有限域隨機(jī)變量限界概率分布函數(shù)模型

鄒毅，王君杰

（1．中國人民大學(xué)信息學(xué)院，北京 100872；2．同濟(jì)大學(xué)橋梁工程系，上海 200092）

有限域隨機(jī)變量限界概率分布函數(shù)模型

鄒毅1，王君杰2

（1．中國人民大學(xué)信息學(xué)院，北京 100872；2．同濟(jì)大學(xué)橋梁工程系，上海 200092）

針對(duì)隨機(jī)變量正態(tài)分布函數(shù)等的理想化情況，提出了限界修正的方法，并給出了線性函數(shù)修正和二次函數(shù)修正兩種具體的修正結(jié)果。以美國AASHTO橋梁船撞設(shè)計(jì)指南中船舶碰撞概率的計(jì)算方法為例，說明了限界修正在工程領(lǐng)域中的重要性。

隨機(jī)變量；概率密度函數(shù)；有限域

在科學(xué)與工程領(lǐng)域，當(dāng)對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行定量數(shù)學(xué)建模時(shí)，一些物理量表現(xiàn)出很強(qiáng)的不確定性，其中絕大多數(shù)可以描述為隨機(jī)性，具有隨機(jī)性的物理量稱為隨機(jī)變量。恰當(dāng)?shù)拿枋鲭S機(jī)變量可以確定其概率分布函數(shù)，這樣就可以得到該隨機(jī)變量的完整的統(tǒng)計(jì)描述。從目前的研究與應(yīng)用的情況來看，廣泛使用的隨機(jī)變量的概率描述數(shù)學(xué)模型主要有正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、極值分布等［1－2］。這些應(yīng)用廣泛的分布函數(shù)的數(shù)學(xué)模型一般都定義在（－∞，＋∞）或（0，＋∞）上。但任何現(xiàn)實(shí)的物理量都不可能取值－∞或＋∞，數(shù)學(xué)模型的這種處理是對(duì)真實(shí)物理現(xiàn)象的理想化處理。這種理想化處理在很多情況下可以給出合理地分析和預(yù)測(cè)結(jié)果，但對(duì)于一些工程問題，這種理想化則不能合理的分析和預(yù)測(cè)結(jié)果，需要進(jìn)行必要的限界修正。本文針對(duì)應(yīng)用最為廣泛的正態(tài)分布模型進(jìn)行限界修正，并以案例說明這種修正的實(shí)際意義。

1 修正模型的一般表達(dá)形式

假定X是可以理想化為正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f（x），定義在（－∞，＋∞）區(qū)間上。對(duì)于實(shí)際的工程問題，隨機(jī)變量X的取值區(qū)間是有限的，記為（x1，x2），其中x1和x2取有限值?？紤]到隨機(jī)變量X的取值區(qū)間為有界的實(shí)際情況，進(jìn)行如下修正，得到概率分布函數(shù)模型

其中x0為f（x）取最大值處，f1（x）和f2（x）稱為修正函數(shù)，p（x）稱為修正的限界概率密度函數(shù)。

記p（x）在x＝x0處得最的大值為pmax，則有

記p（x）在x＝x1處取值為p1，在x＝x2處取值為p2，則有

理論上講，f1（x）和f2（x）可以取任何合理的函數(shù)，但出于簡單考慮，這里選取線性函數(shù)和二次拋物線函數(shù)。

2 線性修正函數(shù)

最簡單的修正函數(shù)可以選線性函數(shù)。利用f1（x）和f2（x）在x0、x1和x2處的函數(shù)取值（式（2）和（3）），可以得到

修正過的概率密度函數(shù)p（x）必須滿足

據(jù)此，對(duì)于線性函數(shù)，可以得到

采用線性修正函數(shù)得到的修正結(jié)果見圖1。

圖1 線性修正結(jié)果Fig.1 linear correction results

3 二次拋物線修正函數(shù)

對(duì)于二次拋物線函數(shù)，除了利用f1（x）和f2（x）在x0、x1和x2處的函數(shù)取值（式（2）和（3））外，還需要補(bǔ)充條件：在x＝x0時(shí)，f1（x）取極值f′1（x0）＝f′2（x0）＝0。即，據(jù)此可以得到

對(duì)于二次函數(shù)，根據(jù)式（5），可以得到

采用線性修正函數(shù)得到的修正結(jié)果見圖2。

對(duì)正態(tài)概率密度函數(shù)的修正，目的是考慮自變量域的有界性，這一點(diǎn)對(duì)有些工程實(shí)際問題是重要而不能忽略的。修正的一個(gè)基本考慮是經(jīng)過修正的概率密度函數(shù)，與域內(nèi)原正態(tài)概率密度函數(shù)的性質(zhì)接近，如光滑性、凹凸變化等。經(jīng)二次拋物線修正后的概率密度函數(shù)在性質(zhì)上與原正態(tài)概率密度函數(shù)更接近，因此與線性函數(shù)修正相比，這是更好的修正方案。

4 應(yīng)用

圖2 二次拋物線修正結(jié)果Fig.2 Correction result of quadratic parabola

目前，國內(nèi)外船舶與近海工程結(jié)構(gòu)碰撞概率的計(jì)算［3－9］，其幾何分布均定義為正態(tài)分布。但河道與航道都是有界的，因此理想化的正態(tài)分布與實(shí)際情況有差別。本文以這一工程應(yīng)用為背景，來說明限界修正的必要性。計(jì)算對(duì)象為一座跨越航道的大橋，平面布置為4×50 m＋2×160 m＋13×50 m，如圖3所示，橋墩編號(hào)從16號(hào)到35號(hào)［10］。

為了表達(dá)定量反映限界修正的影響，定義如下比值

式中，pm為限界修正后的碰撞概率，p為無修正時(shí)的碰撞概率。

圖4是比值ρ的計(jì)算結(jié)果。由圖4可見，進(jìn)行限界修正后，對(duì)于遠(yuǎn)離航道的橋墩船撞頻率會(huì)減小，而且離航道越遠(yuǎn)減小的程度越大；對(duì)于靠近航道處的橋墩，進(jìn)行限界修正后撞擊頻率可能會(huì)變小也可能會(huì)變大（如下行船舶撞擊23號(hào)墩的頻率在進(jìn)行限界修正后會(huì)變大）。原因是隨著偏離分布曲線中心點(diǎn)距離的增加，修正概率密度函數(shù)和未修正概率密度函數(shù)的函數(shù)值偏差會(huì)呈遞增趨勢(shì)。圖4顯示，考慮河道與航道的有界性后，船舶航跡采用二次函數(shù)修正的限界正態(tài)概率分布函數(shù)，對(duì)船舶碰撞頻率的估計(jì)結(jié)果的影響顯著，離航道中心線越遠(yuǎn)影響越大（減?。Ｔ摾砻?，正態(tài)分布函數(shù)的限界修正具有實(shí)際工程意義。

圖3 九江大橋橋跨布置Fig.3 Layoutof Jiujiang bridge and its navigational channels

圖4 限界修正對(duì)船舶撞擊頻率的影響Fig.4 Impactof limited domain correction on vessel collision frequency

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Modified probabilistic density function of a random variable in a limited domain

ZOU Yi1，WANG Jun-jie2
（1．School of Information，Renmin University of China，Beijing 100872，China；2．Department of Bridge Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China）

We presented a limited domain modification approach for the ideal condition of normal distribution of a random variable．We also proposed two concrete modification results of linear function and quadratic function modification．We further demonstrated the importance of limited domain modification of probabilistic density function in science and engineering，taking the computational method of vessel-bridge collision probability in USA AASHTO guide for bridge-vessel collision design as an example．

random variable；probabilistic density function；limited domain

TB115

A

1002-4026（2014）01-0106-04

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.01.019

2013-10-10

交通運(yùn)輸部西部科技項(xiàng)目（200731882234）；交通部行業(yè)聯(lián)合科技攻關(guān)項(xiàng)目（2008-353-344-340）

鄒毅（1992－），男，學(xué)士，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)。Email：zouyiapply＠sina．com