基于三維測量的圓度誤差執(zhí)行不確定度研究

黃美發(fā)，肖萌萌，孫永厚，陳磊磊

(桂林電子科技大學(xué)機電工程學(xué)院，廣西桂林 541004)

測量不確定度是評價測量結(jié)果質(zhì)量的重要指標(biāo)，測量不確定度定義為:表征合理地賦予被測量值的分散性，與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。沒有不確定度的測量結(jié)果是不完整的［1］。測量不確定度又可分為方法不確定度和執(zhí)行不確定度。測量不確定度約定規(guī)則使不同國家、不同地區(qū)、不同學(xué)科和不同領(lǐng)域，在表示測量結(jié)果及其不確定度時具有一致的含義。

三坐標(biāo)測量機在應(yīng)用中，引起被測參數(shù)不確定度的來源非常復(fù)雜，它不僅與測量機本身的精度有關(guān)，還與采樣策略、被測工件、環(huán)境條件及數(shù)據(jù)處理方法等一系列因素有關(guān)［1］。文中討論的測量不確定度是在特定的采樣、評定方法下評定的，屬于測量不確定度中的執(zhí)行不確定度。執(zhí)行不確定度是實際認(rèn)證操作算子定義的計量特性與理想認(rèn)證操作算子定義的理想計量特性之間差異引起的不確定度，校準(zhǔn)的目的通常是評估由測量儀器引起的執(zhí)行不確定度的值，而與測量儀器沒有直接關(guān)系的因素 (如環(huán)境)也可能導(dǎo)致執(zhí)行不確定度［2］。文中根據(jù)最新國際標(biāo)準(zhǔn) JCGM 101-2008，探討利用坐標(biāo)測量機進行圓度測量的不確定度的來源及評定方法;然后，根據(jù)我國計量技術(shù)規(guī)范JJF 1059.2-2011，運用自適應(yīng)蒙特卡洛方法對圓度誤差的評定過程進行仿真研究，從而驗證了GUM的有效性，并給出了其適用的范圍。

1 圓度誤差評定模型［3］

圓度誤差是指在垂直于回轉(zhuǎn)體軸線截面上，實際輪廓對其理想圓的變動量，誤差的大小直接關(guān)系到孔軸配合的精度。圓度誤差是評價回轉(zhuǎn)類零件形狀精度的重要指標(biāo)之一［4］。設(shè)回轉(zhuǎn)體的測量工作平面為xy，軸線方向為z方向，Pi(xi，yi)為回轉(zhuǎn)體某固定截面上的N個測量點在工作平面上的投影坐標(biāo)，理想圓的方程為:

擬合的最終目的是確定理想圓的圓心坐標(biāo) (x0，y0)和半徑R。目標(biāo)函數(shù)為

該表達式比較復(fù)雜，為非線性優(yōu)化模型，對它進行線性化，整理公式 (1)得:

其中:x0，y0，C為未知量，根據(jù)極值條件，可以確定目標(biāo)函數(shù)里的決策未知量。通過求解，可以得到:

該公式推導(dǎo)的前提是圓心坐標(biāo)(x0，y0)的絕對值足夠小，只有圓心坐標(biāo)足夠小時才能作線性變換。因此，每次求解后，需要以求得的圓心坐標(biāo)為坐標(biāo)原點，對測量數(shù)據(jù)進行平移，然后再進行下一次的迭代，直到求得的圓心坐標(biāo)絕對值足夠小。

求得圓心坐標(biāo)后，進而可以確定距離圓心最遠和最近的測點，設(shè)兩者分別為(x1，y1)、(x2，y2)。因此圓度誤差模型為:

2 基于GUM圓度執(zhí)行不確定度的評定

在三坐標(biāo)測量機的測量過程中，存在多種測量因素對測量結(jié)果帶來影響，主要包括:(1)測量重復(fù)性誤差;(2)機構(gòu)誤差;(3)力變形誤差;(4)熱變形誤差;(5)探測系統(tǒng)誤差;(6)動態(tài)測量誤差［1，3］。

其中，機構(gòu)誤差包括定位誤差 (阿貝誤差和標(biāo)尺讀數(shù)系統(tǒng)的誤差)、角運動誤差和直線度運動誤差。測量重復(fù)性誤差和機構(gòu)誤差直接影響測量點的坐標(biāo)值，其他誤差來源則對最終測量結(jié)果產(chǎn)生影響［1］。

圓度誤差測量模型可表示為［5］:

式中:δ為測量重復(fù)性誤差和機構(gòu)誤差產(chǎn)生的誤差，也是式 (5)中的評定誤差;α為工件的熱膨脹系數(shù);θ為實際環(huán)境溫度與標(biāo)準(zhǔn)測量環(huán)境溫度之差;Δd為測量機的探測誤差;Δr為測量機的力變形誤差;Δv為測量機的動態(tài)誤差。

各傳遞系數(shù)為:

而圓度測量的執(zhí)行不確定度為各個分量不確定度的平方和開方，即:

其中由測量重復(fù)性誤差和機構(gòu)誤差引起的不確定度，可以通過式 (5)推導(dǎo)出。根據(jù)GUM不確定度傳播規(guī)律，求得各傳遞系數(shù)為:

在所有的影響因素中，近似認(rèn)為只有x0、y0是相關(guān)的。因此，可得由測量重復(fù)性誤差和機構(gòu)誤差引起的不確定度［6］:

為保守考慮，取 ρx0y0=1。以上公式中x1、y1、x2、y2的不確定度由重復(fù)性測量和三坐標(biāo)測量機的機構(gòu)誤差構(gòu)成:

其中:k=1，2，…，N;u2(x機)為x軸方向上的機構(gòu)誤差不確定度;u2(y機)為y軸方向上的機構(gòu)誤差不確定度。

把(x0，y0)看作一個隨機向量，對被測圓按照相同的采樣方法擬合多次，計算隨機向量的均值(，)，作為它們的估計值代入式(9)。x0、y0的不確定度及相關(guān)不確定度為:

3 自適應(yīng)蒙特卡洛方法 (MCM)

蒙特卡洛方法是一種數(shù)值計算方法，它以概率統(tǒng)計為主要理論基礎(chǔ)，以隨機抽樣為主要手段。蒙特卡洛方法首先建立一個與所求解相關(guān)的概率模型，使所求問題的解正好是所建模型的數(shù)學(xué)期望或其他有關(guān)特征量;然后通過多次模擬一個統(tǒng)計試驗，統(tǒng)計出某事件發(fā)生的概率;利用建立的概率模型，求出要估計的參數(shù);最后對模擬結(jié)果進行分析總結(jié)，驗證該系統(tǒng)的某些特性［7－8］。

在執(zhí)行自適應(yīng)蒙特卡洛方法的基本過程中，蒙特卡洛試驗次數(shù)不斷增加，直至所需要的各種結(jié)果達到統(tǒng)計意義上的穩(wěn)定。如果某結(jié)果的兩倍標(biāo)準(zhǔn)偏差小于標(biāo)準(zhǔn)不確定度的數(shù)值容差時，則認(rèn)定該數(shù)值結(jié)果穩(wěn)定。具體的評定步驟如下:

(1)分析圓度測量中執(zhí)行不確定度的來源Δd、Δr、Δv、xk、yk、α，并確定其分布類型、分布區(qū)間、期望值及標(biāo)準(zhǔn)方差;

式中:J是大于或等于1/(1－p)的最小整數(shù)，p為包含概率，設(shè)h=1，表示在序列中初次應(yīng)用MCM。

(3)執(zhí)行M次蒙特卡洛實驗:根據(jù)步驟 (1)確定的期望值和標(biāo)準(zhǔn)方差，生成M組隨機數(shù)，以此模擬生成的觸測點的坐標(biāo);

(4)代入圓度誤差不確定度評定模型式 (6)，計算得 到M個 模 型 值 Δ1，…，ΔM，并 統(tǒng) 計 Δ(h)，u(Δ(h))，和，它們分別為圓度誤差Δ的估計值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度、100p%最短包含區(qū)間的左右端點;

(5)如果h=1，h增加1，返回到步驟 (3);

句中“公族疏遠者”， “疏遠”修飾“公族”，“者”為標(biāo)志。句意：（吳起） 剛到楚國楚王就任命他為國相。他使法令明確，依法辦事，令出必行，淘汰并裁減無關(guān)緊要的冗員，停止疏遠的王族的按例供給，來供養(yǎng)戰(zhàn)士。

(6)按下式計算圓度誤差Δ的估計值Δ(1)，…，Δ(h)的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差SΔ

(7)以相同的方式分別計算u(Δ(1))，…，u(Δ(h))的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏Su(Δ)，，…，的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差SΔlow以及，…，的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差SΔhigh;

(8)利用所有的h×M個模型值來獲得u(Δ);

(9)設(shè)定不確定度的有效數(shù)字的位數(shù)，計算出數(shù)值容差σ(不確定度最短區(qū)間的半寬度);

(10)如果 2SΔ、2Su(Δ)、2SΔlow、2SΔhigh中的任何一個值大于δ，則h增加1并返回到步驟 (3);

(11)若所有的計算已達穩(wěn)定，利用獲得的h×M個模型值計算出Δ、u(Δ)和100p%包含區(qū)間。

4 實例分析

運用?？怂箍等鴺?biāo)測量機 (GLOBAL CLASSIC SR07.10.07)，在φ151 mm的圓周上均勻測量20個點，評定圓度誤差及其不確定度。通過查詢該三坐標(biāo)的技術(shù)參數(shù)可知，α=1.8×10－5℃－1，u(α)=0.05×10－5℃－1，θ=1 ℃，u(Δd)=0.2 μm，u(Δr)=0.2 μm，u(Δv)=0.2 μm，u(xk)=u(yk)=0.5 μm，不考慮溫度的不確定度，各個隨機變量符合正態(tài)分布，分別運用兩種方法評定測量執(zhí)行不確定度。最后假設(shè)各個隨機變量符合均勻分布，再重新確定其執(zhí)行不確定度。要求包含概率為95%，不確定度保留1位有效數(shù)字。

4.1 隨機變量符合正態(tài)分布

GUM。根據(jù)20個離散點計算圓心坐標(biāo)x0、y0，通過仿真模擬的方法，運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識計算估計值、不確定度以及相關(guān)不確定度;然后通過擬合算法，求得峰點坐標(biāo)(x1，y1)、(x2，y2);然后根據(jù)式(7)、式 (9)計算各種誤差源的傳遞系數(shù);最后將計算結(jié)果代入式 (6)得到執(zhí)行不確定度。

自適應(yīng)MCM。運用第3節(jié)的評定步驟，評價出圓度誤差及其執(zhí)行不確定度。

由于不確定度保留1位有效數(shù)字，所以數(shù)值容差為σ=0.5 μm。兩種方法得到的結(jié)果如圖1、表1所示。

圖1 圓度誤差概率分布對比

表1 各種評定方法計算結(jié)果比較

結(jié)果分析:

(1)由圖1可知:各個誤差源符合正態(tài)分布時，最后的圓度誤差的概率分布比較接近正態(tài)分布，僅僅圓度誤差估計值與標(biāo)準(zhǔn)不確定度存在偏差;

(2)由表1可知:自適應(yīng)MCM和MCM運算結(jié)果十分接近，可見100 000次與50 000次的仿真結(jié)果十分接近，且在數(shù)值容差范圍之內(nèi)，說明自適應(yīng)MCM的計算結(jié)果是可信的，提高了計算效率;

(3)由表1比較MCM和GUM的計算結(jié)果，圓度誤差相差0.1 μm，不確定度相差0.2 μm，包含區(qū)間左右端點均相差0.4 μm，圓心坐標(biāo)與半徑相差在0.1 μm以內(nèi)，各項計算結(jié)果都小于數(shù)值容差σ，說明GUM在微米級精度范圍內(nèi)是有效的。

4.2 隨機變量符合均勻分布

運用相似的方法，對執(zhí)行不確定度重新評定，結(jié)果如圖2、表2所示。

圖2 圓度誤差概率分布對比

表2 兩種評定方法的比較

結(jié)果分析:

(1)由圖2可知:各個誤差源符合均勻分布時，最后的圓度誤差的概率分布偏離正態(tài)分布較大;

(2)由表2可知:在誤差源符合均勻分布時，自適應(yīng)MCM和MCM運算結(jié)果偏差在數(shù)值容差范圍之內(nèi)，說明自適應(yīng)MCM的計算結(jié)果是可信的，證明了自適應(yīng)MCM的有效性;

(3)由表2比較MCM和GUM的計算結(jié)果，不確定度相差0.4 μm，包含區(qū)間左右端點分別相差0.8 μm、0.9 μm，超出了數(shù)值容差，說明在該情況下GUM在微米級精度范圍內(nèi)是無效的。

4.3 測點數(shù)量對不確定評定的影響

從評定模型的推廣角度考慮，分析了測量點數(shù)對不確定度的影響。運用上面介紹的方法，在誤差源符合正態(tài)分布的情況下，分別測量8、10、12、14個點，并對不確定度進行重新評定，結(jié)果如圖3所示。

圖3 測量點數(shù)對不確定度評定的影響

結(jié)果分析:

(1)隨著測點的增加，MCM得到的執(zhí)行不確定度也會增大，增長的速度會變慢，但測量點數(shù)對GUM的評定結(jié)果影響不大。

(2)在正態(tài)分布的條件下，兩種評價結(jié)果的最大偏差在數(shù)值容差范圍內(nèi)，說明在微米級的精度范圍內(nèi)GUM是可信的。

4.4 實驗結(jié)論

(1)基于GUM的不確定度評定，采用了近似的處理。未考慮峰點與擬合后的特征參數(shù)的相關(guān)不確定度，比如圓的提取點與圓心認(rèn)為是不相關(guān)的;測量點數(shù)對執(zhí)行不確定度的影響未體現(xiàn)出來，除峰點以外的提取點對合成不確定度的影響未考慮。因此GUM計算的精度降低。

(2)研究表明，測點坐標(biāo)誤差不確定度和圓度誤差合成不確定度的概率密度函數(shù)較大程度地偏離正態(tài)分布或t分布，特別是分布明顯不對稱時，不適合用GUM來評估不確定度。相反，在允許的精度范圍內(nèi)，由于GUM運算規(guī)模小，推薦使用GUM評定。

5 結(jié)束語

綜合考慮了三坐標(biāo)測量機進行形狀誤差測量時自身誤差和測量過程中引入的各項誤差，給出了基于測量不確定度表示指南 (GUM)估算執(zhí)行不確定度的方法，并利用自適應(yīng)蒙特卡洛仿真方法 (MCM)來驗證GUM方法的有效性及其適用范圍。GUM通過嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，計算規(guī)模小，但是不能適用所有的場合。實驗結(jié)果表明:文中所提的不確定度評定模型，能有效提高三坐標(biāo)測量結(jié)果的準(zhǔn)確性和可信度。

［1］全國產(chǎn)品尺寸和幾何技術(shù)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)化技術(shù)委員會.GB/T 24635.3-2009產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范(GPS)坐標(biāo)測量機(CMM)確定測量不確定度的技術(shù):第3部分:應(yīng)用已校準(zhǔn)工件或標(biāo)準(zhǔn)件［S］.北京:中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2009.

［2］蔣向前.新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)理論與應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［3］張國雄.三坐標(biāo)測量機［M］.天津:天津大學(xué)出版社，1999.

［4］方沁林.圓度誤差評定的算法研究與軟件設(shè)計［D］.武漢:華中科技大學(xué)，2007.

［5］JCGM 101:2008 Evaluation of Measurement Data-Supplement 1 to the"Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement"——Propagation of Distributions Using a Monte Carlo Method［S］.JCGM － WG1，2008.

［6］國際標(biāo)準(zhǔn)化組織.測量不確定度表示指南［M］.劉智敏，劉增明，譯.北京:標(biāo)準(zhǔn)化文摘雜志社出版，1995.

［7］陳曉懷，薄曉靜，工宏濤.基于蒙特卡洛方法的測量不確定度合成［J］.儀器儀表學(xué)報，2005，26(8):759 －761.

［8］黃美發(fā)，景暉，匡兵，等.基于擬蒙特卡洛方法的測量不確定度評定［J］.儀器儀表學(xué)報，2009，30(1):120－124.