基于三維測(cè)量的圓度誤差執(zhí)行不確定度研究

黃美發(fā)，肖萌萌，孫永厚，陳磊磊

(桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣西桂林 541004)

測(cè)量不確定度是評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的重要指標(biāo)，測(cè)量不確定度定義為:表征合理地賦予被測(cè)量值的分散性，與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。沒(méi)有不確定度的測(cè)量結(jié)果是不完整的［1］。測(cè)量不確定度又可分為方法不確定度和執(zhí)行不確定度。測(cè)量不確定度約定規(guī)則使不同國(guó)家、不同地區(qū)、不同學(xué)科和不同領(lǐng)域，在表示測(cè)量結(jié)果及其不確定度時(shí)具有一致的含義。

三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在應(yīng)用中，引起被測(cè)參數(shù)不確定度的來(lái)源非常復(fù)雜，它不僅與測(cè)量機(jī)本身的精度有關(guān)，還與采樣策略、被測(cè)工件、環(huán)境條件及數(shù)據(jù)處理方法等一系列因素有關(guān)［1］。文中討論的測(cè)量不確定度是在特定的采樣、評(píng)定方法下評(píng)定的，屬于測(cè)量不確定度中的執(zhí)行不確定度。執(zhí)行不確定度是實(shí)際認(rèn)證操作算子定義的計(jì)量特性與理想認(rèn)證操作算子定義的理想計(jì)量特性之間差異引起的不確定度，校準(zhǔn)的目的通常是評(píng)估由測(cè)量?jī)x器引起的執(zhí)行不確定度的值，而與測(cè)量?jī)x器沒(méi)有直接關(guān)系的因素 (如環(huán)境)也可能導(dǎo)致執(zhí)行不確定度［2］。文中根據(jù)最新國(guó)際標(biāo)準(zhǔn) JCGM 101-2008，探討利用坐標(biāo)測(cè)量機(jī)進(jìn)行圓度測(cè)量的不確定度的來(lái)源及評(píng)定方法;然后，根據(jù)我國(guó)計(jì)量技術(shù)規(guī)范JJF 1059.2-2011，運(yùn)用自適應(yīng)蒙特卡洛方法對(duì)圓度誤差的評(píng)定過(guò)程進(jìn)行仿真研究，從而驗(yàn)證了GUM的有效性，并給出了其適用的范圍。

1 圓度誤差評(píng)定模型［3］

圓度誤差是指在垂直于回轉(zhuǎn)體軸線截面上，實(shí)際輪廓對(duì)其理想圓的變動(dòng)量，誤差的大小直接關(guān)系到孔軸配合的精度。圓度誤差是評(píng)價(jià)回轉(zhuǎn)類零件形狀精度的重要指標(biāo)之一［4］。設(shè)回轉(zhuǎn)體的測(cè)量工作平面為xy，軸線方向?yàn)閦方向，Pi(xi，yi)為回轉(zhuǎn)體某固定截面上的N個(gè)測(cè)量點(diǎn)在工作平面上的投影坐標(biāo)，理想圓的方程為:

擬合的最終目的是確定理想圓的圓心坐標(biāo) (x0，y0)和半徑R。目標(biāo)函數(shù)為

該表達(dá)式比較復(fù)雜，為非線性優(yōu)化模型，對(duì)它進(jìn)行線性化，整理公式 (1)得:

其中:x0，y0，C為未知量，根據(jù)極值條件，可以確定目標(biāo)函數(shù)里的決策未知量。通過(guò)求解，可以得到:

該公式推導(dǎo)的前提是圓心坐標(biāo)(x0，y0)的絕對(duì)值足夠小，只有圓心坐標(biāo)足夠小時(shí)才能作線性變換。因此，每次求解后，需要以求得的圓心坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行平移，然后再進(jìn)行下一次的迭代，直到求得的圓心坐標(biāo)絕對(duì)值足夠小。

求得圓心坐標(biāo)后，進(jìn)而可以確定距離圓心最遠(yuǎn)和最近的測(cè)點(diǎn)，設(shè)兩者分別為(x1，y1)、(x2，y2)。因此圓度誤差模型為:

2 基于GUM圓度執(zhí)行不確定度的評(píng)定

在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量過(guò)程中，存在多種測(cè)量因素對(duì)測(cè)量結(jié)果帶來(lái)影響，主要包括:(1)測(cè)量重復(fù)性誤差;(2)機(jī)構(gòu)誤差;(3)力變形誤差;(4)熱變形誤差;(5)探測(cè)系統(tǒng)誤差;(6)動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差［1，3］。

其中，機(jī)構(gòu)誤差包括定位誤差 (阿貝誤差和標(biāo)尺讀數(shù)系統(tǒng)的誤差)、角運(yùn)動(dòng)誤差和直線度運(yùn)動(dòng)誤差。測(cè)量重復(fù)性誤差和機(jī)構(gòu)誤差直接影響測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)值，其他誤差來(lái)源則對(duì)最終測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響［1］。

圓度誤差測(cè)量模型可表示為［5］:

式中:δ為測(cè)量重復(fù)性誤差和機(jī)構(gòu)誤差產(chǎn)生的誤差，也是式 (5)中的評(píng)定誤差;α為工件的熱膨脹系數(shù);θ為實(shí)際環(huán)境溫度與標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量環(huán)境溫度之差;Δd為測(cè)量機(jī)的探測(cè)誤差;Δr為測(cè)量機(jī)的力變形誤差;Δv為測(cè)量機(jī)的動(dòng)態(tài)誤差。

各傳遞系數(shù)為:

而圓度測(cè)量的執(zhí)行不確定度為各個(gè)分量不確定度的平方和開方，即:

其中由測(cè)量重復(fù)性誤差和機(jī)構(gòu)誤差引起的不確定度，可以通過(guò)式 (5)推導(dǎo)出。根據(jù)GUM不確定度傳播規(guī)律，求得各傳遞系數(shù)為:

在所有的影響因素中，近似認(rèn)為只有x0、y0是相關(guān)的。因此，可得由測(cè)量重復(fù)性誤差和機(jī)構(gòu)誤差引起的不確定度［6］:

為保守考慮，取 ρx0y0=1。以上公式中x1、y1、x2、y2的不確定度由重復(fù)性測(cè)量和三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的機(jī)構(gòu)誤差構(gòu)成:

其中:k=1，2，…，N;u2(x機(jī))為x軸方向上的機(jī)構(gòu)誤差不確定度;u2(y機(jī))為y軸方向上的機(jī)構(gòu)誤差不確定度。

把(x0，y0)看作一個(gè)隨機(jī)向量，對(duì)被測(cè)圓按照相同的采樣方法擬合多次，計(jì)算隨機(jī)向量的均值(，)，作為它們的估計(jì)值代入式(9)。x0、y0的不確定度及相關(guān)不確定度為:

3 自適應(yīng)蒙特卡洛方法 (MCM)

蒙特卡洛方法是一種數(shù)值計(jì)算方法，它以概率統(tǒng)計(jì)為主要理論基礎(chǔ)，以隨機(jī)抽樣為主要手段。蒙特卡洛方法首先建立一個(gè)與所求解相關(guān)的概率模型，使所求問(wèn)題的解正好是所建模型的數(shù)學(xué)期望或其他有關(guān)特征量;然后通過(guò)多次模擬一個(gè)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)出某事件發(fā)生的概率;利用建立的概率模型，求出要估計(jì)的參數(shù);最后對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)，驗(yàn)證該系統(tǒng)的某些特性［7－8］。

在執(zhí)行自適應(yīng)蒙特卡洛方法的基本過(guò)程中，蒙特卡洛試驗(yàn)次數(shù)不斷增加，直至所需要的各種結(jié)果達(dá)到統(tǒng)計(jì)意義上的穩(wěn)定。如果某結(jié)果的兩倍標(biāo)準(zhǔn)偏差小于標(biāo)準(zhǔn)不確定度的數(shù)值容差時(shí)，則認(rèn)定該數(shù)值結(jié)果穩(wěn)定。具體的評(píng)定步驟如下:

(1)分析圓度測(cè)量中執(zhí)行不確定度的來(lái)源Δd、Δr、Δv、xk、yk、α，并確定其分布類型、分布區(qū)間、期望值及標(biāo)準(zhǔn)方差;

式中:J是大于或等于1/(1－p)的最小整數(shù)，p為包含概率，設(shè)h=1，表示在序列中初次應(yīng)用MCM。

(3)執(zhí)行M次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn):根據(jù)步驟 (1)確定的期望值和標(biāo)準(zhǔn)方差，生成M組隨機(jī)數(shù)，以此模擬生成的觸測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo);

(4)代入圓度誤差不確定度評(píng)定模型式 (6)，計(jì)算得 到M個(gè) 模 型 值 Δ1，…，ΔM，并 統(tǒng) 計(jì) Δ(h)，u(Δ(h))，和，它們分別為圓度誤差Δ的估計(jì)值、標(biāo)準(zhǔn)不確定度、100p%最短包含區(qū)間的左右端點(diǎn);

(5)如果h=1，h增加1，返回到步驟 (3);

句中“公族疏遠(yuǎn)者”， “疏遠(yuǎn)”修飾“公族”，“者”為標(biāo)志。句意：（吳起） 剛到楚國(guó)楚王就任命他為國(guó)相。他使法令明確，依法辦事，令出必行，淘汰并裁減無(wú)關(guān)緊要的冗員，停止疏遠(yuǎn)的王族的按例供給，來(lái)供養(yǎng)戰(zhàn)士。

(6)按下式計(jì)算圓度誤差Δ的估計(jì)值Δ(1)，…，Δ(h)的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差SΔ

(7)以相同的方式分別計(jì)算u(Δ(1))，…，u(Δ(h))的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏Su(Δ)，，…，的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差SΔlow以及，…，的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差SΔhigh;

(8)利用所有的h×M個(gè)模型值來(lái)獲得u(Δ);

(9)設(shè)定不確定度的有效數(shù)字的位數(shù)，計(jì)算出數(shù)值容差σ(不確定度最短區(qū)間的半寬度);

(10)如果 2SΔ、2Su(Δ)、2SΔlow、2SΔhigh中的任何一個(gè)值大于δ，則h增加1并返回到步驟 (3);

(11)若所有的計(jì)算已達(dá)穩(wěn)定，利用獲得的h×M個(gè)模型值計(jì)算出Δ、u(Δ)和100p%包含區(qū)間。

4 實(shí)例分析

運(yùn)用?？怂箍等鴺?biāo)測(cè)量機(jī) (GLOBAL CLASSIC SR07.10.07)，在φ151 mm的圓周上均勻測(cè)量20個(gè)點(diǎn)，評(píng)定圓度誤差及其不確定度。通過(guò)查詢?cè)撊鴺?biāo)的技術(shù)參數(shù)可知，α=1.8×10－5℃－1，u(α)=0.05×10－5℃－1，θ=1 ℃，u(Δd)=0.2 μm，u(Δr)=0.2 μm，u(Δv)=0.2 μm，u(xk)=u(yk)=0.5 μm，不考慮溫度的不確定度，各個(gè)隨機(jī)變量符合正態(tài)分布，分別運(yùn)用兩種方法評(píng)定測(cè)量執(zhí)行不確定度。最后假設(shè)各個(gè)隨機(jī)變量符合均勻分布，再重新確定其執(zhí)行不確定度。要求包含概率為95%，不確定度保留1位有效數(shù)字。

4.1 隨機(jī)變量符合正態(tài)分布

GUM。根據(jù)20個(gè)離散點(diǎn)計(jì)算圓心坐標(biāo)x0、y0，通過(guò)仿真模擬的方法，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)計(jì)算估計(jì)值、不確定度以及相關(guān)不確定度;然后通過(guò)擬合算法，求得峰點(diǎn)坐標(biāo)(x1，y1)、(x2，y2);然后根據(jù)式(7)、式 (9)計(jì)算各種誤差源的傳遞系數(shù);最后將計(jì)算結(jié)果代入式 (6)得到執(zhí)行不確定度。

自適應(yīng)MCM。運(yùn)用第3節(jié)的評(píng)定步驟，評(píng)價(jià)出圓度誤差及其執(zhí)行不確定度。

由于不確定度保留1位有效數(shù)字，所以數(shù)值容差為σ=0.5 μm。兩種方法得到的結(jié)果如圖1、表1所示。

圖1 圓度誤差概率分布對(duì)比

表1 各種評(píng)定方法計(jì)算結(jié)果比較

結(jié)果分析:

(1)由圖1可知:各個(gè)誤差源符合正態(tài)分布時(shí)，最后的圓度誤差的概率分布比較接近正態(tài)分布，僅僅圓度誤差估計(jì)值與標(biāo)準(zhǔn)不確定度存在偏差;

(2)由表1可知:自適應(yīng)MCM和MCM運(yùn)算結(jié)果十分接近，可見100 000次與50 000次的仿真結(jié)果十分接近，且在數(shù)值容差范圍之內(nèi)，說(shuō)明自適應(yīng)MCM的計(jì)算結(jié)果是可信的，提高了計(jì)算效率;

(3)由表1比較MCM和GUM的計(jì)算結(jié)果，圓度誤差相差0.1 μm，不確定度相差0.2 μm，包含區(qū)間左右端點(diǎn)均相差0.4 μm，圓心坐標(biāo)與半徑相差在0.1 μm以內(nèi)，各項(xiàng)計(jì)算結(jié)果都小于數(shù)值容差σ，說(shuō)明GUM在微米級(jí)精度范圍內(nèi)是有效的。

4.2 隨機(jī)變量符合均勻分布

運(yùn)用相似的方法，對(duì)執(zhí)行不確定度重新評(píng)定，結(jié)果如圖2、表2所示。

圖2 圓度誤差概率分布對(duì)比

表2 兩種評(píng)定方法的比較

結(jié)果分析:

(1)由圖2可知:各個(gè)誤差源符合均勻分布時(shí)，最后的圓度誤差的概率分布偏離正態(tài)分布較大;

(2)由表2可知:在誤差源符合均勻分布時(shí)，自適應(yīng)MCM和MCM運(yùn)算結(jié)果偏差在數(shù)值容差范圍之內(nèi)，說(shuō)明自適應(yīng)MCM的計(jì)算結(jié)果是可信的，證明了自適應(yīng)MCM的有效性;

(3)由表2比較MCM和GUM的計(jì)算結(jié)果，不確定度相差0.4 μm，包含區(qū)間左右端點(diǎn)分別相差0.8 μm、0.9 μm，超出了數(shù)值容差，說(shuō)明在該情況下GUM在微米級(jí)精度范圍內(nèi)是無(wú)效的。

4.3 測(cè)點(diǎn)數(shù)量對(duì)不確定評(píng)定的影響

從評(píng)定模型的推廣角度考慮，分析了測(cè)量點(diǎn)數(shù)對(duì)不確定度的影響。運(yùn)用上面介紹的方法，在誤差源符合正態(tài)分布的情況下，分別測(cè)量8、10、12、14個(gè)點(diǎn)，并對(duì)不確定度進(jìn)行重新評(píng)定，結(jié)果如圖3所示。

圖3 測(cè)量點(diǎn)數(shù)對(duì)不確定度評(píng)定的影響

結(jié)果分析:

(1)隨著測(cè)點(diǎn)的增加，MCM得到的執(zhí)行不確定度也會(huì)增大，增長(zhǎng)的速度會(huì)變慢，但測(cè)量點(diǎn)數(shù)對(duì)GUM的評(píng)定結(jié)果影響不大。

(2)在正態(tài)分布的條件下，兩種評(píng)價(jià)結(jié)果的最大偏差在數(shù)值容差范圍內(nèi)，說(shuō)明在微米級(jí)的精度范圍內(nèi)GUM是可信的。

4.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

(1)基于GUM的不確定度評(píng)定，采用了近似的處理。未考慮峰點(diǎn)與擬合后的特征參數(shù)的相關(guān)不確定度，比如圓的提取點(diǎn)與圓心認(rèn)為是不相關(guān)的;測(cè)量點(diǎn)數(shù)對(duì)執(zhí)行不確定度的影響未體現(xiàn)出來(lái)，除峰點(diǎn)以外的提取點(diǎn)對(duì)合成不確定度的影響未考慮。因此GUM計(jì)算的精度降低。

(2)研究表明，測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)誤差不確定度和圓度誤差合成不確定度的概率密度函數(shù)較大程度地偏離正態(tài)分布或t分布，特別是分布明顯不對(duì)稱時(shí)，不適合用GUM來(lái)評(píng)估不確定度。相反，在允許的精度范圍內(nèi)，由于GUM運(yùn)算規(guī)模小，推薦使用GUM評(píng)定。

5 結(jié)束語(yǔ)

綜合考慮了三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)進(jìn)行形狀誤差測(cè)量時(shí)自身誤差和測(cè)量過(guò)程中引入的各項(xiàng)誤差，給出了基于測(cè)量不確定度表示指南 (GUM)估算執(zhí)行不確定度的方法，并利用自適應(yīng)蒙特卡洛仿真方法 (MCM)來(lái)驗(yàn)證GUM方法的有效性及其適用范圍。GUM通過(guò)嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，計(jì)算規(guī)模小，但是不能適用所有的場(chǎng)合。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:文中所提的不確定度評(píng)定模型，能有效提高三坐標(biāo)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性和可信度。

［1］全國(guó)產(chǎn)品尺寸和幾何技術(shù)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)化技術(shù)委員會(huì).GB/T 24635.3-2009產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范(GPS)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)(CMM)確定測(cè)量不確定度的技術(shù):第3部分:應(yīng)用已校準(zhǔn)工件或標(biāo)準(zhǔn)件［S］.北京:中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2009.

［2］蔣向前.新一代GPS標(biāo)準(zhǔn)理論與應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［3］張國(guó)雄.三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)［M］.天津:天津大學(xué)出版社，1999.

［4］方沁林.圓度誤差評(píng)定的算法研究與軟件設(shè)計(jì)［D］.武漢:華中科技大學(xué)，2007.

［5］JCGM 101:2008 Evaluation of Measurement Data-Supplement 1 to the"Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement"——Propagation of Distributions Using a Monte Carlo Method［S］.JCGM － WG1，2008.

［6］國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織.測(cè)量不確定度表示指南［M］.劉智敏，劉增明，譯.北京:標(biāo)準(zhǔn)化文摘雜志社出版，1995.

［7］陳曉懷，薄曉靜，工宏濤.基于蒙特卡洛方法的測(cè)量不確定度合成［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2005，26(8):759 －761.

［8］黃美發(fā)，景暉，匡兵，等.基于擬蒙特卡洛方法的測(cè)量不確定度評(píng)定［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2009，30(1):120－124.