復(fù)模糊微分方程的初始值問題

吳 丹，韓 維，樊太和

（浙江理工大學(xué)科學(xué)計(jì)算與軟件工程實(shí)驗(yàn)室，杭州310018）

復(fù)模糊微分方程的初始值問題

吳 丹，韓 維，樊太和

（浙江理工大學(xué)科學(xué)計(jì)算與軟件工程實(shí)驗(yàn)室，杭州310018）

復(fù)模糊微分方程的初始值問題是近年來研究的熱點(diǎn)問題。首先證明了復(fù)模糊域上的牛頓-萊布尼茨公式，并建立了微分和積分之間的關(guān)系，然后定義了復(fù)模糊微分方程的初始值問題，最后給出了基于經(jīng)典的不動(dòng)點(diǎn)定理和基于Zadeh在復(fù)數(shù)域上的擴(kuò)展原理兩種初始值問題存在的結(jié)論。然后在此基礎(chǔ)上對(duì)初始值進(jìn)行求解。

復(fù)模糊微分方程；初始值問題；牛頓-萊布尼茨公式；Zadeh擴(kuò)展原理

0 引 言

復(fù)微分方程已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用，例如Gilboa等［1］通過結(jié)合擴(kuò)散方程和簡(jiǎn)化的Schrodinger方程來進(jìn)行圖像處理；Takac等［2］將復(fù)Ginzburg-Landau equation應(yīng)用在動(dòng)力學(xué)上等。這些應(yīng)用都是基于初始值和參數(shù)值易脆的假設(shè)下進(jìn)行的，但是在許多應(yīng)用中，由于復(fù)數(shù)表示的參數(shù)具有模糊性，因此，這些由復(fù)數(shù)表示參數(shù)的方程都具有模糊的特點(diǎn)。這類由復(fù)數(shù)作為參數(shù)的方程可用模型p′=f（t，p）表示，其中，t∈T=［a，b］?（-∞，+∞），T→表示廣義復(fù)模糊數(shù)的集合，f∶T×→。這個(gè)模型稱為復(fù)模糊方程。下面研究該模型的初始值問題：

其中，p0∈。這種解不穩(wěn)定的情況，稱為復(fù)模糊數(shù)域中的初始值問題。初始值問題的解可由下式表示：

其中積分和微分是采用Buckley等［3-4］所給的定義。

本文首先建立復(fù)模糊數(shù)域上的牛頓-萊布尼茨公式，建立復(fù)模糊數(shù)域上的積分和微分的聯(lián)系，使得在復(fù)模糊數(shù)域上定義初始值問題成為可能；然后通過兩種方法來證明初始值問題的解的存在性，第一種是基于經(jīng)典不動(dòng)點(diǎn)定理的方法，第二種是基于Zadeh在復(fù)模糊數(shù)域上的擴(kuò)展原理的方法。比較初始值問題的模糊微分方程［5-14］，得出在復(fù)模糊數(shù)域的情況下，由于積分路徑是獨(dú)立的，所以初始值問題需要強(qiáng)有力的條件；在這個(gè)基礎(chǔ)上，本文展開了對(duì)復(fù)模糊微分方程初始值問題的研究。

1 一些基本定義和結(jié)果

接下來定義廣義復(fù)模糊數(shù)。

定義1［15］一個(gè)模糊集合是廣義復(fù)模糊數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)

備注：在Wu等［16］、Buckley等［4］的定義中，在（2）中增加了一個(gè)額外的條件：“單連通”。然而，Qiu等［15］提出了一個(gè)反例：在這個(gè)條件下廣義復(fù)模糊數(shù)在基本的算術(shù)運(yùn)算下不是封閉的。

定義2［4］令：f：T→是星形的，f（t）的導(dǎo)數(shù)f′（t）是復(fù)數(shù)集合的模糊子集，并由它的隸屬函數(shù)定義：μ（z｜f′（t））=sup｛α｜z=x（t，α，β）+iy（t，α，β），0＜α≤1，0≤β＜2π｝。

定理1［15］如果x·和y·在α和β上是連續(xù)的，則f′（t）∈。

在復(fù)數(shù)的情況下，z=x+iy是一個(gè)一般復(fù)數(shù)，令f（z）=（z），對(duì)任意的α水平集（z）（α），0＜α≤1，畫一條射線L（β），在復(fù)平面上的x軸正半軸的畫一個(gè)角度β（0≤β＜2π）?？紤]到集合L（β）∩（z）（α）=w（z，α，β），f（z）是星形的，當(dāng)且僅當(dāng)（z）（α）是一個(gè)點(diǎn)。對(duì)所有的0＜α≤1，0≤β＜2π，w（z，α，β）=μ（x，y，α，β）+iv（x，y，α，β）。通過定義w（z，α，0）=w（z，α，2π），可以將這個(gè)概念擴(kuò)展到β=2π，其中假設(shè)對(duì)所有的0≤β＜2π，w1（z）=w（z，1，β）。

令D?C是閉的、有界的、單連通的數(shù)域，γ是D中的可求曲線，因此γ可以用函數(shù)z=φ（l）+iφ（l），a≤l≤b描述，其中φ（l）和φ（l）是［a，b］上的一個(gè)實(shí)值，所以γ將是D上的平滑曲線。如果g：γ→C，g（z）=μ（x，y）+iv（x，y）其中μ和v是z=x+ iy的實(shí)值函數(shù)，而且g在D上是連續(xù)的，則g在γ上的復(fù)線性積分是：

其中φ′（φ′）表示φ（φ）的導(dǎo)數(shù)。

定義3［3］令f：γ→，定義g（z）∈（z）（α），0＜α≤1 ｝。f（z）在γ上的模糊線性積分通過它的隸屬函數(shù)可以定義為復(fù)數(shù)的模糊子集：

令z=φ（t）+iφ（t）=t+i0，a≤t≤b，可求曲線γ在位于復(fù)平面x軸正半軸的區(qū)間［a，b］上。γ=T，復(fù)模糊映射f：γ→是f（t+i0）=（t），其中（t）可以通過它的α水平集（z）（α）定義，a≤t≤b。

定理2如果f∶T→是連續(xù)的，則f（s）d s在T是拉普拉斯連續(xù)的。

定理3如果f，g∶T→是可積的，k∈R，則：

（3）∫TH（f（t），g（t））d t存在，并且 （H∫Tf（t）d t，

2 復(fù)模糊數(shù)域上的牛頓-萊布尼茨公式

引理1如果和是連續(xù)的，則f′（t）（α）= Γ（α）。

定理4（牛頓-萊布尼茨公式）函數(shù)f：T→是星形的，假設(shè)和是連續(xù)的，在D上由a到b的積分曲線，有

證明：

隸屬函數(shù)可以表示為：

證畢。

3 復(fù)模糊數(shù)初始值問題

在C中的任意兩個(gè)非空完備集合A和B，Hausdorff距離可以定義為：

其中‖.‖表示C中的歐幾里德范數(shù)。

p′=f（t，p），t∈T，p（a）=p0

從Wu等［16］的定理3中，由∫Tf（t，p（t））d t∈∪積分的緊密度，可得以下的等價(jià)描述。

接下來用兩種方法來解復(fù)模糊初始值問題。

4 通過不動(dòng)點(diǎn)定理證明解的存在性

考慮問題初始值問題I，（IVP-I）p′=f（t，p），t∈T，p（a）=p0，其中f∶T×C*→C*，p0∈C*，有以下存在的結(jié)果。

定理5 假設(shè)f滿足拉普拉斯條件，D（f（t，p），f（t，q））≤k（t）D（p，q），其中k∶T→R+是可積的，并且∫Tk（t）d t=L＜1，問題（IVP-I）有唯一的解。

證畢。

5 通過擴(kuò)展原理證明解的存在性

在討論存在性之前，先證明Zadeh的擴(kuò)展原理在復(fù)模糊域上也成立。

對(duì)一些un∈f-1（wn）∩（0），由于f-1是閉的，（0）是完備的，則un的一個(gè)子序列unk收斂到u0，并且f（u0）=w0。由于μ（u｜）是上半連續(xù)的，則limμ（unk｜）≤μ（u0｜）。接下來，

由于wn→w0，于是有l(wèi)imμ（unk｜））≤μ（w0｜））。

由于當(dāng)0≤α≤1時(shí)，f是連續(xù)的，（1）是完備和弧形的，則）（α）也有相同的性質(zhì)。

在給出（IVP-I）解的存在性之前，首先檢查初始值問題在易脆的情況下（IVP-C）：

（IVP-C）p′=f（t，p），t∈T，p（a）=p0

其中，f∶T×C→C，p0∈C。假設(shè)（IVP-C）在p0∈U上有一個(gè)解p（t，p0），其中U是一個(gè)開集。于是對(duì)所有的t∈T，p（t，·）在U上是連續(xù)的，定義如下一個(gè)運(yùn)算：

Lt∶U→C，Lt（p0）=p（t，p0）。

這表明（IVP-C）有唯一解，并且對(duì)于p0，Lt是連續(xù)的，對(duì)Lt應(yīng)用Zadeh的擴(kuò)展原理，將得到一個(gè)映射∶C→（α）=p（t，p0（α））。這是（IVP -I）的一個(gè)精確解。

再來考慮下面這個(gè)問題：

其中f（t，p）=λp（t），λ∈C，p0∈。首先，對(duì)于p0∈C，該方程的初始確定性解是Lt（p0）= p0eλ（t-a），對(duì)于每一個(gè)t∈［a，b］，方程在p0點(diǎn)處是連續(xù)的。最后，結(jié)合擴(kuò)展原理，對(duì)所有的p0∈，存在（p0），有（p0）（α）=Lt（p0（α））=p0（α）eλ（t-a）。

6 結(jié)論和未來的工作

本文主要研究了復(fù)模糊方程的初始值問題，并且得到了一個(gè)新的牛頓-萊布尼茨公式，將Zadeh的擴(kuò)展原理應(yīng)用到了復(fù)模糊數(shù)域上，最后得到了初始值問題存在的結(jié)論，并對(duì)初始值進(jìn)行了求解。

在以后的工作中，將進(jìn)一步考慮復(fù)模糊微分方程和模糊微分方程的區(qū)別，并且研究其他類型的初始值問題，探索其他方法解出初始值問題的解。

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InitiaI VaIue ProbIem of CompIex Fuzzy DifferentiaI Equations

WU Dan，HAN Wei，F(xiàn)AN Tai-he
（Lab of Intelligent Computing and Software Engineering，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

The initial value problem for complex fuzzy equations is a research hotspot in recent years. We first prove Newton-Leibniz Formula on the complex fuzzy domian and establish the relationship between differential and integral.Then，we define initial value problem of fuzzy complex equations and finally give the conclusion that the twp initial values based on classical fixed point principle and Zadeh’s extension principle in complex fuzzy domain have problems.Then，on this basis，we solve the initial value.

complex fuzzy differential equation；initial value problem；Newton-Leibniz formula；Zaden’s extension principle

O175.8

A

（責(zé)任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）05-0550-05

2014-02-25

國家自然科學(xué)基金（61210004）

吳 丹（1987-），女，湖北孝感人，碩士研究生，研究方向?yàn)槲⒎址匠獭?/p>