈的結(jié)構(gòu)來描述和解釋的（如學(xué)科知識(shí)鏈）。歐幾里得的《原本》（Elements），是一個(gè)類似于命題鏈的以鏈結(jié)構(gòu)形式表現(xiàn)的公理體系。它以5條公設(shè)為核心，通過邏輯演繹，把119個(gè)定義和464條定理鏈在了一起；還有由算術(shù)到初等代數(shù)到線性代數(shù)到抽象代數(shù)，則可以理解為學(xué)科知識(shí)鏈，等等。

二、數(shù)學(xué)問題鏈的實(shí)踐

問題與命題這2個(gè)概念，通常是在同樣的意義下使用的。然而，提出問題僅是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的開始，解決問題（證明其真實(shí)性）才是目的。因此，我們常把尚未解決的問題稱為問題，而把論證了其真實(shí)性的命題稱為真命題。下面所提到的命題這一概念是在能形成定理的意義下使用的，但是由于略去了證明過程，因此仍視為問題。

（一）推廣鏈

推廣是事物發(fā)展所遵循的規(guī)律之一。當(dāng)我們從研究一個(gè)對(duì)象過渡到研究包含該對(duì)象的一個(gè)集合，或從研究一個(gè)較小的集合過渡到研究一個(gè)包含該集合的一個(gè)更大的集合時(shí)，就是推廣，當(dāng)我們對(duì)命題從層次和形式上作推廣時(shí)，可以得到一些層次不同或形式相似的命題，它反映了數(shù)學(xué)對(duì)象之間的縱向或橫向間的聯(lián)系，可以拓廣命題的外延表現(xiàn)形式并加深對(duì)命題內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)。

概念、體系、命題和方法的各個(gè)方面，都可以運(yùn)用推廣來進(jìn)行教學(xué)。概念的學(xué)習(xí)分為上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)和并列學(xué)習(xí)3種方式。在上位學(xué)習(xí)中，我們可以運(yùn)用推廣的觀點(diǎn)來教學(xué)。

命題的推廣可以引導(dǎo)學(xué)生自己來做，命題鏈的形成在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的同時(shí)很能給其以美的感受。筆者要學(xué)生將等差中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行推廣，結(jié)果從a3+a5=2a4到an-1+an+1=2an，到an-k+an-k=2an，到am+an=as+at（其中m+n=s+t）再到（ai1+ai2+…+ain）/n=（aj1+aj2+…+ajm）/m（其中（i1+i2+…+in）/n=（j1+j2+…+jm）/m）串成了5級(jí)鏈。一位學(xué)生受到一些素材的啟發(fā)先是得到（am+an）/2=（ax+ay+az）/3[其中（m+n）/2=（x+y+z）/3]。然后在教師的指導(dǎo)下終于得到上述命題鏈中最后的命題（只是在表達(dá)上發(fā)生了困難），寫成了小論文交給教師，很有創(chuàng)新的成就感。另外解題之后進(jìn)行推廣，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，還能幫助學(xué)生洞察本質(zhì)，提高認(rèn)識(shí)、居高臨下、跳出題海。例如證明不等式，當(dāng)證了√3+√7<2√5，√2+√7<√5+√6

又證√6+√7>2√2+√5，再變變數(shù)字還有多大意義呢？不如引導(dǎo)他們進(jìn)行一般化。先可推廣為：√a+√b<√c+√d，其中a，b，c，d∈R+，a+b=c+d且|a-b|>|c-d|，更一般地可推廣為√a1+√a2+…+√an>√b1+√b2+…+√bn（其中{ai}，{bi}為正項(xiàng)等差數(shù)列，公差分別為d1，d2，且|d1|<|d2|，）。

（二）引申鏈

引申和推廣是有區(qū)別的，推廣是一種特殊的引申，它的原則是由特殊到一般的推進(jìn)。而引申則只要具有某種聯(lián)系就可以進(jìn)行。引申反映了另一類范圍較廣的交叉聯(lián)系，它具有多向性或分枝性，可以從不同方向進(jìn)行派生。從不同側(cè)面對(duì)問題進(jìn)行引申就可得到差異性質(zhì)不同的命題鏈。例如，從否定條件進(jìn)行引申，用強(qiáng)化條件或弱化條件或?qū)Ρ葪l件進(jìn)行引申，也可以逆向倒成逆命題進(jìn)行引申，還可以用等價(jià)形式的變換引申，使幾何、代數(shù)、三角形式互化

或結(jié)合應(yīng)用加以引申。對(duì)問題的引申研究可以加深對(duì)事物間的親緣關(guān)系的認(rèn)識(shí)，有利于了解概念或是定理的旁系家族。如對(duì)以下原命題1進(jìn)行引申，可以得到問題引申鏈。

原命題1：P是正△ABC外接圓的AB弧上任意一點(diǎn)，則PA+PB=PC。

引申1：若P點(diǎn)不在AABC的外接圓上，則PA+PB>PC。

引申2：若P是AABC內(nèi)任意一點(diǎn)，且“∠A≥120°，則PA+PB+PC>AB+AC。

引申3：若P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則：1-2 （AB+BC+CA）

引申4：在每個(gè)內(nèi)角小于120。的△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使PA+PB+PC有最小值。

又如在推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的錯(cuò)項(xiàng)相減法教學(xué)之后，可以幫助學(xué)生分析總結(jié)該方法能運(yùn)用的更一般情況：∑anbn的情形（其中{an}為等差，{bn}為等比）。一個(gè)常見的解法，著眼于引申，可能會(huì)有新的收獲。一個(gè)三角習(xí)題，“已知tanα=3，求sin2α+3sinαcosα-2cos2α的值”，解法之一是提取2cos2α后直接轉(zhuǎn)化為tanα，避開了單獨(dú)先求正弦、余弦的象限討論。一次筆者問學(xué)生這個(gè)做法還能用于求哪些式子的值（已知正切值），有些學(xué)生說對(duì)于正弦、余弦的齊偶次式都可仿之（提取余弦偶次方），由一題知一類已是可喜。另一平時(shí)成績(jī)一般的學(xué)生卻說，可用于求正割、余割的齊偶次式（提取余割偶次方），引申更得妙處。

（三）分層鏈

分層鏈?zhǔn)菫榱诉_(dá)到某一特定目的而設(shè)計(jì)的。有時(shí)為了解決一個(gè)難度較大或靈活性較強(qiáng)的問題，往往需要通過一些中間問題的過渡，為使中間問題的解決提供中間結(jié)果和解題方法，從而起到過渡作用。一般在給出問題的大前提后，把問題分成幾問。再對(duì)各問層層加深，不斷提高。而各問題間既相對(duì)獨(dú)立，又具有或緊或松的聯(lián)系。因此，尋找問題分層鏈對(duì)數(shù)學(xué)思維的方向引導(dǎo)能起到較好的作用，能培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力。如對(duì)以下原命題2可以得到問題分層鏈。

原命題2： PA、PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，連結(jié)PO交圓于C，交弦AB于M，連結(jié)BA、AC、BC。這是學(xué)生比較熟悉的題，請(qǐng)學(xué)生觀察：圖中有哪些相等的量？

分層1：將原題增加條件：如圖1，設(shè)∠P=60°，半徑OA=6，學(xué)生很快求出上述結(jié)論中的弦、弧、角、線段的值。

分層2：當(dāng)C為劣弧AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），上述結(jié)論不變嗎？當(dāng)C在優(yōu)弧上呢？

分層3：將例題增加條件，過點(diǎn)C作圓的切線，分別交PA、PB于E、F（如圖2），則△PEF的周長(zhǎng)=2PA。學(xué)生紛紛回答。

分層4：?jiǎn)栴}（如圖3）：設(shè)PA、PB為⊙O切線，切點(diǎn)為A、B，C為弧AB上一點(diǎn)（與A、B不重合），過C的切線交PA、PB于E、F，則△PEF的周長(zhǎng)是否還等于2PA？

分層5：?jiǎn)栴}的條件同上，若點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上呢？（如圖4）因?yàn)镋C=AE，CF=BF，所以△PEF的周長(zhǎng)=2PE+2BF=2PA+2EF，“變中有變” ！

分層6：已知：PA、PB是⊙O的兩條切線，若過弧AB上一點(diǎn)C作CM⊥AB于M，CK⊥PA于K，CH⊥PB于H，線段CM、CK、CH會(huì)有怎樣關(guān)系呢？（圖5）

（四）深化鏈

深化鏈常用于深化對(duì)某一數(shù)學(xué)概念（性質(zhì)）的理解，是在命題條件相同的情況下，推出不同形式的相似的性質(zhì)和概念，在內(nèi)涵方面使認(rèn)識(shí)更深刻，更豐富，對(duì)以下原命題3可以得到問題深化鏈。

原命題3：如圖6，設(shè)P為正三角形ABC的外接圓劣弧BC上一點(diǎn)，求證： PA=PB+PC。

深化1：求證：1-PB+ 1-PC= 1-PD。

深化2：求證：PA2=PB2+PB×PC

深化3：求證：PB2=AB2-PA×PC

深化4：求證：PA2+PB2+PC2=2AB2

深化5：求證：PA3=PB3+PC3+3PA×PB×PC

深化6：求證：PA4+PB4+PC4=2AB4

以上從尋找問題鏈的角度對(duì)問題鏈分析，給出了問題鏈的4種基本形式。還可以從其它角度來分析，如可以將問題鏈分解為屬于數(shù)學(xué)概念的、性質(zhì)的、方法的和規(guī)律的?；蛘咴趯?shí)際運(yùn)用時(shí)，往往采用混合形式以便適應(yīng)需要。

三、數(shù)學(xué)問題鏈的相關(guān)思考

以上對(duì)問題鏈的分析可知：第一，尋找問題運(yùn)用推廣、引申、分層、深化等方法，而在推廣、引申、分層、深化時(shí)卻又離不開觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、歸納和猜想等；第二，尋找問題鏈?zhǔn)菙?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種基本方法，它的目的則是希望所尋找到的問題盡量多地轉(zhuǎn)化為真命題（定理）。因此，對(duì)逐步尋找到的問題作階段性的論證是很有必要的（以上列舉的問題鏈略去了這一過程）。所以，問題鏈方法是以問題為主線，以提出問題一解決問題一再發(fā)現(xiàn)問題為全過程的，兼具收斂性和發(fā)散性的數(shù)學(xué)思維方法。

運(yùn)用數(shù)學(xué)問題鏈進(jìn)行培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，首先，要向?qū)W生旗幟鮮明地倡導(dǎo)創(chuàng)新。教學(xué)中經(jīng)常結(jié)合具體的場(chǎng)合鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行類比和一般化，提出各種各樣的猜想。小心呵護(hù)創(chuàng)新的幼芽，中學(xué)生的創(chuàng)新不必是真正的數(shù)學(xué)創(chuàng)新，只要有點(diǎn)滴的再創(chuàng)造的努力都應(yīng)給予肯定和鼓勵(lì)。努力營(yíng)造敢于創(chuàng)新、不怕出錯(cuò)、善于修正、共同探究的良好的氛圍。其次，可以鼓勵(lì)學(xué)生寫一些推廣引申的小論文。開始有的學(xué)生會(huì)覺得困難，從選題到修改到定稿，教師要常加鼓勵(lì)，常做指導(dǎo)。在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地多留一些容易延伸的命題鏈、方法或知識(shí)點(diǎn)，稍加指點(diǎn)、不予講盡，留給學(xué)生創(chuàng)新的機(jī)會(huì)。讓學(xué)生在探索的過程中培養(yǎng)創(chuàng)新的能力。