多階段復合期權模型在新藥研發(fā)中的應用研究

駱 樺，徐 舒

（浙江理工大學理學院，杭州310018）

多階段復合期權模型在新藥研發(fā)中的應用研究

駱 樺，徐 舒

（浙江理工大學理學院，杭州310018）

考慮到新藥研發(fā)周期長和高度的不確定性的特點，在實物期權理論的基礎上建立了多階段復合期權的評價模型，針對二階段定價模型的不足，提出了各階段波動率不同的三階段定價模型，并得到其封閉解。最后用改進的三階段變波動率復合期權模型來評估一個新藥研發(fā)項目的價值，計算結果表明模型具有較好的實用性。

多階段復合期權；新藥研發(fā)；變波動率；應用研究

0 引 言

復合期權顧名思義表示的是期權的期權［1］，它是以普通期權為標的資產，而且有多個執(zhí)行價格和到期時間。在研究復合期權之前，Black和Scholes得出了金融期權定價的模型，這為復合期權的研究奠定了基礎。隨后，Geske研究了兩期復合期權模型并求解了它的封閉解的形式［2-3］，從此以后復合期權模型才得以廣泛應用。復合期權的本質表示的是權利之間的嵌套，它比較適合應用于序列決策的問題?，F(xiàn)在很多R&D項目都具有多階段的特性，它們的前提條件是只有在前期的研究目標達到時才能進入下一期的研究［4］。目前，關于復合期權的理論、方法與應用研究是眾多學者關注的熱點。

本文首先對二階段復合期權模型給出了一個新的證明，主要采用由一維標準正態(tài)分布函數推導出二維標準正態(tài)分布函數的思想。其次，在新藥研發(fā)過程中，假設波動率是一個固定常數的模型，在實際運用中顯然是不太合理的，所以本文在多階段復合期權模型中引入了變波動率，使得模型具有較強的適應性。最后給出模型在新藥研發(fā)評價上的一個應用，結果表明這種改進方法是比較有價值的。

1 三階段復合期權定價模型

在新藥研發(fā)過程中，投資者在每一階段所擁有的投資權利可以看成一個期權，由于第一個期權導致了第二個期權的產生，因此整個項目是一個復合期權。依次類推，可以得到新藥研發(fā)的三階段復合期權過程如圖1所示。

圖1 新藥研發(fā)多階段復合期權形成示意

設資產價格Vt遵循幾何布朗運動：

其中，Wt是標準布朗運動，μ和σ分別是資產價格的漂移率和波動率。設F（Vt，t）代表由標的資產Vt衍生出來的金融工具價格，其是一階連續(xù)可微的。這里設F（Vt，t）=ln Vt，則有：

應用Ito引理可用得到：

即

對上式兩邊積分可以得到資產價格的表達式為：

新藥研發(fā)的價值一般是由初始投資產生的未來投資機會的價值決定的，而不是由投資產生的現(xiàn)金流來決定的。設初始投資額為V0，到期時間為T0，第一階段的投資額為I1，到期時間為T1，在T1時刻產生的現(xiàn)金流折現(xiàn)的現(xiàn)值為VT1，這樣新藥研發(fā)過程就產生了第一個期權，所以在T1時刻項目收益率為max｛VT1-I1，0｝，則由（3）得：

其中WT1是均值為0、方差為T1的正態(tài)隨機變量。上式在等鞅測度下成立，Y是無風險利率。

若F1（V，0）表示0時刻的投資機會，可以用Z代替上述WT1，其中Z是標準正態(tài)變量（均值是0、方差是1）［5］，則有：

其中 N1（·）表示標準正態(tài)分布，h1=

如果在T1時刻第一個期權得以執(zhí)行，即臨床I期實驗成功了，那么在T2時刻將獲得臨床II期試驗的機會，這樣就形成了第二個期權，其中，到期時間為T1=T2+τ1，執(zhí)行價格為進行臨床試驗所需的投資額I2。在這一過程中存在兩個期權，且第一個期權導致第二個期權的產生，而且只有在第二個期權的價值比第一個期權的執(zhí)行價格大時，復合期權可得以執(zhí)行，這個過程就是一個復合期權，所以在T2時刻復合期權收益為：

所以在0時刻復合期權價值為0時刻的貼現(xiàn)值：

其中F1（VT2，τ1）=VT2N1（h1（VT2，τ1））-I1e-rτ1 N1（l1（VT2，τ1））。

綜合上述說明，可得二階段復合期權定價模型如下：

定理1 假設無風險利率r和波動率σ都是已知的常數，資產價格Vt服從幾何布朗運動，則二階段復合期權定價模型為：

其中u2=inf｛u∈R｜F1（VT2，τ1）≥I2｝，

證明 假設Y在X下的條件分布為f（y｜x），μY｜X=α+βx，=σ2，設X的均值為μX，方差為，則X與Y的聯(lián)合密度函數為［6］：

其中-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞。

假設隨機變量Y可以寫成如下形式：Y=α+βX +ε，其中α，β是常數，ε是均值為0方差為σ2的隨機誤差項，與X相互獨立，則：

用上述α、σ的值代入（8）式中的f（x，y），則二維正態(tài)分布為：

此外若X～N（0，1），Y～N（0，1），則μX=μY= 0，σX=σY=1，由此得到二維標準正態(tài)分布：

根據以上一維標準正態(tài)分布密度函數與二維標準正態(tài)分布密度函數之間的這種關系，可得如下結論：對于F2（V，0）中的第一項：

其中，

因為v的取值范圍為［-?h1，+∞），所以當v=-?h1時，則有：

所以

在表達式

因為u2=inf｛u∈R｜F1（VT2，τ1）≥I2｝，所以u2是F1（VT2，τ1）-I2=0的臨界值，假設滿足方程F1（VT2，τ1）-I2=0，則有：

那么

由上述方程解得：

則

同理，對于F2（V，0）的第二項也采取類似的方法得到：

所以F2（V，0）最終的表達式為：

其中，

注：以上證明過程主要利用二維正態(tài)分布的一些性質，相比Cassiimon［7］利用格林函數和delta函數來證明要簡潔明了一些。

2 變波動率的多階段復合期權模型

以往的文獻［2-3］在新藥研發(fā)評價中假定波動率是常數，這種假設是不太符合實際情況的。因為新藥研發(fā)在每個階段的任務和目標都不一樣，所以它在每一個階段的風險價值也不同，因此，每一階段的波動率應該是不一樣的。在這種情況下，本文對原有模型進行了改進，在每一階段引入了可變的波動率，使得模型更具有適應性。綜合上面的分析，可得以下復合期權模型：

定理2 三階段的復合期權模型為：

其中

σ1，σ2，σ3表示三階段中每一階段的波動率。=I3，

證明 期權價格C3滿足下列偏微分方程：

該偏微分方程在ti時刻滿足的邊界條件是Ci（V，ti）=max（0，Ci+1（V，ti）-Ii），是非線性方程Ci+1，ti）=Ii的解。

偏微分方程（12）可以轉化為：

關于新變量p和s的邊界條件調整為：

經過上述變量替換，可以得到在t=t1時，資產價格V的表達式為：

則

因為

其中

所以

其中，

最后得到3階段復合期權模型為：

其中，

σi表示三階段中每一階段的波動率；

定理證畢。

3 算法和應用實例

新藥研發(fā)是一項風險高、不確定性高、階段多的投資項目。像這種多階段投資決策的問題需要采用特殊的實物期權模型---多階段復合期權模型來描述［8］。正由于新藥研發(fā)具有這種特殊的投資模式，所以傳統(tǒng)的二階段、常波動率的復合期權模型是不適用的，而本文所研究的變波動率、三階段復合期權模型為新藥研發(fā)提供了更為合理的評估方法，下面通過實例說明如何應用本文給出的模型。

某新藥研發(fā)公司現(xiàn)要進行一項新藥的研究項目，需要評價該項目的價值，然后決定是否投資。該項目每個階段所花時間年數為t1=3，t2=5，t3=6，其中t0=0，各階段的投資成本I1=300萬元，I2= 550萬元，I3=1 200萬元，初始投資V0=9 000萬元，無風險利率r=3.5%，將這些參數代入三階段復合期權模型：

關于各階段波動率σi的計算采用專家打分和理論計算相結合的方式，具體計算方法參考文獻［9-10］的方法，其中，V0=9 000，Zi為各階段假設項目價值，其他的變量數據見表1。

表1 各變量數據

表2 各階段臨界值和三階段期權價值

當波動率為某一固定常數時，通過計算發(fā)現(xiàn)，當σ=0.9時（新藥研發(fā)往往波動率比較大），期權價值是4 086.68萬元，用改進的模型計算得到2 909.65萬元，兩者相比發(fā)現(xiàn)，波動率為固定常數的模型明顯高估了期權的價值，會給投資者造成錯誤的判斷。

4 結 論

從上面分析可見，復合期權主要描述了在不確定條件下投資決策過程中的一系列的相關權利，而這些權利的作用就是使得整個決策過程更加地靈活，所以復合期權的理論和方法在分析多階段投資決策問題方面具有很大的優(yōu)勢。在新藥研發(fā)過程中，如果使用傳統(tǒng)的常波動率復合期權模型就會存在很多缺陷，而本文是在多階段復合期權模型中加入變波動率，得到的模型就具有較強的適應性，也給投資者提供了一個比較可靠的評價工具。

［1］Kwok，Y.W.Mathematical models of financial derivatives［M］.New York：Springer，2008：1-3.

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［3］Geske R.The valuation of compound options［J］.Journal of Financial Economics，1979，7（1）：63-81.

［4］Lee J，Paxson D A.Valuation of R&D real American sequential exchange options［J］.R&D Management，2001，31（2）：191-201.

［5］斯塔夫里，古德曼.金融數學［M］.蔡明超，譯.北京：機械工業(yè)出版社，2004：85-88.

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［7］Cassimon D，Engelen P J，Thomassen L，et al.The valuation fo a NDA using a 6-fold compound option［J］. Research Policy，2004，33（1）：41-51.

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Research on AppIication of MuIti-stage Compound Option ModeIin New-Drug Research and DeveIopment

LUO Hua，XUShu
（School of Sciences，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

Considering the characteristics of long period and high uncertainty of new drug research and development，we establish a multi-stage compound option evaluation model based on real option theory to improve the shortcomings of the pricing model in the first and second stages.Besides，we propose threestage pricing model with different volatilities in each stage and gain the closed-form solution.Finally，we use the improved three-stage compound option model to evaluate the value of a new drug research and development project.The results show that the model has excellent practicability.

multi-stage compound option；new drug research and development；varied volatility；applied research

F830.59

A

（責任編輯：許惠兒）

1673-3851（2014）05-0539-07

2013-10-16

國家自然科學基金（60903143）

駱 樺（1962-），男，浙江諸暨人，碩士，副教授，主要從事金融數學的研究。

駱 樺，E-mail：luohuahill@163.com