層疊繞組式磁懸浮永磁直流平面電機(jī)PID控制系統(tǒng)研究

張 釗，郭 亮

（浙江理工大學(xué)納米測(cè)量技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，杭州310018）

層疊繞組式磁懸浮永磁直流平面電機(jī)PID控制系統(tǒng)研究

張 釗，郭 亮

（浙江理工大學(xué)納米測(cè)量技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，杭州310018）

提出了一種層疊繞組式五自由度磁懸浮永磁直流平面電機(jī)的構(gòu)想，針對(duì)該磁懸浮平面電機(jī)中的磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行了控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。在對(duì)懸浮系統(tǒng)三維有限元分析的基礎(chǔ)上利用參數(shù)辨識(shí)法構(gòu)建了磁懸浮系統(tǒng)非線性模型；并利用微分幾何方法，對(duì)磁懸浮模型進(jìn)行完全精確反饋線性化，設(shè)計(jì)了PID控制器，并進(jìn)行了樣機(jī)控制實(shí)驗(yàn)。磁懸浮永磁直流平面電機(jī)懸浮高度的控制仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合度良好，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差在1μm以?xún)?nèi)并具有優(yōu)良的跟蹤性能。

磁懸浮平面電機(jī)；微分幾何法；反饋線性化；PID

0 引 言

在現(xiàn)代制造領(lǐng)域，超精密加工技術(shù)已經(jīng)成為重要發(fā)展方向之一［1］。隨著加工精度的不斷提高，對(duì)精密加工定位平臺(tái)定位精度、行程、運(yùn)動(dòng)自由度和工作環(huán)境等性能的要求也越來(lái)越嚴(yán)苛［2］，傳統(tǒng)二維定位平臺(tái)以及接觸式、氣浮式平面電機(jī)驅(qū)動(dòng)的定位平臺(tái)越來(lái)越難以滿(mǎn)足精密加工的要求。磁懸浮平面電機(jī)以其優(yōu)越的運(yùn)動(dòng)定位性能，受到了越來(lái)越高的關(guān)注，將成為下一代超精密加工儀器的核心驅(qū)動(dòng)部件。

磁懸浮平面電機(jī)是一個(gè)多輸入多輸出、非線性、耦合、參數(shù)攝動(dòng)、抗干擾能力差的復(fù)雜系統(tǒng)，其高精密定位和多自由度運(yùn)動(dòng)的實(shí)現(xiàn)，在極大程度上取決于平面電機(jī)的結(jié)構(gòu)與控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，磁懸浮平面電機(jī)的發(fā)展也始終伴隨著電機(jī)結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新和控制技術(shù)的進(jìn)步。文獻(xiàn)［3］中采用平衡點(diǎn)線性化和魯棒控制控制相結(jié)合的磁懸浮控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了磁懸浮系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的精確魯棒控制；文獻(xiàn)［4］中對(duì)于磁懸浮系統(tǒng)采用了平衡點(diǎn)線性化與非線性PID相結(jié)合的設(shè)計(jì)方法，擴(kuò)大了磁懸浮系統(tǒng)精確控制的范圍，但定位精度均隨著與平衡點(diǎn)偏差的增大而降低，且魯棒控制系統(tǒng)階次高、增益大，數(shù)字控制器難以實(shí)現(xiàn)。

本文提出了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、響應(yīng)速度快、表面利用率高的層疊繞組式磁懸浮永磁直流平面電機(jī)結(jié)構(gòu)，并對(duì)該平面電機(jī)的磁懸浮控制系統(tǒng)進(jìn)行了設(shè)計(jì)與研究。在非線性系統(tǒng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中，采用完全反饋線性化方法［5］，將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)，并在線性化后的系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上利用經(jīng)典PID方法進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

1 平面電機(jī)結(jié)構(gòu)與工作原理

層疊繞組式磁懸浮永磁直流平面電機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示，由空心繞組、定子永磁陣列和背鐵組成。

圖1 磁懸浮平面電機(jī)模型

定子部分永磁體采用二維Halbach［6-8］永磁矩陣結(jié)構(gòu)，由釹鐵硼材料構(gòu)成的永磁體模塊和鐵塊組成，并通過(guò)背鐵固定在磁懸浮隔震平臺(tái)上。永磁矩陣具體組合形式如圖2所示，本永磁體陣列除垂直充磁的磁極外，其余永磁體塊均沿對(duì)角線方向充磁，充磁方向彼此連接以形成三維Halbach式結(jié)構(gòu)，在背鐵部分自成回路，以增強(qiáng)氣隙部分的磁密。圖2中通過(guò)形狀相同的99塊釹鐵硼和12塊鐵塊形成了彼此交錯(cuò)的4個(gè)N極、9個(gè)S極勵(lì)磁磁場(chǎng)。平面電機(jī)動(dòng)子部分采用層疊式空心繞組結(jié)構(gòu)，由兩層沿X方向鋪設(shè)的繞組和兩層沿Y方向鋪設(shè)的繞組正交疊加構(gòu)成。繞組連接方式如圖1所示，每層繞組均由單匝導(dǎo)體鋪設(shè)而成，每對(duì)極下的導(dǎo)體彼此串聯(lián)，但相鄰極間彼此并不相連，從而組成了多相的直流電機(jī)結(jié)構(gòu)，以方便進(jìn)行磁場(chǎng)的微調(diào)節(jié)，并進(jìn)行多個(gè)自由度的調(diào)整［9］。

圖2 定子永磁體充磁3D示意

當(dāng)動(dòng)子中繞組電流如圖1中箭頭所示時(shí)，即可構(gòu)成所示的環(huán)流，形成與永磁體磁極分布結(jié)構(gòu)相同的垂直磁極；各磁極磁通密度由所在區(qū)域等效電流中的直流分量決定，磁極位置由等效環(huán)流的位置決定，并隨等效電流交流分量的變化而移動(dòng)。統(tǒng)一調(diào)節(jié)空心繞組中的直流分量，調(diào)節(jié)動(dòng)子磁極磁通密度，實(shí)現(xiàn)動(dòng)子部分懸浮氣隙微調(diào)，分別調(diào)節(jié)同方向排列的兩側(cè)多相繞組中的直流分量，破壞磁極磁通密度的對(duì)稱(chēng)性，實(shí)現(xiàn)動(dòng)子部分繞x軸、y軸的旋轉(zhuǎn)；統(tǒng)一調(diào)節(jié)相同排列方向繞組中的交流分量，調(diào)節(jié)等效環(huán)流的水平位置，實(shí)現(xiàn)動(dòng)子沿x、y方向的水平運(yùn)動(dòng)。因此，該磁懸浮平面電機(jī)能夠?qū)崿F(xiàn)動(dòng)子懸浮、二維平動(dòng)以及繞x、y軸旋轉(zhuǎn)，共5個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)。

2 平面電機(jī)磁懸浮系統(tǒng)模型

利用3D有限元分析方法對(duì)平面電機(jī)定子永磁矩陣上方的磁通密度進(jìn)行分析，得到氣隙高度為1 mm時(shí)水平和垂直氣隙磁通密度分布曲線，分別如圖3-圖5所示，可以看到勵(lì)磁磁場(chǎng)中z方向的各個(gè)垂直磁極以及x、y方向的水平分量均具有良好的對(duì)稱(chēng)性，若忽略繞組端部影響，當(dāng)繞組電流分布均勻且關(guān)于永磁體中心線反向?qū)ΨQ(chēng)時(shí)，根據(jù)洛倫茲力定律可推知，導(dǎo)線的水平推力為0，垂直方向的懸浮力達(dá)到最大。

圖3 x方向磁通密度3D曲線

圖4 y方向磁通密度3D曲線

圖5 z方向磁通密度3D曲線

取動(dòng)子位移、速度和繞組電流為系統(tǒng)狀態(tài)變量，根據(jù)洛倫茲力公式、運(yùn)動(dòng)學(xué)原理及電路原理，磁懸浮系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型如下式所示，

其中：

m：動(dòng)子部分質(zhì)量，313.16 g；

l：磁場(chǎng)中每根直導(dǎo)線長(zhǎng)度，每根直導(dǎo)線長(zhǎng)度相同；

fd：系統(tǒng)干擾；

N表示在每根導(dǎo)線中心線上的磁通密度取點(diǎn)個(gè)數(shù)，Bjki表示第k層，第j根直導(dǎo)線中心線上所取第i個(gè)點(diǎn)的磁通密度。

利用有限元分析結(jié)果，計(jì)算在不同氣隙高度下，單層直導(dǎo)線的值，得到隨氣隙高度變化表，如表1所示。

表1-氣隙變化

表1-氣隙變化

氣隙高度/mm 磁密強(qiáng)度/T 0.5 12.285 7 1.0 10.944 7 1.5 10.232 6 2.0 9.429 1 2.5 8.729 4 3.0 8.155 9 3.5 7.505 3 4.0 6.985 6 4.5 6.493 8

其中：M、γ為待辨識(shí)參數(shù)；利用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，得M=1.402，γ=0.1503。

在控制器與磁懸浮平面電機(jī)空心繞組間加入電壓控制電流源（VCCS）驅(qū)動(dòng)器，使空心繞組中的電流按照比例關(guān)系隨控制電壓信號(hào)變化，則磁懸浮系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

令：f（x）=［x20］T，g（x）=［0 B/m］T；將重力加速度看作常值擾動(dòng)，暫時(shí)不予考慮，則磁浮系統(tǒng)電流控制模型可以簡(jiǎn)化為式（4）的形式，是一個(gè)典型的單輸入單輸出二階仿射非線性系統(tǒng)。

3 磁懸浮系統(tǒng)模型線性化

為實(shí)現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)的大范圍精確控制，在磁懸浮系統(tǒng)模型線性化過(guò)程中采用基于微分幾何理論的完全精確反饋線性化方法，將磁懸浮仿射非線性模型完全轉(zhuǎn)化為串聯(lián)積分形式的線性化系統(tǒng)模型。

對(duì)磁懸浮平面電機(jī)磁浮模型選取如下坐標(biāo)變換：

則原系統(tǒng)模型可以轉(zhuǎn)化為：

其中：

平面電機(jī)磁懸浮系統(tǒng)完全精確線性化模型如圖6所示。

圖6 磁懸浮系統(tǒng)完全精確線性化模型

4 PID控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與仿真

以基于微分幾何理論的非線性反饋?zhàn)鳛榭刂葡到y(tǒng)內(nèi)環(huán)，將磁懸浮系統(tǒng)完全轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)，那么可以采用線性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)磁懸浮控制系統(tǒng)。由于PID控制技術(shù)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)調(diào)整方便、工作可靠、穩(wěn)定性好、環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)［10］，因此采用該技術(shù)構(gòu)建不完全微分PID控制器，如圖7所示。

其中：Kp，Ki，Kd分別為比例、積分、微分參數(shù)；T為慣性環(huán)節(jié)時(shí)間常量，取為0.000 5。

利用MATLAB/SIMULINK軟件搭建平面電機(jī)磁懸浮PID控制系統(tǒng)仿真模型，如圖8所示，其中零階保持器sampletime為0.001s，兩個(gè)單位延時(shí)代表實(shí)際數(shù)字控制器引入的系統(tǒng)延時(shí)。

圖7 不完全微分PID控制器

圖8 磁懸浮控制系統(tǒng)仿真模型

利用MATLAB/NCD參數(shù)尋優(yōu)工具箱，結(jié)合控制系統(tǒng)模型進(jìn)行PID離散控制系統(tǒng)仿真，得到PID參數(shù)如下：Kp=6.310 5、Ki=0.004 7、Kd= 0.028 1。其1 mm階躍響應(yīng)如圖9所示，上升時(shí)間為0.015 s，超調(diào)為40%，穩(wěn)定時(shí)間為0.1 s，靜差為0，能夠?qū)崿F(xiàn)1 k Hz頻率下的快速、無(wú)靜差控制。

圖9 PID控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

5 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證理論分析結(jié)果并證實(shí)電磁懸浮的可行性，制造了樣機(jī)并搭建磁懸浮系統(tǒng)控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。樣機(jī)中動(dòng)子表面積略大于永磁體，邊長(zhǎng)約為120 mm，四個(gè)角上利用滾珠式直線軸承與豎直導(dǎo)軌相連，導(dǎo)軌上安裝渦流傳感器實(shí)現(xiàn)懸浮高度的實(shí)時(shí)測(cè)量。利用MATLAB/RTW快速原型化xPC目標(biāo)作為數(shù)字控制器，16位NI-6221為數(shù)據(jù)采集卡，KAMAN KD 2306為電渦流位移傳感器，VCCS為磁懸浮系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)器，RC二階低通濾波電路為反饋回路濾波器，搭建磁懸浮系統(tǒng)控制實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖10所示，其中xPC目標(biāo)控制系統(tǒng)穩(wěn)定實(shí)時(shí)運(yùn)行頻率為1 k Hz（本硬件條件下），VCCS驅(qū)動(dòng)器電壓-電流比例系數(shù)為0.489倍，零漂為0.002 7 A，RC二階低通濾波電路截止頻率為437 Hz。

圖10 磁懸浮PID控制系統(tǒng)

利用MATLAB/SIMULINK搭建RTW控制框圖，如圖11所示，包括傳感器信號(hào)處理、PID控制器、動(dòng)子重力補(bǔ)償、非線性系統(tǒng)反饋線性化、驅(qū)動(dòng)器補(bǔ)償?shù)榷鄠€(gè)模塊。

圖11 磁懸浮PID控制器RTW模型

磁懸浮系統(tǒng)的1 mm階躍響應(yīng)如圖12所示，可以看到在實(shí)際1 k Hz實(shí)時(shí)控制頻率下，磁懸浮PID控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)超調(diào)為24%，上升時(shí)間為0.018 s，穩(wěn)定時(shí)間為0.12 s。

圖12 控制系統(tǒng)1 mm階躍響應(yīng)仿真與實(shí)驗(yàn)對(duì)比

驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的磁懸浮PID控制系統(tǒng)的控制精度，在1 mm氣隙高度進(jìn)行1μm的連續(xù)階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，如圖13所示。

驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的大范圍控制精度，即驗(yàn)證磁懸浮系統(tǒng)完全精確線性化模型的線性化程度，在1.7 mm周?chē)M(jìn)行1μm的階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，如圖14所示。

驗(yàn)證PID控制系統(tǒng)的大范圍快速跟蹤能力，在氣隙1.3 mm下進(jìn)行了峰-峰值為1 mm、頻率為10 rad/s的正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)，如圖15所示。

圖13 控制系統(tǒng)1 mm周?chē)?μm階躍

圖14 控制系統(tǒng)1.7 mm周?chē)?μm階躍

圖15 控制系統(tǒng)1 mm正弦跟蹤

對(duì)樣機(jī)懸浮PID控制系統(tǒng)仿真與實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。首先，在1 mm階躍響應(yīng)中系統(tǒng)上升過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程兩者結(jié)果幾乎完全相同，但由于樣機(jī)中直線軸承引入的摩擦力帶來(lái)的阻尼效果，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程中超調(diào)量減小、穩(wěn)定時(shí)間增加；其次，在系統(tǒng)連續(xù)1μm階躍響應(yīng)中，由于控制系統(tǒng)硬件條件限制和外部干擾，使得系統(tǒng)出現(xiàn)抖動(dòng)，但不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行，且穩(wěn)態(tài)精度小于1μm；再次，通過(guò)1 mm和1.7 mm兩個(gè)氣隙高度的1μm階躍，可以看到完全線性化模型基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中能夠?qū)崿F(xiàn)大范圍的精確控制，驗(yàn)證了線性化模型的正確性。最后，控制系統(tǒng)1 mm峰-峰值的正弦跟蹤實(shí)驗(yàn)中，可以看到系統(tǒng)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線幾乎完全重合，對(duì)比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到系統(tǒng)跟蹤延遲小于0.015 s，跟蹤小于40μm，具有較好的跟蹤性能。

6 結(jié) 論

本文采用參數(shù)辨識(shí)方法建立了層疊繞組式永磁直流平面電機(jī)懸浮非線性系統(tǒng)模型，通過(guò)非線性反饋線性化和PID控制器相結(jié)合設(shè)計(jì)了控制系統(tǒng)。仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出磁懸浮平面電機(jī)精密微運(yùn)動(dòng)的可行性，結(jié)果表明，建立的控制系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)懸浮控制精度為1μm的大范圍精確控制，并且具有優(yōu)良的跟蹤性能。

［1］袁巨龍，王志偉，文東輝，等.超精密加工現(xiàn)狀綜述［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2007，43（1）：35-48.

［2］彭祎帆，袁 波，曹向群.光刻機(jī)技術(shù)現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)［J］.光學(xué)儀器，2010，32（4）：80-84.

［3］Sinha P K，Pechev A N.Nonlinear H∞controllers for electromagnetic suspension systems［J］.IEEE Trans. Automat Contr，2004，49（4）：563-568.

［4］劉恒坤，郝阿明，常文森.磁懸浮系統(tǒng)的非線性PID控制［J］.控制工程，2007，14（6）：653-656.

［5］Hung J Y.Nonlinear control of a magnetic levitation system［C］//Industrial Electronics，Control and Instrumentation，1991：Proceedings IECON’91，1991 International Conference on.IEEE，1991：268-273.

［6］Jiang H，Zhou G，Huang X L，et al.Analytical force calculations for high precision planar actuator with halbach magnet array［J］.IEEE Trans Magn，2009，45（10）：4543-4546.

［7］Han Q，Ham C，Phillips R.Four-and eight-piece Halbach array analysis and geometry optimisation for Maglev［C］//Electric Power Applications，IEE Proceedings.IET，2005，152（3）：535-542.

［8］Trumper D L，Kim W J，Williams M E.Design and analysis framework for linear permanent magnet machines［J］.IEEE Trans Ind Appl，1996，32（2）：371-379.

［9］Guo L，Chen B.Study on performances of novel electromagnetic drive micromanipulator［C］//Electrical Machines and Systems，2008：ICEMS 2008 International Conference on.IEEE，2008：3750-3753.

［10］毛 勇，控制電機(jī)轉(zhuǎn)速的PID算法綜述［J］.機(jī)電信息，2011（6）：43-44.

Study on PID ControI System of OverIapped Winding PMDC MagIev PIanar Motor

ZHANGZhao，GUO Liang
（Nanometer Measurement Lab，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

This paper proposes overlapped winding five-freedom-degree permanent magnet Direct-Current（PMDC）maglev planar motor and designs the control system in allusion to the maglev system in the planar motor.Based on 3D finite element analysis of the maglev system，this paper utilizes parameter identification method to construct nonlinear model of the maglev system.Besides，differential geometry method is used for complete accurate feedback linearization of the maglev model.PID controller is designed. Prototype control experiment is conducted.Simulation and experiment results of suspension height of PMDC maglev planar motor coincide well.The steady-state error of the system is less than 1μm and the tracking performance is excellent.

maglev planar motor；differential geometry；feedback linearization；PID

TP23，TP273.5

A

（責(zé)任編輯：康 鋒）

1673-3851（2014）05-0525-07

2014-01-13

國(guó)家自然科學(xué)基金（51005213）；浙江省自然科學(xué)基金資助（LY14E070008）

張 釗（1988-），男，山東棗莊人，碩士研究生，研究方向?yàn)榧{米測(cè)量技術(shù)與儀器。

郭 亮，E-mail：lguo@zstu.edu.cn