數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想

馬媛

【摘 要】數(shù)列是整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要知識(shí)組成部分，除了在高等數(shù)學(xué)中數(shù)列應(yīng)用廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就已經(jīng)接觸了簡(jiǎn)單的數(shù)列，整合數(shù)列中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，同時(shí)也有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活的數(shù)學(xué)思維，因此，初中數(shù)學(xué)教師在數(shù)列教學(xué)過程中，要認(rèn)真總結(jié)數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本文主要通過列舉常見的習(xí)題介紹了數(shù)列中的數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列；數(shù)學(xué)思想；中學(xué)數(shù)學(xué)

中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些找規(guī)律的題目，這類考題題目新穎、變化莫測(cè)，往往屬于開放性題目的范疇，因此，很多中學(xué)生在遇到這類題目的時(shí)候會(huì)變得緊張、擔(dān)憂，進(jìn)而影響了題目的正常思考和作答。經(jīng)分析，中考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的找規(guī)律題目就是數(shù)列原型，教師要善于分析這些數(shù)列題目中所滲透的數(shù)學(xué)思想，教導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解答數(shù)列題目的技巧和方法，一旦中學(xué)生能夠有效把握這些思維方法，那么其中考成績(jī)往往會(huì)取得明顯的提高。

一、數(shù)列中所包含著函數(shù)的思想

（1）數(shù)列中體現(xiàn)著函數(shù)的思想。數(shù)列其實(shí)是函數(shù)的一種離散式表達(dá)，往往函數(shù)是具有自變量和因變量共同作用產(chǎn)生的圖形，而數(shù)列往往體現(xiàn)了當(dāng)把自變量取成整數(shù)的情況，因此在中學(xué)教學(xué)中要善于給學(xué)生滲透數(shù)列中所包含著的函數(shù)的思想。

例如，在求解一些數(shù)列題目的時(shí)候，我們往往要將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，注意數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是函數(shù)表達(dá)式，而數(shù)列的序號(hào)表示的函數(shù)的定義域，當(dāng)研究數(shù)列的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)的時(shí)候，往往將數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)來研究。

（2）數(shù)列中常常與極限相轉(zhuǎn)化的思想。數(shù)列中的“n”往往代表著無限個(gè)自然數(shù)，這就表示數(shù)列彰顯著極限的含義，因此，學(xué)生在求解數(shù)列的題目的時(shí)候，一定要注意把握數(shù)列求解可以轉(zhuǎn)化成為極限來求。

（3）數(shù)列常常體現(xiàn)了觀察與構(gòu)造的數(shù)學(xué)思維。與其說是構(gòu)造或者觀察的數(shù)學(xué)思維，我們不妨更加簡(jiǎn)單地認(rèn)為數(shù)列能夠鍛煉學(xué)生的觀察能力和構(gòu)造性思維，這是不言而喻的，因?yàn)樵诤芏嘀袑W(xué)的找規(guī)律的題目中，總是開放性地設(shè)置很多的圖形或者公式，需要學(xué)生通過自己的觀察來自己總結(jié)出相應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)公式，這對(duì)于提高中學(xué)生的建構(gòu)水平和空間想象力是非常有幫助的。

例如，在用圓圈拼圖的時(shí)候，有如下圖所示的規(guī)律：

請(qǐng)大家計(jì)算下接下來的圖形用到的圓圈是多少個(gè)？

這個(gè)例子顯然就是一個(gè)數(shù)列的題目，然而我們往往在思考其構(gòu)造的時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的自然數(shù)相加的構(gòu)造模式，自然而然就會(huì)想到接下來要算的就是1+2+3+4+5=15。

（4）數(shù)列常常與不等式內(nèi)容相結(jié)合。不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是非常重要的知識(shí)點(diǎn)之一，數(shù)列的題型與不等式相結(jié)合往往能夠提高題目的難度和深度，這也為學(xué)生的解題帶來了困難，因此，教師在講解這部分知識(shí)的時(shí)候要注重列舉典型的例題，幫助學(xué)生體會(huì)當(dāng)數(shù)列與不等式相結(jié)合的考題出現(xiàn)時(shí)，要掌握運(yùn)用放縮法求解。

例如，已知，證明：任意的≥

這里的求解就可以根據(jù)放縮法的使用達(dá)到證明目的。

（5）數(shù)列常常體現(xiàn)著分類討論的思想。分類討論往往在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)著嚴(yán)密、謹(jǐn)慎的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)理念，因此在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，教師要時(shí)刻要求學(xué)生關(guān)注數(shù)列最重要的“n”的范圍，往往在求解的過程中，會(huì)將n進(jìn)行分類討論，保證題目的嚴(yán)密與正確。

（6）數(shù)列常常體現(xiàn)著猜測(cè)的思想。數(shù)學(xué)的各種思維中猜測(cè)思維占據(jù)著非常重要的地位，這是由于猜想是創(chuàng)新思維的源泉，也是數(shù)學(xué)知識(shí)最終的根本來源，沒有猜想就沒有后來我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的各種數(shù)學(xué)知識(shí)，因此，數(shù)列往往能夠促進(jìn)中學(xué)生提高創(chuàng)新思維。

例如，設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，其中它滿足如下兩點(diǎn)：a1=2和，如果a2=1-4，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需證明）；

解：由于a1=2，a2=2-2

由此有

故猜想{an}的通項(xiàng)為。

二、研究數(shù)列所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想的重要意義

（1）通過研究數(shù)列所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，能為教師的教學(xué)提供明確的方向。教師在教學(xué)過程中，明確了重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的哪方面的數(shù)學(xué)思維意識(shí)的目標(biāo)，能收到意想不到的教學(xué)成果。

（2）通過研究數(shù)列所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)熱情。隨著教師不斷訓(xùn)練，學(xué)生在認(rèn)識(shí)數(shù)列的同時(shí)數(shù)學(xué)思維提高，與此同時(shí)，直接激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的熱情，讓學(xué)生在上數(shù)學(xué)課時(shí)充滿激情，有效地提高了課堂效率。

（3）通過研究數(shù)列所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生對(duì)數(shù)列有了更深刻的認(rèn)識(shí)，為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

以上所述，都是根據(jù)筆者在多年中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)第一線工作中，對(duì)中學(xué)數(shù)列的思考和總結(jié)。文章通過列舉簡(jiǎn)要例子的方式概括了中學(xué)數(shù)列學(xué)習(xí)過程中，所體現(xiàn)的基本數(shù)學(xué)思想，包括函數(shù)思想、不等式知識(shí)、極限知識(shí)、分類討論思想、猜測(cè)想象、建構(gòu)思想等等，盡管如此，學(xué)生對(duì)于數(shù)列的認(rèn)識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，教師一定要繼續(xù)在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂上，為學(xué)生補(bǔ)充大量的數(shù)列知識(shí)題目，提高學(xué)生解答數(shù)列題目的正確率。

參考文獻(xiàn)：

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