一類縱向數(shù)據(jù)半?yún)?shù)模型誤差方差的估計

黃 翔， 汪春華， 鐘小芳， 周 安

（安徽中醫(yī)藥大學 醫(yī)藥信息工程學院，安徽 合肥 230031）

截面數(shù)據(jù)下的半?yún)?shù)模型為：

對于該模型的估計問題，文獻［1－2］得到了若干較為理想的估計量的大樣本性質(zhì)，文獻［3－4］將模型（1）推廣到縱向數(shù)據(jù)情形，并基于最小二乘法和一般的非參數(shù)權函數(shù)方法討論了估計的相合性。

縱向數(shù)據(jù)下的半?yún)?shù)模型為：

其中，xij∈Rp為已知的固定設計點列；β為p維未知參數(shù)；g（·）為定義在Rp中一緊集Dp上的未知函數(shù)；eij為隨機誤差，E（eij）＝0，0≤Var（eij）＝σ2＜∞，ei＝：（ei1，ei2，…，eini）′，｛ei，i＝1，2，…，m｝相互獨立；｛ni｝為有界正整數(shù)序列，即存在正整數(shù)M，使得ni≤M，i＝1，2，…，m。

在適當條件下，文獻［5］討論了估計量β的強收斂速度和g（x）估計量的一致收斂速度。本文參照文獻［5－6］的方法，基于最小二乘法和一般的非參數(shù)權函數(shù)方法給出了模型（2）中參數(shù)β和回歸函數(shù)g（·）的估計，參照文獻［7］的方法構(gòu)造了σ2的估計量的表達形式，并在適當條件下，證明了誤差方差σ2的估計量漸近正態(tài)性。由于｛ni｝有界，樣本數(shù)目總數(shù)n與個體數(shù)目m是同階的，因此m→∞與n→∞等價。

1 估計方法與假設條件

對于模型（2），定義β的估計＾β為（3）式的解［5］，即

可解得β的估計為：

定義非參數(shù)分量g（·）的估計為：

其中，Wkl（x）＝Wkl（x；x11，x12，…，xmnm）為定義在閉區(qū)域I上一般非參數(shù)概率權函數(shù)。

定義誤差方差σ2的估計為：

本文作如下3種假定。

條件1 假定xij滿足：

條件2g（·）是定義在Rp中一緊集Dp上的未知連續(xù)函數(shù)。

條件3 對x∈I，一致地有：

2 主要結(jié)論與證明

定理1 若條件1、條件2和條件3同時成立，并有E｜e11｜4＜∞，則有：

由于 Var（）未知，因此定理1無法直接用于統(tǒng)計目的。定義的估計為：

定理2 若條件1、條件2和條件3同時成立，并有E｜e11｜4＜∞，則有：

推論 若條件1、條件2和條件3同時成立，并有E｜e11｜4＜∞，則有：

本文用c表示不依賴于n和m的有限正常數(shù)，可取不同的值。

引理1 若存在r≥2，使得E｜eij｜2r＜∞，則

證明 見文獻［6］。

引理2 設X1，X2，…，Xn是獨立隨機變量EXi＝0（i＝1，2，…，n），r≥2，則有：

證明 見文獻［8］第三章定理20。

引理3 假設條件1、條件2和條件3同時成立，并且有supE｜eij｜r＜∞，r≥2，則有：

證明 見文獻［9］。

下面給出定理1的證明。經(jīng)計算可得：

結(jié)合（7）式，定理1得證。

定理2的證明。由定理1可知＾σ2→PEe211，因此要只需證明：

由引理3可知，T1→0，T2→0，a.s。

推論可由定理1、定理2直接得出。

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