兩廠商n元市場(chǎng)三度價(jià)格歧視的納什均衡

高興佑

（曲靖師范學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，云南曲靖 655011）

兩廠商n元市場(chǎng)三度價(jià)格歧視的納什均衡

高興佑

（曲靖師范學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，云南曲靖 655011）

對(duì)兩寡頭廠商n元市場(chǎng)用完全信息靜態(tài)博弈的方法分析了實(shí)施三度價(jià)格歧視情形和統(tǒng)一定價(jià)情形的均衡產(chǎn)量，均衡價(jià)格和均衡總收益，并研究了這兩種情形三個(gè)指標(biāo)之間的關(guān)系。結(jié)果顯示，在兩個(gè)子市場(chǎng)的需求函數(shù)為線性需求的條件下，統(tǒng)一定價(jià)的市場(chǎng)均衡產(chǎn)量等于歧視定價(jià)的市場(chǎng)均衡產(chǎn)量；統(tǒng)一定價(jià)的均衡價(jià)格是歧視定價(jià)時(shí)n個(gè)子市場(chǎng)均衡價(jià)格的加權(quán)平均；統(tǒng)一定價(jià)的市場(chǎng)均衡總收益小于歧視定價(jià)的市場(chǎng)均衡總收益。

寡頭壟斷市場(chǎng)；三度價(jià)格歧視；完全信息靜態(tài)博弈；納什均衡；古諾模型

1 引言

價(jià)格歧視是指同一賣者的同一產(chǎn)品對(duì)不同買者或?qū)ν毁I者不同購(gòu)買數(shù)量或不同購(gòu)買順序收取不同的價(jià)格。該理論是由英國(guó)著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家福利經(jīng)濟(jì)學(xué)之父庇古（Arthur Cecil Pigou，1877-1959）在1920年出版的代表作《福利經(jīng)濟(jì)學(xué)》一書中首次提出①Arthur Cecil Pigou，The Economics ofWelfare，London：Macmillan Company，1920.。由于在現(xiàn)代商業(yè)實(shí)踐中獲得了廣泛的應(yīng)用，該理論受到了諸多學(xué)者的關(guān)注，經(jīng)過近一個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)已經(jīng)取得了非常豐富的成果。根據(jù)占有消費(fèi)者剩余的程度（歧視程度）的不同，價(jià)格歧視可分為一度二度和三度價(jià)格歧視。一度價(jià)格歧視是指廠商對(duì)每一單位商品收取一個(gè)不同的價(jià)格，該價(jià)格就是消費(fèi)者愿意支付的最高價(jià)格（需求價(jià)格），廠商由此剝奪了全部消費(fèi)者剩余，獲取了最大利潤(rùn)。二度價(jià)格歧視是指廠商銷售同一種商品時(shí)，根據(jù)消費(fèi)者的需求曲線把需求量分為不同的區(qū)間，對(duì)較小的需求量索取較高的價(jià)格，對(duì)較大的需求量索取較低的價(jià)格，由此占有部分消費(fèi)者剩余，利潤(rùn)得到增加。三度價(jià)格歧視是指同一個(gè)廠商在銷售同一種商品時(shí)，把消費(fèi)者劃分為不同的子市場(chǎng)，收取不同的價(jià)格。三度價(jià)格歧視根據(jù)消費(fèi)者的需求價(jià)格彈性（對(duì)價(jià)格反應(yīng)的敏感程度）的不同分別制定不同的價(jià)格，對(duì)彈性高的人群制定低價(jià)，對(duì)彈性低的人群制定高價(jià)，由此獲取更大的利潤(rùn)。一度價(jià)格歧視很簡(jiǎn)單，其研究也最透徹，本質(zhì)上就是消費(fèi)者的全部剩余都轉(zhuǎn)化為廠商的利潤(rùn)，其歧視程度是最高的，因而也被稱為完全價(jià)格歧視。一度價(jià)格歧視與單一定價(jià)（不進(jìn)行價(jià)格歧視）相比能提高經(jīng)濟(jì)效率，增加社會(huì)福利，使市場(chǎng)近于完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)。不過一度價(jià)格歧視過于理想化，在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中很難找到。對(duì)二度價(jià)格歧視的研究也已基本完備。文②唐小我：《二度價(jià)格歧視情形下壟斷廠商收益最大化條件》，《電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)》1997年第2期，第194-198頁(yè)。③唐小我：《非線性需求函數(shù)條件下二度價(jià)格歧視研究》，《電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)》1999年第1期，第78-83頁(yè)。④唐小我：《二度價(jià)格歧視的進(jìn)一步研究》，《管理科學(xué)學(xué)報(bào)》2001年第1期，第7-11頁(yè)。研究了經(jīng)典的完全壟斷市場(chǎng)二度價(jià)格歧視的方法和規(guī)律；文⑤陳紹剛，唐小我，趙蜀蓉：《兩廠商情形下的二度價(jià)格歧視的納什均衡》，《系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用》2003年第4期，第303-306頁(yè)。⑥陳紹剛：《兩類差別定價(jià)方法的理論拓展及應(yīng)用研究》，電子科技大學(xué)博士論文，2004年。⑦高興佑：《寡頭廠商二度價(jià)格歧視靜態(tài)與動(dòng)態(tài)博弈分析》，《曲靖師范學(xué)院學(xué)報(bào)》2003年第6期，第25-28頁(yè)。⑧高興佑：《二度價(jià)格歧視的數(shù)理經(jīng)濟(jì)分析》，電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文，2003年。指出寡頭壟斷市場(chǎng)也存在二度價(jià)格歧視，提出了該市場(chǎng)類型二度價(jià)格歧視的分析方法：博弈論的方法；文①陳紹剛，高興佑，唐小我：《競(jìng)爭(zhēng)條件下二度價(jià)格歧視均衡的進(jìn)一步研究》，《2005中國(guó)控制與決策學(xué)術(shù)年會(huì)論文集》，哈爾濱，2005年，第1726-1728頁(yè)。②GAO Xing-you，GAO Wen-jin.Nash Equilibrium of Second-Degree Price Discrim ination in Oligopoly Market，Proceedings of 2012 International Conference on Computer and Management，Scientific Research Publishing，USA，2012，Vol.2：783-788.研究了兩寡頭n段定價(jià)二度價(jià)格歧視的納什均衡；文③顧婧，陳紹剛：《古諾模型的多廠商二度價(jià)格歧視行為研究》，《電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)》2007年第2期，第470-472頁(yè)。④高興佑，高文進(jìn)：《價(jià)格歧視下四種市場(chǎng)的均衡產(chǎn)量和價(jià)格》，《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》2011年第1期，第81-84頁(yè)。則研究了m個(gè)廠商二段定價(jià)二度價(jià)格歧視的納什均衡。二度價(jià)格歧視研究的主要結(jié)論如下。從廠商的角度來(lái)看，第一，線性需求下m個(gè)廠商情形廠商收益最大化的充分必要條件是，把需求量區(qū)間分為n段，使各段長(zhǎng)度呈公比為的等比數(shù)列。第二，線性需求下m個(gè)廠商n段定價(jià)最優(yōu)（或均衡）分段點(diǎn)的分布規(guī)律被找到了，均衡歧視價(jià)格，均衡歧視總收益的統(tǒng)一的計(jì)算公式也被找到了。第三，在完全壟斷市場(chǎng)，當(dāng)分段數(shù)n→∞時(shí)廠商可以占有全部的消費(fèi)者剩余，此時(shí)二度價(jià)格歧視轉(zhuǎn)化為一度價(jià)格歧視；在寡頭壟斷或壟斷競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)由于競(jìng)爭(zhēng)的影響廠商只能占有部分的消費(fèi)者剩余；而在完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)價(jià)格歧視將不可實(shí)施。從消費(fèi)者的角度來(lái)看，二度價(jià)格歧視下廠商能占有部分的消費(fèi)者剩余，從而侵害了消費(fèi)者的利益。從全社會(huì)的角度來(lái)看，二度價(jià)格歧視比單一定價(jià)能提高經(jīng)濟(jì)效率增加社會(huì)福利。

在三度價(jià)格歧視的研究方面，文⑤唐小我，付崇倫：《價(jià)格歧視有效性研究》，《電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)》1996年第2期，第200-205頁(yè)。-⑥唐小我：《三度價(jià)格歧視的數(shù)量分析》，《管理工程學(xué)報(bào)》1999年第1期，第37-39頁(yè)。對(duì)經(jīng)典的完全壟斷市場(chǎng)進(jìn)行了深入的分析，研究得非常透徹。主要結(jié)論有，第一，在完全壟斷市場(chǎng)三度價(jià)格歧視的方法。第二，在完全壟斷市場(chǎng)實(shí)施三度價(jià)格歧視與統(tǒng)一定價(jià)（不進(jìn)行價(jià)格歧視）相比，最優(yōu)產(chǎn)量，價(jià)格和利潤(rùn)的關(guān)系。第三，在完全壟斷市場(chǎng)三度價(jià)格歧視有效（利潤(rùn)增加）或可實(shí)施的充要條件。實(shí)際上三度價(jià)格歧視不僅僅會(huì)發(fā)生在完全壟斷市場(chǎng)，也會(huì)發(fā)生在寡頭壟斷市場(chǎng)。文⑦王偉：《三度價(jià)格歧視理論及福利效應(yīng)分析》，電子科技大學(xué)碩士論文，2005年。-⑧王偉，陳紹剛：《兩廠商情形下三度價(jià)格歧視的有效性研究》，《電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)》2007年第2期，第482-484頁(yè)。用博弈論的方法研究了這個(gè)問題，得到了兩廠商在2元市場(chǎng)價(jià)格歧視的方法和利潤(rùn)的計(jì)算公式，并得到了價(jià)格歧視有效的條件。兩廠商2元市場(chǎng)是一個(gè)有代表性的情形，然而不是最一般的情形，最一般的情形是兩廠商n元市場(chǎng)（任意多個(gè)子市場(chǎng)）。本文將基于古諾（Antoine Augustin Cournot）模型（該模型假設(shè)廠商的成本為0，這樣利潤(rùn)最大化問題就轉(zhuǎn)化為收益最大化問題），用完全信息靜態(tài)博弈的方法⑨唐小我，曾勇，李仕民：《管理經(jīng)濟(jì)分析——理論及應(yīng)用》，成都：電子科技大學(xué)出版社，2000年。-14謝識(shí)予：《經(jīng)濟(jì)博弈論》（第2版），上海：上海三聯(lián)書店，復(fù)旦大學(xué)出版社，2002年。來(lái)研究線性需求下兩廠商在n元市場(chǎng)實(shí)施三度價(jià)格歧視的規(guī)律，并得到歧視定價(jià)與統(tǒng)一定價(jià)相比較的均衡產(chǎn)量，均衡價(jià)格和均衡總收益之間的關(guān)系。最后，我們還將發(fā)現(xiàn)三度價(jià)格歧視的各個(gè)均衡量隨著子市場(chǎng)個(gè)數(shù)變化的規(guī)律。

2 歧視定價(jià)

假設(shè)寡頭廠商1和2生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品，面對(duì)n個(gè)相互隔離的子市場(chǎng)1，2，…，n，子市場(chǎng)需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)Pi=ai-biQi（ai＞0，bi＞0，i=1，2，…，n）。設(shè)廠商1和2在n個(gè)子市場(chǎng)的產(chǎn)量（銷量）分別為Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）和Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）。Q1=Q1（1）+Q1（2）為市場(chǎng)1的需求量，市場(chǎng)價(jià)格相應(yīng)為P1=a1-b1Q1；Q2=Q2（1）+Q2（2）為市場(chǎng)2的需求量，市場(chǎng)價(jià)格相應(yīng)為P2=a2-b2Q2；…；Qn=Qn（1）+Qn（2）為市場(chǎng)n的需求量，市場(chǎng)價(jià)格相應(yīng)為Pn=an-bnQn。在符號(hào)的使用上，上標(biāo)指廠商，下標(biāo)指市場(chǎng)。廠商1和2的收益分別為：

兩廠商同時(shí)決策，以最大化自己的收益，則這是一個(gè)完全信息靜態(tài)博弈。廠商1在廠商2產(chǎn)量Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）給定的條件下確定自己的產(chǎn)量Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）以使TR（1）最大；同樣，廠商2在廠商1產(chǎn)量Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）給定的條件下確定自己的產(chǎn)量Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）以使TR（2）最大。設(shè)Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）；Q1（2），Q2（2），…，Qn（2）是本博弈的納什均衡，則（Q1（1），Q2（1），…，Qn（1）；Q1（2），Q2（2），…，Qn（2））必是最大化問題

定理2兩實(shí)力相當(dāng)寡頭廠商在n個(gè)子市場(chǎng)的需求函數(shù)為線性需求Pi=ai-biQi（i=1，2，…，n）的條件下歧視定價(jià)，同時(shí)決策確定自己的產(chǎn)量，以使各自的收益最大，各個(gè)均衡量的計(jì)算公式為

定理3兩寡頭廠商市場(chǎng)在線性需求和歧視定價(jià)的條件下，新增的子市場(chǎng)數(shù)n越多，廠商的均衡產(chǎn)量越大，均衡收益也越大；同時(shí)，市場(chǎng)的均衡總產(chǎn)量越大，均衡總收益也越大。廠商按需求的價(jià)格彈性由小到大的順序依次向新增子市場(chǎng)供貨可獲更大的利潤(rùn)。

3 統(tǒng)一定價(jià)

市場(chǎng)總需求量為：

因兩廠商的產(chǎn)量相同，可以認(rèn)為它們的實(shí)力相當(dāng)。

此時(shí)，市場(chǎng)總產(chǎn)量為：

上面的結(jié)果可以歸結(jié)為下面的兩個(gè)定理：

定理4兩實(shí)力相當(dāng)寡頭廠商在n個(gè)相互隔離的子市場(chǎng)統(tǒng)一定價(jià)，以使各自的收益最大化，在各個(gè)子市場(chǎng)的需求函數(shù)為線性函數(shù)Pi=ai-biQi（i=1，2，…，n）的條件下，各個(gè)最優(yōu)量的計(jì)算公式如下：

4 歧視定價(jià)和統(tǒng)一定價(jià)的比較

通過比較統(tǒng)一定價(jià)和歧視定價(jià)時(shí)的均衡產(chǎn)量，均衡價(jià)格和均衡收益，我們可以得到若干重要的結(jié)論，現(xiàn)歸納如下。

定理6在n個(gè)子市場(chǎng)的需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)的條件下，兩實(shí)力相當(dāng)寡頭廠商統(tǒng)一定價(jià)和歧視定價(jià)收益最大化的均衡總產(chǎn)量相同，因而，兩實(shí)力相當(dāng)寡頭市場(chǎng)在統(tǒng)一定價(jià)和歧視定價(jià)情形的均衡總產(chǎn)量也相同。

定理7在n個(gè)子市場(chǎng)的需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)的條件下，兩實(shí)力相當(dāng)寡頭實(shí)施或不實(shí)施三度價(jià)格歧視，其總成本都相同，因而它們歧視定價(jià)時(shí)利潤(rùn)增量與成本無(wú)關(guān)。

定理8在兩個(gè)子市場(chǎng)的需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)的條件下，兩寡頭廠商市場(chǎng)統(tǒng)一定價(jià)的均衡價(jià)格是歧視定價(jià)時(shí)n個(gè)子市場(chǎng)的均衡價(jià)格的加權(quán)平均。

證明：統(tǒng)一定價(jià)時(shí)的最優(yōu)價(jià)格故P*是Pid*的加權(quán)平均。

定理9在n個(gè)子市場(chǎng)的需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)的條件下，兩實(shí)力相當(dāng)寡頭廠商三度價(jià)格歧視有效（利潤(rùn)增加）的充要條件是

不全相等。

定理10在n個(gè)子市場(chǎng)的需求函數(shù)均為線性需求函數(shù)的條件下，兩實(shí)力相當(dāng)寡頭廠商歧視定價(jià)與統(tǒng)一定價(jià)相比，利潤(rùn)只會(huì)增加，不會(huì)減少。

證明：只證廠商1的情況，廠商2的情況完全類似。廠商1歧視定價(jià)的均衡利潤(rùn)與統(tǒng)一定價(jià)的均衡利潤(rùn)之差為：

由上式可知Δπ（1）*=0成立的充要條件是：

當(dāng)a1，a2，…，an不全相等時(shí)，Δπ（1）*＞0。這樣就證明了結(jié)論定理9和定理10。

由定理10顯然可以很容易地推出一個(gè)重要的結(jié)論。

定理11在總市場(chǎng)既定且可以細(xì)分為線性子市場(chǎng)的情況下，市場(chǎng)分得越細(xì)，則廠商獲取的利潤(rùn)越多。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于古諾模型（假設(shè)兩廠商的成本均為0），用完全信息靜態(tài)博弈的方法分析了兩寡頭在n元市場(chǎng)實(shí)施三度價(jià)格歧視的方法和規(guī)律。得到了廠商，子市場(chǎng)以及總市場(chǎng)的均衡量的計(jì)算公式；價(jià)格歧視有效（利潤(rùn)增加）的條件；統(tǒng)一定價(jià)與歧視定價(jià)相比，市場(chǎng)均衡產(chǎn)量，均衡價(jià)格以及均衡總收益的關(guān)系。文①王偉：《三度價(jià)格歧視理論及福利效應(yīng)分析》，電子科技大學(xué)碩士學(xué)位論文，2005年。-②王偉，陳紹剛：《兩廠商情形下三度價(jià)格歧視的有效性研究》，《電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)》2007年第2期，第482-484頁(yè)。給出的是兩寡頭2元市場(chǎng)的代表性的情形，本文給出的是兩寡頭n元市場(chǎng)的最一般的情形，并且找到了統(tǒng)一定價(jià)與歧視定價(jià)相比，市場(chǎng)均衡產(chǎn)量，均衡價(jià)格以及均衡總收益的關(guān)系。我們發(fā)現(xiàn)，這些結(jié)果與唐小我教授在文③唐小我，付崇倫：《價(jià)格歧視有效性研究》，《電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)》1996年第2期，第200-205頁(yè)。-④唐小我：《三度價(jià)格歧視的數(shù)量分析》，《管理工程學(xué)報(bào)》1999年第1期，第37-39頁(yè)。中用微積分的方法研究經(jīng)典的完全壟斷市場(chǎng)三度價(jià)格歧視得出的結(jié)論是完全一致的。

Nash equilibrium of third-degree p rice d iscrim ination under the cond ition of 2 enterp rises w ith n sub m arkets

GAO Xing-you

Equilibrium output,equilibrium price and equilibrium total revenue in the case of imp lementing third-degree price discrim ination and unified pricing were analyzed under the condition of 2 enterprises with n sub markets by complete information static gamemethod,and the relationship between the three indexes of the two cases were studied.The results showed that,under the condition of linear demand functions of the n sub markets,the equilibrium output of unified pricing was equal to the equilibrium output of discrim inative pricing;the equilibrium price of unified pricing was weighted average of the equilibrium prices of n sub markets while discriminative pricing;the equilibrium total revenue of unified pricing was less than the equilibrium total revenue of discrim inative pricing.

oligopoly market；third-degree price discrimination；complete information static game；Nash equilibrium；Cournotmodel

F224

A

1009-9530（2014）01-0001-05

2013-10-01

高興佑（1975-），男，云南曲靖師范學(xué)院教授，主要研究方向?yàn)椋航?jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，價(jià)格理論，宏觀調(diào)控。