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    初中數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題

    2014-06-04 17:06:32毛小霞
    成才之路 2014年12期
    關(guān)鍵詞:弓形對(duì)稱點(diǎn)判別式

    毛小霞

    求最值問(wèn)題是常見的題型,沒(méi)有固定的公式,應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行分析,靈活地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想、方法和解題技巧,找到解題的途徑,達(dá)到解決最值問(wèn)題的目的。下面,本人根據(jù)平時(shí)的教學(xué),就這個(gè)問(wèn)題中的常見的類型和常用的方法思路列舉出來(lái)跟大家一起學(xué)習(xí)。

    一、利用對(duì)稱性

    利用軸對(duì)稱性求最短距離是近幾年中考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)考題,因此成為我們研究的重點(diǎn)。下面,就初中數(shù)學(xué)中利用軸對(duì)稱性來(lái)解決最值問(wèn)題作歸納、分析?;灸P停喝鐖D1,點(diǎn)A、B分別表示兩個(gè)居民小區(qū),若直線 L 表示燃?xì)夤艿?,欲在其旁建一個(gè)泵站,使從該站向兩個(gè)小區(qū)輸氣的管道總長(zhǎng)最短,應(yīng)如何確定泵站的位置?請(qǐng)?jiān)趫D中畫出。

    如圖2,作點(diǎn)A 關(guān)于直線L 的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'B與直線L 交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C為求泵站位置。

    例1:如圖3,已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊的中點(diǎn),則PC+PE的最小值是____。分析與解:根據(jù)基本模型,點(diǎn)C、點(diǎn)E是定點(diǎn),點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn),而C點(diǎn)關(guān)于直線AD對(duì)稱點(diǎn)就是B點(diǎn),連結(jié)BE交AD于P',則PC+PE的最小值為BE的長(zhǎng),而BE是正三角形的高?!連E= ,∴PC+PE的最小值為 。

    例2:如圖4,點(diǎn)A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn),點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn),點(diǎn)P是半徑ON上的動(dòng)點(diǎn),若圓 O的半徑為2,則AP+BP的最小值是____。

    圖4 圖5 圖6

    分析與解:根據(jù)基本模型,先找出其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn),然后該對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)的連線與定直線的交點(diǎn)就是所要確定的點(diǎn),這樣問(wèn)題就解決了。由題意知: ∠AON=60O,∠BON=30O,取點(diǎn)B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)B'則∠B'ON=30O,則AP+BP的最小值為AB',∵∠AOB'=90O,∴△AOB為等腰直角三角形,∴AB' =2 ,∴AP+BP的最小值2 。

    從上面不難看出,利用軸對(duì)稱性求線段之和的最小值時(shí),常把某些定點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)軸對(duì)稱變換,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短或三角形三邊的關(guān)系,將問(wèn)題歸類,舉一反三、觸類旁通,問(wèn)題就迎刃而解了。

    二、運(yùn)用基本不等式a+b≥2 (a,b均為正實(shí)數(shù))

    常利用基本不等式:a+b≥2 ,ab≤( )2,a2+b2≥2ab, + ≥2。

    例3:在凸四邊形ABCD 中,對(duì)角線AC、BD 交于O 點(diǎn),若

    S△OAD = 9,S△OBC = 25,則凸四邊形ABCD 面積的最小值是多少?

    分析與解法: 如圖5,設(shè)S△OAB=a,S△OCD=b,因?yàn)楦呦嗤膬蓚€(gè)三角形的面積之比等于底之比, = = ,∴ = ,∴ab=225,∴a+b≥2 =2 =30,∴凸四邊形ABCD 面積的最小值是9+25+30=64。

    分析與解法二:如圖6,作AE⊥BD,CF⊥BD垂足為E、F,設(shè)AE=x,CF=y,∵S△OAD=9,S△OBC=25,∴ OD·x=9, OB·y=25,∴ OD= , OB= ,S△OAB+S△OCD= OB·x+ OD·y≥2 =30,∴凸四邊形ABCD 面積的最小值是9+25+30=64。

    上面例題中的兩種解法雖說(shuō)設(shè)法不同,但都離不開基本不等式a+b≥2 的應(yīng)用。

    三、利用圓中弦心距的性質(zhì)

    經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的弦中,弦心距越大,弦長(zhǎng)越小,弓形面積越小;弦心距越小,弦長(zhǎng)越大,弓形面積越大。求弓形面積的最值。

    例4:如圖7,在半徑為2的圓中,圓內(nèi)的一點(diǎn)P到圓心O的距離為1,過(guò)P點(diǎn)的弦AB與劣弧AB 組成弓形面積的最小值為多少?

    分析與解:作OQ⊥AB垂足為Q,若點(diǎn)Q與點(diǎn)P不重合,連接OP, 過(guò)點(diǎn)P作弦A'B'⊥OP,在Rt△OQP中,弦心距OQ

    四、利用一元二次方程的根的判別式

    在求與一元二次方程有關(guān)的問(wèn)題時(shí),常利用一元二次方程根的判別式求最值。下面舉例分析:

    例5:實(shí)數(shù)x,y滿足x2-2x-4y=5,則x-3y的最大值是多少?

    分析與解:設(shè)t=x-3y得y= ,代入x2-2x-4y=5中有x2-2x-

    4× =5, 整理有:3x2-10x+4t-15=0。∵方程3x2-10x+4t-15=0有實(shí)數(shù)根,∴△=102-4×3×(4t-15)≥0,∴t≤ ,即t=x-3y的最大值為 。

    在代數(shù)中利用一元二次方程的判別式求最值是初中數(shù)學(xué)常用的方法,化成所含未知數(shù)的一元二次方程,用判別式來(lái)求是解決這類問(wèn)題的基本思路。

    以上是求最值問(wèn)題的一些心得,與大家一起學(xué)習(xí)。最值問(wèn)題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯思維性,通過(guò)對(duì)稱性、不等式、弓形中的弦心距、一元二次方程中根的判別式等特征的認(rèn)識(shí),能讓學(xué)生開拓思維,提高分析能力,找到適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn),激發(fā)他們對(duì)探索數(shù)學(xué)的向往和追求。

    (江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué)校)

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