• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    一種加法交換律和結(jié)合律的驗證方法

    2014-06-09 14:21:49王穎汝
    關(guān)鍵詞:結(jié)合律交換律加數(shù)

    王穎汝

    (河南省社旗縣科技局,河南省社旗縣473300)

    一種加法交換律和結(jié)合律的驗證方法

    王穎汝

    (河南省社旗縣科技局,河南省社旗縣473300)

    依據(jù)“數(shù)位對齊、逢十進一”的運算法則,結(jié)合十進制加法表,給出了驗證加法交換律與結(jié)合律的一種方法。

    加法交換律;加法結(jié)合律;驗證

    一、加法交換律的驗證

    加法交換律用文字描述即“兩個數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,它們的和不變”,用字母表示即:“a+b=b+a”。下面,對其進行具體驗證。

    (一)設(shè)定證明中使用的代數(shù)符號

    (1)在加法交換律中,使用到兩個加數(shù),在本證明中,暫且假定兩個加數(shù)均為自然數(shù)。

    假設(shè)第一個加數(shù)的代表符號為“Q1B1S1G1”,是一個4位數(shù)的加數(shù),其最右側(cè)的“G1”代表的是個位上的數(shù)字(“G”是“個”的拼音字母首寫),其他依次類推,即“S1”代表的是十位上的數(shù)字,“B1”代表的是百位上的數(shù)字,“Q1”代表的是千位上的數(shù)字。

    假設(shè)第二個加數(shù)的代表符號為“W2Q2B2S2G2”,是一個5位數(shù)的加數(shù),其字母的含意同上。

    (2)對于未交換位置之前的“Q1B1S1G1+ W2Q2B2S2G2”,列成豎式可以表示成圖1:

    圖1 未交換加數(shù)位置時的加法豎式

    圖2 交換加數(shù)位置之后的加法豎式

    在上圖中,符號的含意如下:

    “W12Q12B12S12G12”——代表未交換加數(shù)位置時得到的和值。

    “JS①”——代表個位相加(即“G1+G2”)之后向十位進位的值。

    “JB①”——代表十位相加(即“S1+S2+JS①”)之后向百位進位的值。

    “JQ①”——代表百位相加(即“B1+B2+JB①”)之后向千位進位的值。

    (3)對于交換位置之后的“W2Q2B2S2G2+ Q1B1S1G1”,列成豎式可以表示成圖2:

    在上圖中,使用的符號的含意如下:

    “W21Q21B21S21G21”——代表交換加數(shù)位置之后得到的和值。

    “JS②”——代表個位相加(即“G2+G1”)之后向十位進位的值。

    “JB②”——代表十位相加(即“S2+S1+JS②”)之后向百位進位的值。

    “JQ②”——代表百位相加(即“B2+B1+JB②”)之后向千位進位的值。

    (4)其驗證思路是:如果要驗證“Q1B1S1G1+ W2Q2B2S2G2=W2Q2B2S2G2+Q1B1S1G1”,只需要驗證“W12Q12B12S12G12=W21Q21B21S21G21”即可。要驗證“W12Q12B12S12G12=W21Q21B21S21G21”,只需要驗證“G12=G21”、“S12=S21”、“B12=B21”、“Q12= Q21”、“W12=W21”(即兩個和值之中各個對應(yīng)位上的值相等)即可。

    (二)驗證“G12=G21”成立過程

    (1)一般列豎式進行運算時,首先進行個位上的計算,即“G1+G2”;如果交換兩個加數(shù)的位置,則計算的是“G2+G1”。

    (2)在十進位制中,上述“G1、G2”的實際值的范圍只可能處于“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”之中,“G1+G2”的可能的組合形態(tài)可以通過排列組合的方式把所有可能的組合形態(tài)全部列舉出來,共有100種(和“加法口訣表”的內(nèi)容一致),針對每一種具體的“G1、G2”組合,分為兩大方面進行計算、比較[1]:

    第一方面是當兩個加數(shù)未交換時,計算“G1+ G2”的值,進而可得“JS①”、“G12”的值;第二方面是當兩個加數(shù)交換位置之后,計算“G2+G1”的值,進而可得“JS②”、“G21”的值。

    以上計算可以借助計算機數(shù)據(jù)庫技術(shù)快捷地實現(xiàn),由于數(shù)據(jù)較多,在此未一一列出。

    (3)對以上計算的“G12”、“G21”逐對進行比較可知,對于任意的“G1、G2”組合形態(tài),交換加數(shù)位置之前、之后(即把“Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2”交換為“W2Q2B2S2G2+Q1B1S1G1”),“G12=G21”均成立,即是說,和值之中的個位上的值保持不變。

    (三)統(tǒng)計個位向十位上進位值的所有不同情況

    對在上個步驟中計算的“JS①”、“JS②”進行完全統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)可以分為兩類不同的情況:

    (1)“JS①=0,同時JS②=0”(簡寫為“JS①=0‖JS②=0”):

    即“G1+G2=G2+G1”的和值是一位數(shù)、不需要向十位上進位的情況(這種情況下可以認為進位值為0,此時,“G1+G2=G12”、“G2+G1=G21”)。

    (2)“JS①=1,同時JS②=1”(簡寫為“JS①=1‖JS②=1”):

    即“G1+G2=G2+G1”的和值是兩位數(shù)、需要向十位上“進位”的情況(這種情況下,“G1+G2=10+ G12”、“G2+G1=10+G21”),例如“9+6=15”進“1”留“5”,而“6+9=15”也是進“1”留“5”。

    (四)驗證兩個加數(shù)交換位置之前、之后的和值之中的十位上的值保持不變

    在本步驟中,實際上需要驗證的就是“S12= S21”成立。利用排列組合知識可知,十位上的數(shù)字“S1、S2”共有100種可能的組合形態(tài)。同時,在兩個加數(shù)交換位置之前、之后,從個位向十位上的進位值共有兩類不同的情況,那么,十位上的“S1、S2”和實際的“JS①、JS②”之間共可以得到100×2= 200種組合形態(tài),可以利用排列組合知識把這200種組合形態(tài)全部羅列出來,針對每種具體的“S1、S2、JS①、JS②”,分為兩大方面進行計算、比較:第一方面是當兩個加數(shù)未交換時,計算“S1+S2+JS①”的值,進而可得“JB①”、“S12”的值;第二方面是當兩個加數(shù)交換位置之后,計算“S2+S1+JS②”的值,進而可得“JB②”、“S21”的值??山柚嬎銠C數(shù)據(jù)庫技術(shù)快捷地實現(xiàn)[2]。

    對以上計算的“S12”、“S21”逐對進行比較可知,對于“S1、S2、JS①、JS②”的任意實際值,交換加數(shù)位置之前、之后,“S12=S21”均成立,即是說,和值之中的十位上的值保持不變。

    (五)統(tǒng)計十位向百位上進位值的所有不同情況

    對在上個步驟中計算的“JB①”、“JB②”進行完全統(tǒng)計,可得到全部共有兩類不同的情況:

    (1)“JB①=0‖JB②=0”:

    即交換之前、之后均不需要進位。

    (2)“JB①=1‖JB②=1”:

    即交換之前、之后均需要進位,進位值均為1。

    (3)證明兩個加數(shù)交換位置之前、之后的和值之中的百位上的值保持不變,即證明“B12= B21”成立。

    利用排列組合知識可知,“B1、B2”和實際的“JB①、JB②”的全部可能的組合與上文步驟(四)中“S1、S2”、“JS①、JS②”是完全一樣的,因此,和步驟(四)的驗證過程一樣,也可以驗證“B12=B21”成立。

    同理,也可驗證“Q12=Q21”、“W12=W21”均成立??梢姡炞C過程中出現(xiàn)了重復現(xiàn)象,這是本證明的關(guān)鍵。

    綜上所述,能夠完全證明“G12=G21”、“S12= S21”、“B12=B21”、“Q12=Q21”、“W12=W21”,故而“W12Q12B12S12G12=W21Q21B21S21G21”(二者是同一個數(shù)),故而“Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2= W2Q2B2S2G2+Q1B1S1G1”成立。

    在上文中,是以一個4位自然數(shù)和一個5位自然數(shù)為例子進行證明,可推而廣之,對于任意長度的自然數(shù)或小數(shù),均可以證明加法交換律的成立,用字母表示即“a+b=b+a”。至此,加法的交換律全部驗證完畢。

    二、加法結(jié)合律的驗證

    加法結(jié)合律用字母表示即:“(a+b)+c=a+(b +c)”。下面為其具體驗證過程。

    (一)設(shè)定證明中使用的代數(shù)符號

    (1)在加法結(jié)合律中,使用到三個加數(shù),在本證明中,暫且假定三個加數(shù)均為自然數(shù)。假設(shè)第一個加數(shù)的代表符號為“Q1B1S1G1”,第二個加數(shù)的代表符號為“W2Q2B2S2G2”,第三個加數(shù)的代表符號為“Q3B3S3G3”,其中各個字母符號所在的位置含意,與前文加法交換律證明中步驟的一樣。實際上要驗證的就是:“(Q1B1S1G1+ W2Q2B2S2G2)+Q3B3S3G3=Q1B1S1G1+ (W2Q2B2S2G2+Q3B3S3G3)”

    (2)對于“(Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2)+ Q3B3S3G3”(即前兩個加數(shù)進行結(jié)合),如果列成豎式,根據(jù)最原始的運算步驟,需要進行兩輪加法運算,如圖3:

    圖3 前兩個加數(shù)結(jié)合時的加法豎式

    在圖3中,符號的含意如下:

    “JS①”——代表第一輪相加時,個位相加(即“G1+G2”)之后向十位進位的值。

    “JB①”——代表第一輪相加時,十位相加(即“S1+S2+JS①”)之后向百位進位的值。

    “JQ①”——代表第一輪相加時,百位相加(即“B1+B2+JB①”)之后向千位進位的值。

    “W12Q12B12S12G12”——代表第一輪相加得到的和值。

    “JS②”——代表第二輪相加時,個位相加(即“G12+G3”)之后向十位進位的值。

    “JB②”——代表第二輪相加時,十位相加(即“S12+S3+JS②”)之后向百位進位的值。

    “JQ②”——代表第二輪相加時,百位相加(即“B12+B3+JB②”)之后向千位進位的值。

    “W123Q123B123S123G123”——代表第二輪相加得到的最終的總和值。

    (3)對于“Q1B1S1G1+(W2Q2B2S2G2+ Q3B3S3G3)”(即后兩個加數(shù)進行結(jié)合),如果列成豎式,根據(jù)最原始的運算步驟,需要進行兩輪加法運算,如圖4:

    圖4 后兩個加數(shù)進行結(jié)合時的加法豎式

    在圖4中,使用的符號的含意如下:

    “JS③”——代表第一輪相加時,個位相加(即“G2+G3”)之后向十位進位的值。

    “JB③”——代表第一輪相加時,十位相加(即“S2+S3+JS③”)之后向百位進位的值。

    “JQ③”——代表第一輪相加時,百位相加(即“B2+B3+JB③”)之后向千位進位的值。

    “W23Q23B23S23G23”——代表第一輪相加得到的和值。

    “JS④”——代表第二輪相加時,個位相加(即“G1+G23”)之后向十位進位的值。

    “JB④”——代表第二輪相加時,十位相加(即“S1+S23+JS④”)之后向百位進位的值。

    “JQ④”——代表第二輪相加時,百位相加(即“B1+B23+JB④”)之后向千位進位的值。

    “W231Q231B231S231G231”——代表第二輪相加得到的最終的總和值。

    (二)證明三個加數(shù)相加,應(yīng)用加法結(jié)合律之前、之后的總和值之中個位上的值是相等的(或保持不變):

    利用排列組合知識可知,在三個加數(shù)的個位上,“G1、G2、G3”共有1000種可能的組合形態(tài),下面,針對每一種具體的組合形態(tài),分為兩大方面進行計算、比較:

    第一方面是當把前兩個加數(shù)進行結(jié)合時,計算“G1+G2”的值,進而可得“JS①”、“G12”、“G12+ G3”、“JS②”、“G123”的值;第二方面是當把后兩個加數(shù)進行結(jié)合時,計算“G2+G3”的值,進而可得“JS③”、“G23”、“G1+G23”、“JS④”、“G231”的值。可借助計算機數(shù)據(jù)庫技術(shù)快捷地實現(xiàn)。

    對以上計算的“G123”、“G231”逐對進行比較可知,對于“G1、G2、G3”的任意實際值組合,最終的“G123=G231”均成立,即是說,應(yīng)用加法結(jié)合律之前、之后,最終的總和值的個位上的值保持不變。

    (三)統(tǒng)計個位向十位上進位值的所有不同情況

    對在上個步驟中計算的“JS①、JS②、JS③、JS④”進行完全統(tǒng)計,可得到全部共有6種不同情況,分別如表1:

    表1 個位向十位上進位值的所有不同情況

    (四)證明三個加數(shù)相加,應(yīng)用加法結(jié)合律之前、之后的總和值之中的十位上的值是相等的(或保持不變)

    利用排列組合知識可知,在三個加數(shù)的十位上,“S1、S2、S3”共有1000種可能的組合形態(tài)。同時,從個位向十位上的進位值實際共有6類不同的情況,那么,十位上的“S1、S2、S3”和實際的“JS①、JS②、JS③、JS④”之間共可以得到1000×6= 6000種新的組合形態(tài),下面,針對每種具體的組合,分為兩大方面進行計算、比較:

    第一方面是當把前兩個加數(shù)進行結(jié)合時,計算“S1+S2+JS①”的值,進而可得“JB①”、“S12”、“S12+S3+JS②”、“JB②”、“S123”的值;第二方面是當把后兩個加數(shù)進行結(jié)合時,計算“S2+S3+JS③”的值,進而可得“JB③”、“S23”、“S1+S23+JS④”、“JB④”、“S231”的值。同樣可借助計算機數(shù)據(jù)庫技術(shù)快捷地實現(xiàn)。

    對以上計算的“S123”、“S231”逐對進行比較可知,對于“S1、S2、S3”的任意實際值,“S123=S231”均成立,即是說,應(yīng)用加法結(jié)合律之前、之后,三個加數(shù)的最終的總和值的十位上的值保持不變。

    (五)統(tǒng)計十位向百位上進位值的所有不同情況

    對在上個步驟中計算的“JB①、JB②、JB③、JB④”進行完全統(tǒng)計,可得到全部共有6種不同情況,分別如表2:

    表2 十位向百位上進位值的所有不同情況

    (六)對向十位上和向百位上的實際進位值情況進行比較

    通過比較表1和表2可知,“JS①、JS②、JS③、JS④”和“JB①、JB②、JB③、JB④”的實際情況都有6類,并且是完全相同的(不考慮出現(xiàn)次數(shù))。

    (七)證明三個加數(shù)相加,應(yīng)用加法結(jié)合律之前、之后的總和值之中的百位上的值是相等的(或保持不變)

    利用排列組合知識可知,“B1、B2、B3”、“JB①、JB②、JB③、JB④”的全部可能的組合與“S1、S2、S3”、“JS①、JS②、JS③、JS④”是完全一樣的,因此,和步驟(四)的道理一樣,也可以證明“B123=B231”成立。同理,也可證明“Q123=Q231”、“W123=W231”均成立。

    綜上所述,能夠完全證明“G123=G231”、“S123=S231”、“B123=B231”、“Q123=Q231”、“W123=W231”均成立,故而“W123Q123B123S123G123=W231Q231B231S231G231”成立(或者說二者是同一個數(shù))。故而“(Q1B1S1G1+W2Q2B2S2G2)+Q3B3S3G3= Q1B1S1G1+(W2Q2B2S2G2+Q3B3S3G3)”成立。

    在上文中,是以一個4位自然數(shù)、一個5位自然數(shù)和一個4位自然數(shù)為例子進行證明,推而廣之,對于任意長度的自然數(shù)或小數(shù),均可以證明加法結(jié)合律的成立,用字母表示即“(a+b)+c=a+(b +c)”。

    三、結(jié)語

    證明了加法交換律的成立和結(jié)合律的成立,以此為基礎(chǔ),可容易地證明對于具有任意多個加數(shù)的加法算式,加法交換律和結(jié)合律仍然成立,用字母表示即“(a+b)+c=a+(b+c)”。

    [1]張景中,彭翁成.數(shù)學哲學[M].北京:北京師范大學出版社,2010.

    [2][德]費雷格.王路,譯.算術(shù)基礎(chǔ)[M].北京:商務(wù)印書館,2010.

    [責任編輯 程光輝]

    A Verification Method of Commutative Law of Addition and Combination Law

    WANG Ying-ru
    (Technology Bureau of Sheqi County,Sheqi 473300,Henan)

    On the algorithm basis of digital alignment algorithms,dotting and carrying one,combined with the decimal addition table,a verification method of commutative of addition and combination law is presented.

    commutative law of addition;associative law of addition;verification

    10.3969/j.issn.1672-0342.2014.01.004

    O121.1

    A

    1672-0342(2014)01-0011-05

    2014-01-04

    王穎汝(1972-),男,河南社旗人,河南省社旗縣科技局工程師,研究方向為三維及數(shù)字自然技術(shù)。

    猜你喜歡
    結(jié)合律交換律加數(shù)
    和與差的變化規(guī)律
    分解加數(shù)
    高遠處立意低結(jié)構(gòu)教學
    ——特級教師周衛(wèi)東《乘法交換律》教學賞析
    高觀點立意 低結(jié)構(gòu)教學
    ——特級教師周衛(wèi)東蘇教版四下《乘法交換律》教學賞析
    江蘇教育(2019年49期)2019-08-20 09:14:54
    究本溯源,提高計算能力
    不計算也能比大小
    加減法的錯中求解
    “加法交換律和乘法交換律”教學紀實與反思
    探究求和問題
    基數(shù)意義下自然數(shù)的運算(二)
    湖南教育(2016年30期)2016-11-03 07:13:45
    亚洲性久久影院| 成年人午夜在线观看视频| 交换朋友夫妻互换小说| 午夜免费观看性视频| 韩国av在线不卡| 高清av免费在线| 午夜日本视频在线| 黑丝袜美女国产一区| 不卡视频在线观看欧美| 国产精品久久久久久久久免| 午夜免费鲁丝| 黑人高潮一二区| 婷婷色麻豆天堂久久| 久久亚洲国产成人精品v| 色视频www国产| 简卡轻食公司| 亚洲精品久久午夜乱码| 久久久久精品久久久久真实原创| 亚洲第一区二区三区不卡| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 中文字幕久久专区| 五月天丁香电影| 国产成人免费无遮挡视频| 成人国产av品久久久| 亚洲av成人精品一区久久| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 成人特级av手机在线观看| 精品一区在线观看国产| 免费观看a级毛片全部| 中文字幕人妻丝袜制服| 午夜视频国产福利| 中文字幕亚洲精品专区| 韩国高清视频一区二区三区| 国产老妇伦熟女老妇高清| 国产精品久久久久久av不卡| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 一级毛片 在线播放| 亚洲伊人久久精品综合| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 欧美精品一区二区大全| 女性生殖器流出的白浆| 日韩成人伦理影院| av专区在线播放| 久久久国产欧美日韩av| 最近2019中文字幕mv第一页| 久久99热这里只频精品6学生| 大片电影免费在线观看免费| 日韩大片免费观看网站| 婷婷色麻豆天堂久久| 欧美区成人在线视频| .国产精品久久| 黄色欧美视频在线观看| 亚洲丝袜综合中文字幕| 亚洲丝袜综合中文字幕| 国产成人精品一,二区| 久久精品国产a三级三级三级| 狂野欧美激情性bbbbbb| 精品卡一卡二卡四卡免费| 久久韩国三级中文字幕| 日日摸夜夜添夜夜爱| 国产亚洲欧美精品永久| 精品人妻偷拍中文字幕| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 看免费成人av毛片| 国产又色又爽无遮挡免| 国产精品女同一区二区软件| 国产男人的电影天堂91| 亚洲国产av新网站| 成人黄色视频免费在线看| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 久久免费观看电影| 少妇人妻 视频| 国产亚洲最大av| 一级二级三级毛片免费看| 大片电影免费在线观看免费| 免费久久久久久久精品成人欧美视频 | 另类精品久久| 亚洲va在线va天堂va国产| 热re99久久国产66热| 天美传媒精品一区二区| 黑人猛操日本美女一级片| 欧美精品国产亚洲| 日韩大片免费观看网站| 久久久久久伊人网av| av免费观看日本| 伊人亚洲综合成人网| 久久久久久久久久人人人人人人| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 在线播放无遮挡| 在线播放无遮挡| 午夜免费观看性视频| 久久国产精品男人的天堂亚洲 | 国产欧美日韩综合在线一区二区 | 国产视频首页在线观看| 在线观看国产h片| 国产高清国产精品国产三级| 一本色道久久久久久精品综合| 久久久久久久久大av| 免费人妻精品一区二区三区视频| 国产成人精品无人区| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 成人毛片a级毛片在线播放| 99视频精品全部免费 在线| 成人亚洲精品一区在线观看| 成年人免费黄色播放视频 | 五月伊人婷婷丁香| 黑人高潮一二区| 人人澡人人妻人| 大片免费播放器 马上看| 国产老妇伦熟女老妇高清| 国产91av在线免费观看| 成人综合一区亚洲| 国产欧美亚洲国产| 日韩av在线免费看完整版不卡| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区| 在线观看三级黄色| 色视频在线一区二区三区| 一本一本综合久久| 免费黄网站久久成人精品| 久久这里有精品视频免费| 日本黄色日本黄色录像| 天堂中文最新版在线下载| 国产精品成人在线| 久久久久久久久大av| 伦理电影免费视频| 免费观看的影片在线观看| 97精品久久久久久久久久精品| 成年av动漫网址| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 日本黄色日本黄色录像| 国产熟女欧美一区二区| 九草在线视频观看| 亚洲欧洲国产日韩| 水蜜桃什么品种好| 色94色欧美一区二区| 亚洲精品色激情综合| 日韩 亚洲 欧美在线| 国产精品99久久久久久久久| 99久久中文字幕三级久久日本| 日韩亚洲欧美综合| 免费看光身美女| 国产成人91sexporn| 亚洲精品国产色婷婷电影| 一本大道久久a久久精品| 99久久精品一区二区三区| 只有这里有精品99| 亚洲欧美清纯卡通| 在线精品无人区一区二区三| 亚洲综合色惰| 性色av一级| 久久久久久久久久久免费av| 欧美另类一区| 久久久久久久久久久丰满| 寂寞人妻少妇视频99o| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久 | 午夜福利视频精品| 99久久精品一区二区三区| 欧美日韩视频精品一区| 亚洲综合精品二区| 在线精品无人区一区二区三| 久久人人爽人人爽人人片va| 熟妇人妻不卡中文字幕| 国产成人精品久久久久久| 中国国产av一级| 久久精品国产a三级三级三级| 国产毛片在线视频| 免费播放大片免费观看视频在线观看| 最近的中文字幕免费完整| 不卡视频在线观看欧美| 多毛熟女@视频| 国产精品伦人一区二区| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 国精品久久久久久国模美| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 这个男人来自地球电影免费观看 | 乱人伦中国视频| 欧美最新免费一区二区三区| 丰满迷人的少妇在线观看| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 亚洲av日韩在线播放| 亚洲情色 制服丝袜| 久久精品国产亚洲av天美| 三级国产精品欧美在线观看| 美女福利国产在线| 日韩成人伦理影院| 久久人人爽人人爽人人片va| 久久久久久久国产电影| 国产免费一级a男人的天堂| 日韩成人av中文字幕在线观看| 精品亚洲成a人片在线观看| 亚洲精品自拍成人| 日韩免费高清中文字幕av| 免费看不卡的av| 极品人妻少妇av视频| 狂野欧美激情性bbbbbb| 波野结衣二区三区在线| 黑人猛操日本美女一级片| 99热这里只有精品一区| 国产精品偷伦视频观看了| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 日韩欧美一区视频在线观看 | 久久国产精品男人的天堂亚洲 | 日日啪夜夜撸| 插阴视频在线观看视频| 久久久久久久久久成人| 亚州av有码| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 久久久久久久久久人人人人人人| 日本av手机在线免费观看| 久久久a久久爽久久v久久| 国产精品国产三级专区第一集| 好男人视频免费观看在线| 亚洲人成网站在线观看播放| 国产成人91sexporn| 免费在线观看成人毛片| 制服丝袜香蕉在线| 日日爽夜夜爽网站| 色5月婷婷丁香| 亚州av有码| 丝袜在线中文字幕| 婷婷色麻豆天堂久久| 午夜91福利影院| 91精品一卡2卡3卡4卡| 日日撸夜夜添| 久热久热在线精品观看| 国产极品天堂在线| 亚洲国产精品成人久久小说| 欧美区成人在线视频| 国产精品女同一区二区软件| 久久久精品免费免费高清| 成人国产麻豆网| 99热6这里只有精品| 全区人妻精品视频| 热re99久久国产66热| 免费看不卡的av| 中国三级夫妇交换| 久久久久久久国产电影| 日韩av在线免费看完整版不卡| 国产免费视频播放在线视频| 国产毛片在线视频| 97在线视频观看| 十八禁高潮呻吟视频 | 欧美 日韩 精品 国产| 日本-黄色视频高清免费观看| 久久精品久久精品一区二区三区| 尾随美女入室| 欧美另类一区| 精品视频人人做人人爽| 亚洲精品乱久久久久久| 亚洲av在线观看美女高潮| 免费高清在线观看视频在线观看| 久久久久精品性色| 波野结衣二区三区在线| 免费观看无遮挡的男女| 亚洲,欧美,日韩| 亚洲内射少妇av| 亚洲国产精品国产精品| 五月伊人婷婷丁香| 三级国产精品片| 永久网站在线| 人妻人人澡人人爽人人| 国产在线视频一区二区| a级毛片免费高清观看在线播放| 精品人妻一区二区三区麻豆| 一区二区av电影网| 国产欧美日韩一区二区三区在线 | 国产亚洲最大av| 亚洲av成人精品一区久久| 日韩伦理黄色片| 久久人人爽人人片av| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 日日爽夜夜爽网站| 91精品一卡2卡3卡4卡| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91 | 国产伦精品一区二区三区视频9| 久久久久国产精品人妻一区二区| 亚洲欧美精品自产自拍| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 国产在线男女| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 美女视频免费永久观看网站| 日本与韩国留学比较| 国产精品久久久久久精品电影小说| .国产精品久久| 久久精品久久精品一区二区三区| 中国美白少妇内射xxxbb| 2018国产大陆天天弄谢| 97在线人人人人妻| 免费观看a级毛片全部| 亚洲精品成人av观看孕妇| 国产免费福利视频在线观看| 亚洲精品国产av成人精品| 久久鲁丝午夜福利片| 精品午夜福利在线看| av线在线观看网站| 国产伦精品一区二区三区视频9| 国产精品伦人一区二区| 如日韩欧美国产精品一区二区三区 | 毛片一级片免费看久久久久| 久久久久久久久久成人| 综合色丁香网| 国产探花极品一区二区| 久久综合国产亚洲精品| 97超碰精品成人国产| 一级片'在线观看视频| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| 看非洲黑人一级黄片| 热re99久久精品国产66热6| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 热99国产精品久久久久久7| 久久女婷五月综合色啪小说| 亚洲成人手机| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 视频中文字幕在线观看| 亚洲在久久综合| 中国国产av一级| 国产av一区二区精品久久| 国产亚洲91精品色在线| 成人美女网站在线观看视频| 亚洲精品乱久久久久久| 国产一区有黄有色的免费视频| 亚洲综合色惰| av在线app专区| 26uuu在线亚洲综合色| 日本黄色片子视频| 国产精品成人在线| 亚洲精品中文字幕在线视频 | 成年人午夜在线观看视频| 免费看av在线观看网站| 2022亚洲国产成人精品| 日韩一区二区三区影片| 亚洲欧美精品专区久久| 日本黄色片子视频| 久久国产乱子免费精品| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 日韩一本色道免费dvd| 久久久久网色| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 日韩欧美 国产精品| 国产精品久久久久成人av| 99视频精品全部免费 在线| 精品少妇内射三级| 亚洲中文av在线| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 精品少妇黑人巨大在线播放| 丰满迷人的少妇在线观看| 又爽又黄a免费视频| 日本wwww免费看| 午夜精品国产一区二区电影| 99热国产这里只有精品6| 香蕉精品网在线| 深夜a级毛片| 国产精品一二三区在线看| 2022亚洲国产成人精品| 国产69精品久久久久777片| 亚洲真实伦在线观看| 国产精品国产三级国产专区5o| 亚洲av中文av极速乱| 亚洲精品第二区| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 欧美精品亚洲一区二区| 婷婷色麻豆天堂久久| 97精品久久久久久久久久精品| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 水蜜桃什么品种好| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 三级国产精品片| 只有这里有精品99| 欧美成人精品欧美一级黄| 婷婷色综合大香蕉| 自线自在国产av| 搡女人真爽免费视频火全软件| 久久久久久人妻| 亚洲欧洲国产日韩| 乱码一卡2卡4卡精品| av免费在线看不卡| 欧美一级a爱片免费观看看| 欧美精品国产亚洲| 欧美变态另类bdsm刘玥| 一级毛片久久久久久久久女| 国产成人精品福利久久| 日韩欧美精品免费久久| 高清黄色对白视频在线免费看 | 少妇人妻一区二区三区视频| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 国产一区二区在线观看日韩| 日日啪夜夜爽| 大码成人一级视频| 人妻 亚洲 视频| 一级毛片电影观看| 欧美激情国产日韩精品一区| 国产免费视频播放在线视频| 国产有黄有色有爽视频| 曰老女人黄片| 2022亚洲国产成人精品| 亚洲国产欧美日韩在线播放 | 黄色欧美视频在线观看| 免费av中文字幕在线| 18+在线观看网站| 丰满迷人的少妇在线观看| 99国产精品免费福利视频| 嫩草影院新地址| 伦理电影大哥的女人| 国产免费一区二区三区四区乱码| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 永久免费av网站大全| 欧美日韩av久久| 国产黄色免费在线视频| 国产一级毛片在线| 视频区图区小说| av在线app专区| 精品午夜福利在线看| 秋霞伦理黄片| 青青草视频在线视频观看| 黄色配什么色好看| 插阴视频在线观看视频| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 99热6这里只有精品| 久久久午夜欧美精品| 亚洲精品中文字幕在线视频 | 国产老妇伦熟女老妇高清| 在线观看av片永久免费下载| 超碰97精品在线观看| 欧美bdsm另类| 久久久a久久爽久久v久久| 久久久国产一区二区| 人人妻人人看人人澡| 视频中文字幕在线观看| 夫妻性生交免费视频一级片| 国产淫片久久久久久久久| 亚洲精品亚洲一区二区| 日本黄色片子视频| 精品久久久久久电影网| 男人添女人高潮全过程视频| 丰满迷人的少妇在线观看| 久久久久国产网址| 午夜福利影视在线免费观看| 日韩一本色道免费dvd| 妹子高潮喷水视频| 国产成人91sexporn| tube8黄色片| 欧美国产精品一级二级三级 | 91久久精品国产一区二区成人| 国产精品一区二区在线观看99| 我要看黄色一级片免费的| 在线观看av片永久免费下载| 国产精品伦人一区二区| 日日撸夜夜添| 欧美变态另类bdsm刘玥| 中文字幕av电影在线播放| 久久精品久久精品一区二区三区| 午夜福利,免费看| 在线观看免费高清a一片| 国产精品久久久久久久电影| 51国产日韩欧美| 国产一区二区三区av在线| 欧美成人午夜免费资源| 亚洲av福利一区| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 91精品伊人久久大香线蕉| 成年美女黄网站色视频大全免费 | 中文资源天堂在线| 美女内射精品一级片tv| 成人毛片a级毛片在线播放| 热re99久久精品国产66热6| 精品国产乱码久久久久久小说| 亚洲av在线观看美女高潮| 国产精品人妻久久久影院| 国产午夜精品一二区理论片| 国产黄片视频在线免费观看| 国产有黄有色有爽视频| 久久人人爽人人片av| 精品国产乱码久久久久久小说| 一个人免费看片子| 中国国产av一级| 久久久国产精品麻豆| 女性被躁到高潮视频| 国产精品偷伦视频观看了| 亚洲不卡免费看| 国产男人的电影天堂91| 久久亚洲国产成人精品v| 男男h啪啪无遮挡| 国产熟女欧美一区二区| 国产片特级美女逼逼视频| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 午夜精品国产一区二区电影| 一级片'在线观看视频| 人妻一区二区av| videossex国产| 在线观看av片永久免费下载| 三上悠亚av全集在线观看 | 高清视频免费观看一区二区| 精品国产国语对白av| 在线观看av片永久免费下载| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 777米奇影视久久| 麻豆成人av视频| 人妻人人澡人人爽人人| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 99久久人妻综合| 亚洲欧洲日产国产| av有码第一页| 精品人妻熟女av久视频| 最新中文字幕久久久久| 在线观看免费视频网站a站| 免费观看性生交大片5| 日本免费在线观看一区| 啦啦啦啦在线视频资源| 丰满人妻一区二区三区视频av| 在线播放无遮挡| 中文字幕av电影在线播放| 成人亚洲欧美一区二区av| 精品人妻熟女av久视频| 视频区图区小说| 秋霞伦理黄片| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 两个人的视频大全免费| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 五月伊人婷婷丁香| 精品视频人人做人人爽| 日日摸夜夜添夜夜爱| 交换朋友夫妻互换小说| 亚洲精品国产av蜜桃| 欧美精品国产亚洲| 免费大片黄手机在线观看| 女性被躁到高潮视频| 精华霜和精华液先用哪个| 日韩视频在线欧美| 日日爽夜夜爽网站| 久久热精品热| 久久精品国产亚洲av天美| 男女国产视频网站| 老司机影院毛片| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 亚洲国产av新网站| 国产又色又爽无遮挡免| 精品久久久精品久久久| 久久99精品国语久久久| 观看免费一级毛片| 免费大片18禁| 亚洲av日韩在线播放| 欧美日韩亚洲高清精品| 久久人人爽人人爽人人片va| 少妇高潮的动态图| 国产精品99久久99久久久不卡 | 男男h啪啪无遮挡| 男女边摸边吃奶| 国产在线一区二区三区精| 久久ye,这里只有精品| 99视频精品全部免费 在线| 天堂俺去俺来也www色官网| 日韩大片免费观看网站| 99国产精品免费福利视频| 一本一本综合久久| 99热国产这里只有精品6| 午夜视频国产福利| 精品久久久精品久久久| 如日韩欧美国产精品一区二区三区 | 中文字幕亚洲精品专区| 一级a做视频免费观看| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 亚洲精品第二区| 99久久中文字幕三级久久日本| 高清视频免费观看一区二区| 在线 av 中文字幕| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 欧美变态另类bdsm刘玥| 精品久久久精品久久久| 日本av免费视频播放| 久久狼人影院| 美女内射精品一级片tv| 国产精品偷伦视频观看了| 久久国产精品男人的天堂亚洲 | 青青草视频在线视频观看| 三级国产精品欧美在线观看| 成年av动漫网址| 久久ye,这里只有精品| 肉色欧美久久久久久久蜜桃| 欧美日韩亚洲高清精品| 男女国产视频网站| 欧美三级亚洲精品| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 91久久精品国产一区二区三区| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 2018国产大陆天天弄谢| 老司机影院毛片| 国产精品久久久久久精品古装| 国产亚洲欧美精品永久| 老司机影院毛片| 成人二区视频| 国产精品三级大全| 国产av码专区亚洲av| 欧美成人精品欧美一级黄| 成人特级av手机在线观看| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 亚洲国产欧美日韩在线播放 | 亚洲经典国产精华液单| 性色av一级| 国产精品免费大片| 插逼视频在线观看| 国产精品久久久久久精品古装| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 大陆偷拍与自拍| 性色av一级| 国产精品三级大全| 日本免费在线观看一区| 久久久久久久国产电影| 色哟哟·www| 成年人免费黄色播放视频 | 免费大片黄手机在线观看|