Poisson方程外問題平方收斂的不重疊Schwarz交替法

董永新， 王壽城

（合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院，安徽 合肥 230009）

0 引言

文獻［1－2］討論了半平面上不重疊Schwarz交替法，利用極值原理證明了其在極大模意義下的幾何收斂性；文獻［3］討論了一個雙調(diào)和方程兩子區(qū)域上無重疊的區(qū)域分裂法；文獻［4］引入松弛因子加速Schwarz交替法收斂速度，論述了徑向基函數(shù)配點法和不重疊型Schwarz交替法的結(jié)合用于求解橢圓方程?？傊鉄o界區(qū)域橢圓邊值問題，常用有限元與邊界元耦合法，做適當?shù)娜斯み吔纾邢迏^(qū)域上用有限元方法，無界區(qū)域上用自然邊界歸化，從而有效地解這類方程。上述方法都是在某一解答過程中創(chuàng)新了一種方法的優(yōu)良算法［5］。本文在原算法基礎上離散二分迭代函數(shù)，從二分算法迭代值角度，以Poisson方程外問題為例，討論二分迭代后新算法的加速收斂性質(zhì)，數(shù)值算例和圖像表明該平方收斂算法的優(yōu)越性。

考慮Poisson方程外問題：

其中，Γ0＝｛（r，θ）｜r＝a，a＞0，｝，θ∈［0，2π］。構(gòu)造人工邊界Γ1＝｛（θ，φ）｜θ＝β，β＞0｝，Γ0的外部與Γ1的內(nèi)部為Ω0，Γ1的外部為Ω1。

引理1 設投影算子是v到子空間vi的算子［6］：v→vi，i＝0，1，V＝V0＋V1，對?v∈V，存在a∈［0，1］，使得：

1 離散算法的實現(xiàn)及其誤差分析

與（1）式對應的變分問題為：求u∈H1（Ω），使a（u，v）＝ （f，v），對 ?v∈H1（Ω），數(shù)值分析基本思想是將連續(xù)問題離散化、離散問題連續(xù)化，此處將連續(xù)問題離散化，構(gòu)造人工邊界時，若Γ0為長條型區(qū)域，則取橢圓形人工邊界［7－9］。

算法1 平方收斂不重疊Schwarz交替法［1］。問題（1）的泛函記為：

定理1 算法1將問題（1）解的誤差收斂較原來以平方速度收斂，誤差滿足：

算法1相比于不重疊Schwarz交替法具有幾何平方收斂性。Ω1上用自然邊界元方法，因邊界充分光滑，文獻［10］推得（1）式的解的直接邊界積分表達式為：

進行算法1的有限元模擬，先對Ω1作正則三角形剖分，Pi（i＝1，2，…，N）為內(nèi)結(jié)點，Qi（i＝N＋1，N＋2，…，N＋M）為邊界結(jié)點，即Ω0h上的線性元空間為Sh（Ω0h），用Γ0h表示剖分在Γ0上的分劃，Γ1h表示剖分在Γ1上的分劃，Φh表示Sh（Ω0h）在Γ0上的跡空間［1，11］。（1）式的有限元近似：求uh∈Sh（Ω0h），滿足a（uh，v）＝l（v），?v∈Sh（Ω0h）。

算法2 離散平方收斂不重疊Schwarz交替法［1］。算法步驟如下：

（4）轉(zhuǎn)步驟（2）。

離散不重疊Schwarz算法中的（9）式在Sh（Ω0h）上利用有限元求解，（10）式因在無界區(qū)域上，故用自然邊界歸化方法。

2 數(shù)值算例

特殊地取f＝1，考慮Dirichlet問題［11］：

為得到更好的算法收斂精度，既可以加密網(wǎng)格，也可以加密迭代函數(shù)，這里對函數(shù)進行二分，該迭代理論表明算法收斂誤差相比于二分前以平方速度收斂。算例中部分節(jié)點數(shù)值見表1所列。數(shù)值算例前后u值和準確值與數(shù)值解的誤差Matlab圖像也表明相同結(jié)果，算法最終結(jié)果與真實值的誤差對比如圖1所示。

表1 算例中部分節(jié)點數(shù)值

圖1 算法最終結(jié)果與真實值的誤差對比

3 結(jié)論

區(qū)域分解是基于自然邊界歸化原理處理無界區(qū)域問題的理論，其有相對完善的理論，能夠解決無界區(qū)域上的PDE問題，且能夠降低方程階數(shù)，使計算量銳減。本文在此基礎上加密迭代函數(shù)來獲得加速收斂。

（1）平方收斂算法可以解決線性、非線性方程的數(shù)值解問題。逐步逼近的思想是將大區(qū)域問題逐步變?yōu)樾^(qū)域問題。文中逐步逼近思想將網(wǎng)格加密與算法迭代函數(shù)二分換位，得到平方收斂的不重疊Schwarz交替法。將Schwarz交替法中的初始值與迭代函數(shù)的和取均值后代入替代，算法的收斂速度、誤差估計性能提高。

（2）數(shù)值算例中部分節(jié)點數(shù)值和誤差比較的Matlab圖像表明平方收斂算法的優(yōu)越性。

二分算法也可用在其他類型的偏微分方程的交替法上，文中僅以Poisson方程為例。

［1］劉紅梅，王壽城.基于半平面上的不重疊Schwarz交替法［J］.合 肥 工 業(yè) 大 學 學 報：自 然 科 學 版，2012，35（11）：1582－1584.

［2］蔣美群.一個雙調(diào)和方程的區(qū)域分裂法［J］.蘇州大學學報：自然科學版，1994，10（3）：186－189.

［3］王壽城.不重疊型Schwarz交替法的加速收斂［J］.應用數(shù)學學報，2004，27（2）：237－245.

［4］陳戰(zhàn)波，禹海青.函數(shù)配點法與不重疊Schwarz交替法求解橢圓方程［J］.江漢大學學報：自然科學版，2008，36（3）：14－16.

［5］董俊雨.無界區(qū)域各項異性橢圓型方程的基于自然邊界歸化的區(qū)域分解法［D］.北京：北方工業(yè)大學，2008.

［6］王烈衡，許學軍.有限元方法的數(shù)學基礎［M］.北京：科學出版社，2004：306－310.

［7］石鐘慈，王 鳴.有限元方法［M］.北京：科學出版社，2010：45－49.

［8］鄔吉明.求解具有長條型內(nèi)邊界的外問題的一種重疊型區(qū)域分解算法［J］.工程數(shù)學學報，2001，18（2）：123－126.

［9］余德浩.自然邊界積分方程及相關計算方法［J］.燕山大學學報，2004，28（2）：111－113.

［10］祝家麟，袁正強.邊界元分析［M］.北京：科學出版社，2009：45－49.

［11］陸君安.偏微分方程的 MATLAB解法［M］.武漢：武漢大學出版社，2001：27－30.