加權Bergman空間上的Rudin正交性問題

鄭桃霞，徐憲民

（1．浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院，浙江金華321004；2．嘉興學院 數(shù)學研究所，浙江嘉興314001）

本文將參照文獻 ［5］中的方法，利用單位圓盤上解析自映射的廣義Nevanlinna計數(shù)函數(shù)，對加權Bergman空間（D）上的Rudin問題進行研究．

1 相關概念及基本符號

記C為復平面，C中開單位圓盤為D＝ ｛z：z∈C｝．dA表示開單位圓盤D的規(guī)范面積測度，即dA（z）＝drdθ，其中z＝reiθ．

顯然，當p＝2時，加權Bergman空間Aα2是Hilbert空間．

定義2 對解析函數(shù)φ：D→D，定義φ的誘導測度μφ：

因此，dλφ為單位圓盤D上的有限測度．

則稱μ是徑向的．

如果函數(shù)f （reiθ）與θ無關，則稱函數(shù)f是本性徑向的．

2 引理

令u＝rw，dA （u）＝sdsdθ，則有：

引理3［5］57設φ1，φ2，…，φm是 D上的解析函數(shù)，若是徑向的，則每個φk都是z的多項式．

3 主要結(jié)論

成立．

綜上可知，當n≠m時，有

由上述 （b）?（a）證明過程可知，當n≠m時，有：

假設φ（0）＝0，由littlewood不等式：［7］

對w∈φ（D）且w≠0，有

設λ0＝0，于是有

從而有

［1］PAUL S BOURDON．Rudin’s orthogonality problem and the Nevanlinna counting functions［J］．Proceedings of the American Mathmatical Society，1997（125）：1187－1192．

［2］CARL SUNDBERG．Measure induced by analytic functions and a problem of Walter Rudin［J］．Journal of the American mathematical society，2002（16）：69－90．

［3］CHRISTOPHER J BISHOP．Orthogonal functions in H∞［M］．Pacific Journal of．Mathematics，2005（220）：1－31．

［4］GERARDO A．CHACON，JOSE GIMENEZ．Composition Operators on the Dirichlet space and related problems［J］．Boletin de la Asociacion Matematica Venezolana．，2006 （2）：155－164．

［5］KUNYU GUO，DECHAO ZHENG．Rudin orthogonality problem on the Bergman space［J］．Journal of Functional Analysis，2011（261）：51－68．

［6］KEHE ZHU．Theory of Bergman spaces［M］．New York：Springer－Verlag，2000．

［7］徐憲民．復合算子理論 ［M］．北京：科學出版社，1999：108．

［8］WALTER RUDIN．Real and complex analysis，2nd edition［M］．New York：McGraw－Hill，1974：336．