一種基于多維均勻采樣與Kriging模型的天線快速優(yōu)化方法

陳曉輝 裴進明 郭欣欣 齊 松

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一種基于多維均勻采樣與Kriging模型的天線快速優(yōu)化方法

陳曉輝*裴進明 郭欣欣 齊 松

(安徽工程大學(xué)電氣工程學(xué)院 蕪湖 241000)

天線優(yōu)化設(shè)計中，由于經(jīng)典優(yōu)化算法一般需要對同一結(jié)構(gòu)的成百上千組參數(shù)進行電磁仿真后才能得出最優(yōu)結(jié)果，因此多參數(shù)、大范圍的天線優(yōu)化設(shè)計存在計算效率問題。該文利用Kriging模型擬合參數(shù)空間內(nèi)樣本點的電磁仿真數(shù)據(jù)，代替電磁仿真實現(xiàn)從結(jié)構(gòu)參數(shù)到電磁響應(yīng)的瞬時近似計算，通過初始階段的多維均勻拉丁超立方采樣算法(LHS-MDU)和優(yōu)化循環(huán)中的新增采樣策略，減少電磁仿真次數(shù)，提高優(yōu)化設(shè)計效率。利用此方法調(diào)整矩形貼片天線的饋點位置和雙頻單極子天線的振子長度來優(yōu)化工作頻點與阻抗帶寬，相比遺傳算法，完成相同目標所需的電磁仿真次數(shù)分別減少了75%和84%。

天線優(yōu)化；代理模型；Kriging模型；多維均勻采樣

1 引言

基于以上原因，本文提出利用精細模型仿真數(shù)據(jù)，通過減少樣本數(shù)量，改善樣本分布的方法構(gòu)建代理模型。在初始階段利用多維均勻拉丁超立方采樣算法使有限的樣本點在參數(shù)空間內(nèi)均勻分布以提高優(yōu)化的全局性，在優(yōu)化過程中，綜合樣本點的空間分布和預(yù)測性能兩方面因素，采用候選排名策略加入新的樣本數(shù)據(jù)來更新Kriging模型，以加快收斂速度。利用本文方法對矩形貼片天線和雙頻單極子WLAN天線進行工作頻點和阻抗帶寬優(yōu)化，結(jié)果表明，與遺傳算法相比該方法可以顯著減少電磁模型的仿真次數(shù)，提高優(yōu)化效率。

2 優(yōu)化原理

2.1 優(yōu)化問題描述

天線優(yōu)化問題可以描述為

2.2 多維均勻采樣

在建立代理模型時，最主要的采樣方法就是拉丁超立方采樣(Latin Hypercube Sampling, LHS)，它由McKay等人[13]于1979年為仿真試驗設(shè)計而提出，通過對參數(shù)區(qū)間分層和非重疊隨機采樣，可以使樣本點相對均勻地填滿整個參數(shù)空間。但如果減少樣本點數(shù)量，由于分層只對1維參數(shù)區(qū)間進行，樣本點在多維空間中的均勻性難以保證。一種改進方法是多維均勻拉丁超立方采樣(LHS with MultiDimensional Uniformity, LHS-MDU)[14]，它在保持LHS 1維分層均勻采樣的基礎(chǔ)上，通過增大樣本點間的距離來提高其在多維空間的均勻性，其流程簡述如下：

步驟1 利用LHS算法，在參數(shù)空間中生成=個維樣本點，為所需樣本點數(shù)目，系數(shù)為大于1的正整數(shù)；

步驟2 計算第個樣本點到其他樣本點的距離

步驟4 對個樣本點的每一維從小到大排序，以序號作為該維參數(shù)區(qū)間等分層的層號，在每層中選取隨機數(shù)代替原數(shù)據(jù)，以實現(xiàn)對該維參數(shù)的分層均勻采樣。

分別利用LHS和LHS-MDU兩種算法在2維空間[0,1]2中產(chǎn)生20個樣本點的結(jié)果如圖1所示?？梢钥闯霰M管兩種算法在單維度上都滿足分層均勻采樣的原則，但是在2維空間中，LHS-MDU算法的均勻性明顯優(yōu)于LHS算法。

圖1 兩種采樣算法在2維空間[0,1]2的采樣結(jié)果

2.3 Kriging模型

式中，()是由1,各分量或其高次項構(gòu)成的向量；是回歸系數(shù)；是隨機誤差，其均值為0，方差為2,中任意兩點的協(xié)方差為

測試點響應(yīng)的估計值認為是各樣本點響應(yīng)的線性組合。

則估計誤差為

估計均方差為

在約束條件式(8)下，求使式(9)取得最小值。構(gòu)造Lagrange函數(shù)

令

則

式中

根據(jù)樣本集和響應(yīng)集可以按式(13)和式(15)確定和，對于未知點，只需計算()和()，然后根據(jù)式(14)計算兩個矩陣的乘積再求和，即可得到響應(yīng)估計值s()，而估計誤差按式(7)來計算。Kriging模型的詳細介紹見文獻[15]。

2.4 優(yōu)化循環(huán)

本方法對新增樣本點的選擇策略是，如果當(dāng)前最優(yōu)參數(shù)op滿足均勻性條件：

則使用當(dāng)前xop及其響應(yīng)R(xop)作為新的樣本數(shù)據(jù)來更新Rs(x)，否則利用LHS-MDU算法產(chǎn)生k個候選樣本點，首先按候選樣本點到已有樣本點的最小距離，由大到小排序；然后利用當(dāng)前Rs(x)計算各候選樣本點適應(yīng)度，按適應(yīng)度值由小到大排序；兩次排序序號取和，序號最小的候選樣本點作為本次優(yōu)化循環(huán)的新增樣本點。優(yōu)化過程的流程圖如圖2所示。

3 實例驗證

3.1 矩形貼片天線饋點位置優(yōu)化

圖3 矩形貼片天線

相關(guān)函數(shù)選用高斯函數(shù)。在隨后的優(yōu)化循環(huán)中，每次循環(huán)利用候選排名算法新增一個樣本點，共增加了19個樣本點如圖3(b)中的“×”所示，結(jié)合圖4的11參數(shù)響應(yīng)曲面可以看出，新增的樣本點可以在保持相對均勻的同時有效地遠離性能較差的樣本點，而集中于優(yōu)化目標附近。整個優(yōu)化過程需要39次電磁仿真，優(yōu)化結(jié)果是：op=[5.16, 1.51], Kriging模型的預(yù)測值為11@2.37 GHz=-23.54 dB, HFSS仿真結(jié)果為11@2.37 GHz=-24.95 dB，天線E面和H面方向圖如圖5所示，最大增益為7.14 dB。

3.2 雙頻單極子WLAN天線振子長度優(yōu)化

雙頻WLAN單極子天線[16]如圖7所示，基板材料為RO4003，介電常數(shù)，損耗角正切，厚度=1.52 mm；微帶饋線寬度1=3.5 mm，長度3=13 mm；接地板長度4=11 mm。左右兩臂分別工作于高頻段5.150～5.825 GHz和低頻段2.4000～2.4825 GHz，待優(yōu)化變量為左右兩臂長度=[1,2,1,2]，優(yōu)化目標是工作頻帶內(nèi)。

按照臂長取1/4波長的原則確定各變量的取值范圍如表2所示。利用LHS-MDU算法生成初始樣本點，取樣本點個數(shù)=40，系數(shù)=5，使用HFSS仿真得到各樣本點在2.4000～2.4825 GHz和5.150～5.825 GHz工作頻段內(nèi)的11參數(shù)，步長選0.050 GHz，低頻段3個頻點，高頻段17個頻點，帶寬內(nèi)對頻點定義線性適應(yīng)度函數(shù)為

圖4 S11響應(yīng)曲面

圖5 矩形貼片天線方向圖，

圖6 優(yōu)化過程收斂曲線

表1矩形貼片天線優(yōu)化結(jié)果

序號最優(yōu)參數(shù)xop(mm)Kriging預(yù)測值U(Rs(xop))HFSS仿真值U(R(xop))初始樣本點個數(shù)新增樣本點個數(shù)電磁仿真次數(shù) 1[5.7043, 1.5971]-23.8435-24.8887203555 2[5.4062, 1.5416]-25.9228-25.919520 323 3[5.9308, 1.9981]-21.2147-22.0665202444 4[5.4648, 1.5292]-25.7078-25.760720 323 5[5.2230, 2.0735]-20.1450-23.6101203353 6[5.7372, 1.9816]-24.4784-24.1613202242 7[5.2326, 1.5087]-21.3269-25.356120 626 8[5.6953, 2.2478]-20.4295-21.7100202343 9[5.1784, 1.7662]-24.2927-25.4394202646 10[5.7043, 1.5971]-23.8435-24.8887202747

表2參數(shù)取值范圍

參數(shù)最小值(mm)最大值(mm) L138 L2510 R1510 R21523

取1=80,2=1來強調(diào)如果頻帶11>-15 dB，適應(yīng)度會顯著變差，并取帶寬內(nèi)各頻點適應(yīng)度的平均值作為該樣本點的適應(yīng)度。構(gòu)建Kriging模型擬合樣本點和其響應(yīng)的關(guān)系，實現(xiàn)由4個結(jié)構(gòu)參數(shù)到20個響應(yīng)數(shù)據(jù)的快速計算，設(shè)定優(yōu)化目標為適應(yīng)度小于10，經(jīng)過141次循環(huán)后優(yōu)化結(jié)束，最優(yōu)參數(shù)op=[4.17, 9.13, 5.91, 21.55]。Kriging模型對最優(yōu)參數(shù)11的預(yù)測曲線如圖8中實線所示，HFSS仿真得到的11曲線如圖8中虛線所示，可見除高頻諧振點外，Kriging模型有良好的計算精度。HFSS仿真得到天線方向圖如圖9所示。

將這一優(yōu)化算法重復(fù)5次，優(yōu)化結(jié)果如表3所示，對于適應(yīng)度小于10的優(yōu)化目標，平均的電磁仿真次數(shù)是140次，平均優(yōu)化效率曲線如圖10中實線所示。為了驗證算法效率，使用遺傳算法(GA)，以相同適應(yīng)度函數(shù)對該天線做優(yōu)化，設(shè)置最大優(yōu)化代數(shù)為100，交叉概率為0.8，每代種群數(shù)量為100，得到最優(yōu)參數(shù)op=[4.03, 9.15, 5.85, 21.62]，優(yōu)化效率曲線如圖10中虛線所示，對于適應(yīng)度小于10的優(yōu)化目標，需要的電磁仿真次數(shù)約900次。對于4變量的振子長度優(yōu)化，相比遺傳算法，本文方法所需的電磁仿真次數(shù)減少了84%。

4 結(jié)束語

目前天線優(yōu)化設(shè)計主要依靠仿真軟件對不同結(jié)構(gòu)參數(shù)進行反復(fù)實驗。本文利用Kriging模型代替仿真軟件實現(xiàn)天線電磁響應(yīng)的快速近似計算，為減少建立Kriging模型時樣本數(shù)據(jù)的仿真量，首先，在初始階段運用LHS-MDU算法使有限的樣本點在參數(shù)空間均勻分布，節(jié)省計算的同時，提高優(yōu)化的全局性；其次，在優(yōu)化循環(huán)中，從樣本點的空間分布和預(yù)測性能兩方面結(jié)合來新增樣本數(shù)據(jù)，且每次循環(huán)僅對一個樣本點進行電磁仿真，用仿真得到的數(shù)據(jù)更新Kriging模型，以實現(xiàn)更高的數(shù)據(jù)利用率。利用此方法對矩形貼片天線的饋點位置(2變量)和雙頻單極子天線的振子長度(4變量)進行優(yōu)化，對于相同的優(yōu)化目標，相比遺傳算法分別減少了75%和84%的電磁仿真次數(shù)。本文方法對各種電磁結(jié)構(gòu)的仿真優(yōu)化設(shè)計有一定的指導(dǎo)意義。

圖8 最優(yōu)參數(shù)的S11曲線

圖9 雙頻單極子WLAN天線H面方向圖，實線：低頻方向圖；虛線：高頻方向圖

圖10 優(yōu)化過程收斂曲線

表3雙頻單極子WLAN天線優(yōu)化結(jié)果

序號最優(yōu)參數(shù)xop(mm)Kriging預(yù)測值U(Rs(xop))HFSS仿真值U(Rs(xop))初始樣本點個數(shù)新增樣本點個數(shù)電磁仿真次數(shù) 1[4.3835, 9.1763, 5.9575, 21.4498]-0.87538.978040 13 53 2[4.2709, 9.2214, 5.9419, 21.4712] 9.37796.909740 98138 3[4.4133, 9.1690, 5.9541, 21.3247] 4.43155.798440147187 4[4.3290, 9.0824, 5.8926, 21.5059] 7.32928.491740136176 5[4.2121, 9.0304, 5.9738, 21.5051] 9.14823.020240105145

[1] 裴進明, 陳曉輝. 多精度仿真方法及其在天線優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用[J]. 電波科學(xué)學(xué)報, 2013, 28(6):1173-1177.

[2] 胡夢中, 尹成友, 宋錚. 一種頻率可重構(gòu)微帶天線的快速優(yōu)化設(shè)計方法[J]. 電子與信息學(xué)報, 2010, 32(6): 1377-1383.

[3] Liu Bo, Aliakbarian H, Ma Zhong-kun,.. An efficient method for antenna design optimization based on evolutionary computation and machine learning techniques[J]., 2014, 62(1): 7-18.

[4] Bandler J W, Cheng Q S, Dakroury S A,.. Space mapping: the state of the art[J]., 2004, 52(1): 337-361.

[5] Koziel S and Madsen K. Space mapping and beyond: knowledge-driven microwave design optimization[C]. 2012 IEEE MTT-S International, Microwave Symposium Digest (MTT), Montreal, QC , Canada, 2012: 1-3.

[6] Shaker G, Bakr M H, Sangary N,.. Accelerated antenna design methodology exploiting parameterized Cauchy models[J]., 2009, 18: 279-309.

[7] Chen L L, Liao C, Lin W B,.. Hybrid-surrogate- model-based efficient global optimization for high- dimensional antenna design[J]., 2012, 124: 85-100.

[8] Bose T and Gupta N. Design of an aperture-coupled microstrip antenna using a hybrid neural network[J].&, 2012,6(4): 470-474.

[9] 周金柱, 黃進, 薛欣. 基于支持向量回歸的腔體濾波器機電耦合建模與優(yōu)化[J]. 電子與信息學(xué)報, 2011, 33(11): 2780-2784.

[10] Quepo N V, Haftka R T, Wei S,.. Surrogate-based analysis and optimization[J]., 2005, 41: 1-28.

[11] Koziel S and Bandler J W. Accurate modeling of microwave devices using kriging corrected space mapping surrogates[J].:, 2012, 25(2): 1-14.

[12] Koziel S, Ogurtsov S, Couckuyt I,.. Efficient simulation-driven design optimization of antennas using co-kriging[C]. Antennas and Propagation Society International Symposium (APSURSI), Chicago, 2012: 1-2.

[13] McKay M D, Beckman R J, and Conover W J. A comparison of the three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code[J]., 1979, 21(2): 239-245.

[14] Deutsch J L and Deutsch C V. Latin hypercube sampling with multidimensional uniformity[J]., 2012, 142: 763-772.

[16] 李明洋, 劉敏, 楊放. HFSS天線設(shè)計[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2011: 75-96.

陳曉輝： 男，1981年生，碩士，講師，研究方向為微帶天線理論和微帶天線優(yōu)化設(shè)計.

裴進明： 男，1964年生，博士，副教授，研究方向為天線與電波傳播、微帶天線理論、天線優(yōu)化設(shè)計.

郭欣欣： 女，1980年生，碩士，講師，研究方向為電磁仿真與數(shù)值分析.

An Efficient Antenna Optimization Method Based on KrigingModel and Multidimensional Uniform Sampling

Chen Xiao-hui Pei Jin-ming Guo Xin-xin Qi Song

(,,241000,)

During the process of antenna design and optimization, classical optimization methods often require hundreds or even thousands trials of different parameter combinations, which leads to a low efficiency in solving multi-parameter and large scale optimization problems. In this paper, a quick and approximate computation of the EM response can be realized though a Kriging model, which is created by fitting the simulation results to their structural parameters. The number of EM simulation needed can be reduced by Latin Hypercube Sampling for MultiDimensional Uniformity (LHS-MDU) at the initial stage and a candidate-selecting method in the following optimization loops. In order to optimize the resonant frequency and impedance bandwidth, the feed position of a rectangular patch antenna and the dipole lengths of a dual-band monopole antenna are adjusted by the proposed method and compared with the genetic optimization, the numbers of EM simulation are reduced by 75% and 84% respectively.

Antenna optimization; Surrogate model; Kriging model; Multidimensional uniform sampling

TN820

A

1009-5896(2014)12-3021-06

10.3724/SP.J.1146.2013.01826

陳曉輝 cxhlk@126.com

2013-11-20收到，2014-03-25改回