高階歐拉多項式與交錯等冪和多項式的對稱等式

伍 鳴

(金陵科技學院公共基礎(chǔ)課部,江蘇 南京 211169)

高階歐拉多項式與交錯等冪和多項式的對稱等式

伍 鳴

(金陵科技學院公共基礎(chǔ)課部,江蘇 南京 211169)

推廣了一個關(guān)于歐拉數(shù)與交錯等冪和多項式的對稱關(guān)系式,獲得了包含多個高階歐拉多項式和交錯等冪和多項式的對稱等式。

歐拉數(shù);歐拉多項式;高階歐拉多項式;交錯等冪和多項式

歐拉數(shù)En是組合數(shù)學中一類非常重要的數(shù)列,在正割secx和雙曲正割sechx的泰勒級數(shù)中出現(xiàn)。它由指數(shù)生成函數(shù)

所定義,奇數(shù)項的歐拉數(shù)皆為0,偶數(shù)項的歐拉數(shù)正負相間,分別為:

與此同時,歐拉多項式En(x)也類似地由指數(shù)生成函數(shù)

1 歐拉數(shù)的基本對稱等式

Tuenter[4]曾發(fā)現(xiàn)一個關(guān)于伯努利數(shù)與等冪和多項式的對稱關(guān)系式。Liu和Wang[5]在此研究成果上證明了一個關(guān)于歐拉數(shù)與交錯等冪和多項式的對稱關(guān)系式,如下:

引理1 對任意正整數(shù)a,b,m以及n≥0,如果a與b具有相同奇偶性,那么有

Yang[6]證明了一個高階伯努利多項式與等冪和多項式的對稱關(guān)系式,Liu和Wang[5]類似地證明了高階歐拉多項式與交錯等冪和多項式的對稱關(guān)系,如下:

在數(shù)學課堂上進行對學生自主學習能力的培養(yǎng)，需要積極進行對課堂情境的創(chuàng)設(shè)，結(jié)合學生的學習興趣和愛好，進行對各種數(shù)學知識的有效教學，激發(fā)學生的學習熱情，引導(dǎo)學生進行自主學習，提高教學的效率。在教學中教師需要根據(jù)教材內(nèi)容的需要進行對課堂的創(chuàng)設(shè)，結(jié)合學生日常生活中的各種事物或常識，進行對學生的教學引導(dǎo)，推動與鼓勵學生進行各種自主探究活動，激發(fā)學生的學習興趣，提高數(shù)學課堂的教學質(zhì)量，實現(xiàn)對學生自主學習能力的培養(yǎng)。

引理2 對任意正整數(shù)a,b,m以及n≥0,如果a與b具有相同奇偶性,那么有

2 含交錯冪和多項式的歐拉多項式對稱式

定理1 對任意正整數(shù)m,ai(i=1,2,…,k)以及n≥0,當1≤p＜q≤k時,如果ap與aq具有相同奇偶性,那么有

證明 假設(shè)ap與aq都是偶數(shù),可設(shè)函數(shù)

觀察到這個函數(shù)的表達式是關(guān)于ai(i=1,2,…,k)完全對稱的,接下來用不同方式將g(t)展開成無窮級數(shù):

通過對比這兩個展開式中的系數(shù),容易得出結(jié)果。

假設(shè)ap與aq都是奇數(shù),可設(shè)函數(shù)

運用同樣的方法,可以得出結(jié)果。證畢。

在定理1中,如果讓k=2,就可以得到引理2中的等式(6)。

推論1 對任意正整數(shù)ai(i=1,2,…,k),以及n≥0,當1≤p＜q≤k時,如果ap與aq具有相同奇偶性,那么有

證明 在定理1中,讓m=1,xq=0,即得。證畢。

特別地,在推論1中,如果讓k=2,就可以得到引理1中的等式(4)。

定理2 對任意正整數(shù)m,ai(i=1,2,…,k),n≥0,當1≤p＜q≤k時,如果ap與aq具有相同奇偶性,那么有

證明 假設(shè)ap與aq都是偶數(shù),可設(shè)函數(shù)一方面,

另一方面,同樣可得

假設(shè)ap與aq都是奇數(shù),可設(shè)函數(shù)

運用同樣的方法,可以得出結(jié)果。證畢。

3 結(jié) 語

本文在Liu和Wang工作的基礎(chǔ)上,推廣了一個關(guān)于歐拉數(shù)與交錯等冪和多項式的對稱關(guān)系式,獲得了關(guān)于多個高階歐拉多項式與交錯等冪和多項式的對稱等式,它將已有的研究結(jié)果都包含在這一等式中,并且得到了歐拉多項式乘法定理的推廣形式。

[1]Dilcher K.Sums of Products of Bernoulli numbers[J].Journal of Number Theory,1996,60:23-41

[2]Satoh J.Sums of Products of Two q-Bernoulli Numbers[J].Journal of Number Theory,1999,74:173-180

[3]Wu M,Pan H.Sums of Products of Bernoulli Numbers of the Second Kind[J].The Fibonacci Quarterly,2007,45:146 -150

[4]Tuenter H J H.A Symmetry of Power Sum Polynomials and Bernoulli Numbers[J].The American Mathematical Monthly,2001,108:258-261

[5]Liu H,Wang W.Some Identities on the Bernoulli,Euler and Genocchi Polynomials via Power Sums and Alternate Power Sums[J].Discrete Mathematics,2009,309(10):3346-3363

[6]Yang S L.An Identity of Symmetry for the Bernoulli polynomials[J].Discrete Mathematics,2008,308:550-554

(責任編輯:馬金玉)

An Identity of Symmetry for Higher Order Euler Polynomials and Alternate Power Sum Polynomials

WU Ming
(Jingling Institute of Technology,Nanjing 211169,China)

A relation of symmetry between Euler polynomials and alternate power sum polynomials is generalized.An identity of symmetry for several higher order Euler polynomials and alternate power sum polynomials is obtained.

Euler number;Euler polynomial;higher order Euler polynomials;alternate power sum polynomials

O157.1

A

1672-755X(2014)03-0001-04

2014-08-28

伍鳴(1978-),女,江蘇南京人,講師,碩士,主要從事組合、數(shù)論等方面的研究。