在軌衛(wèi)星星等建模與計(jì)算

楊 莉，呂相銀，金 偉，趙紀(jì)金，楊 華

（1.電子工程學(xué)院 脈沖功率激光技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥230037，2.電子工程學(xué)院 紅外與低溫等離子體安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥230037）

引言

星等是天文學(xué)上傳統(tǒng)形成的表示天體亮度的一套特殊方法，它表示天體明暗程度的相對亮度并以對數(shù)標(biāo)度測量的數(shù)值。古希臘天文學(xué)家根據(jù)恒星的明亮程度把它們分成6等，最亮的星為1等星，肉眼剛好能看到的星為6等星，恒星越亮，星等數(shù)越小。望遠(yuǎn)鏡技術(shù)問世后，可以看到更暗的恒星，比如現(xiàn)代大口徑望遠(yuǎn)鏡能觀測25等的暗星。其中對于衛(wèi)星而言，由于其反射太陽光而具有一定的亮度，若能計(jì)算其星等，就可以預(yù)估這顆衛(wèi)星是否能被眼睛觀測到，或者需要怎樣的望遠(yuǎn)鏡才能觀測到。由此可見，計(jì)算衛(wèi)星的星等對于衛(wèi)星觀測跟蹤等具有重要意義。以往對于星等的研究主要是在觀測方面，通過觀測衛(wèi)星的亮度來確定衛(wèi)星的星等，理論計(jì)算方面也都沒有考慮地球反照的影響，而且缺少一些通用模型［1－6］。文中研究了計(jì)算軌道衛(wèi)星星等的通用數(shù)學(xué)模型，從而可以為觀測跟蹤衛(wèi)星所需要的光學(xué)系統(tǒng)等硬件設(shè)計(jì)提供一定的指導(dǎo)。

1 衛(wèi)星可見光特性計(jì)算

衛(wèi)星的可見光特性主要由兩部分組成，即衛(wèi)星對太陽直接照射的反射和衛(wèi)星對地球反射太陽光（以下簡稱為“地球反照”）的反射。衛(wèi)星繞地球運(yùn)行，同時(shí)地球帶著衛(wèi)星一起繞太陽公轉(zhuǎn)。當(dāng)太陽的位置確定以后，地球的公轉(zhuǎn)軌道也就確定了，但衛(wèi)星繞地球的軌道是由人工發(fā)射決定的，具體軌道的空間位置在滿足天體力學(xué)的前提下可以是任意的。因此要計(jì)算衛(wèi)星對太陽輻射和地球反照的反射，首先要確定衛(wèi)星的軌道。

1.1 衛(wèi)星的軌道描述

衛(wèi)星的軌道方程由天體力學(xué)理論推導(dǎo)結(jié)果為

式中：p為半通徑；e為偏心率；a為半長軸。

僅僅由上述軌道方程式還不能確定衛(wèi)星在任意時(shí)刻所處空間的位置，要描述軌道在空間的位置，還需要一些特征量。完全描述軌道的所有特征量是：軌道半長軸a，軌道偏心率e，升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω，軌道傾角i，近地點(diǎn)幅角ω，紀(jì)元時(shí)刻的平近點(diǎn)角M（t0），它們總稱為軌道要素。其作用分別是：軌道半長軸a和偏心率e確定軌道的大小和形狀；升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω和軌道傾角i確定軌道平面在慣性空間的取向；近地點(diǎn)幅角ω確定拱點(diǎn)線（從遠(yuǎn)地點(diǎn)到近地點(diǎn)的直線）在軌道平面內(nèi)的取向；紀(jì)元時(shí)刻的平近點(diǎn)角M（t0）確定時(shí)間的起點(diǎn)。由衛(wèi)星的軌道描述可以確定衛(wèi)星的空間位置，由太陽的赤經(jīng)赤緯可以確定太陽光的入射方向。當(dāng)衛(wèi)星的空間位置及姿態(tài)和太陽光的入射方向確定以后，就可以計(jì)算衛(wèi)星接收的太陽輻射了。當(dāng)然同時(shí)還要考慮衛(wèi)星處于地球陰影時(shí)所受地球遮擋的問題［7］。

1.2 衛(wèi)星表面接收的太陽直接輻射

在計(jì)算時(shí)以三軸穩(wěn)定型衛(wèi)星為例，其結(jié)構(gòu)形式大致為盒型，外加可展開的太陽能電池帆板。這種衛(wèi)星通常采用慣性穩(wěn)定，而有一個(gè)軸緩慢旋轉(zhuǎn)以使有效載荷天線或敏感器指向地球，太陽能電池帆板也相對于衛(wèi)星連續(xù)旋轉(zhuǎn)以保持其始終面向太陽。衛(wèi)星任一表面單位面積接收到的太陽輻射為

式中：ζ為日地間距引起的修正值；Esun＝1 353 W／m2，稱為太陽常數(shù)；Fsun為目標(biāo)表面對太陽直接輻射的角度因子。

1.3 衛(wèi)星表面接收的地球反照

太陽輻射入射到地球及其大氣內(nèi)不同介質(zhì)上，一部分被吸收，另一部分則被反射，被反射的這部分太陽輻射到達(dá)衛(wèi)星表面，構(gòu)成了地球反照。地球反照在衛(wèi)星某一表面上的輻射能量密度為

式中：l為地球面元dAE到衛(wèi)星表面的距離；η為太陽對地球面元dAE的入射角；α1為沿l和地球面元dAE法線間的夾角；α2為沿l和衛(wèi)星表面法線間的夾角。dAE的積分區(qū)域?yàn)樾l(wèi)星表面對有太陽照射地球表面的可視范圍。

1.4 衛(wèi)星的可見光反射能量計(jì)算

在衛(wèi)星表面為漫反射的情況下，衛(wèi)星某一表面在Δλ為可見光波段的反射亮度為

式中：Li為衛(wèi)星第i個(gè)表面的輻射亮度；ΔAi為第i個(gè)表面的面積；d為星地距離；θi為衛(wèi)星第i個(gè)表面的法線與衛(wèi)星和接收點(diǎn)連線的夾角；θ′為接收表面法線方向與星地連線的夾角。

式中：ρΔλ為衛(wèi)星某一表面在可見光波段的反射率；kΔλ－sun為在可見光波段的太陽輻射能量占太陽全波段輻射能量的比值；其他參數(shù)含義同上。

衛(wèi)星在地球上某一點(diǎn)產(chǎn)生的輻射照度，通過推導(dǎo)可得：

圖1給出了反射率為0.5時(shí)衛(wèi)星本體6個(gè)漫反射表面的可見光反射亮度在衛(wèi)星運(yùn)行5個(gè)周期內(nèi)隨時(shí)間的變化曲線。比較衛(wèi)星不同側(cè)面的反射亮度隨時(shí)間的變化曲線可以看出，衛(wèi)星不同側(cè)面的可見光反射亮度隨時(shí)間的變化是不一樣的。這主要是由于衛(wèi)星在不同時(shí)刻每個(gè)面所接收到的太陽直接照射和地球反照是不一樣的。進(jìn)一步比較衛(wèi)星表面接收太陽直接照射與地球反照的大小可知，衛(wèi)星部分表面接收到的太陽直接輻射要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于地球的反照，部分表面接收到的太陽直接輻射與接收到的地球反照相當(dāng)，這主要是因?yàn)樾l(wèi)星的不同表面和太陽光的夾角不同，和地球光照區(qū)的空間關(guān)系也不同，相關(guān)的空間關(guān)系取決于軌道參數(shù)及衛(wèi)星在軌道上的位置。

圖1 衛(wèi)星本體各個(gè)表面的可見光反射亮度Fig.1 Reflection luminance on satellite body surface

圖2 給出了反射率為0.5時(shí)太陽能帆板2個(gè)表面的可見光亮度隨時(shí)間的變化。由圖可見，太陽能帆板的向陽表面反射亮度在出了陰影區(qū)后即達(dá)到一個(gè)最大值，之后隨著時(shí)間的變化其并不是一個(gè)常數(shù)，先是逐漸降低，直到一個(gè)極小值，之后又逐漸升高，這主要是由于太陽能帆板表面始終垂直于太陽光，故接收到的太陽直射是一個(gè)常數(shù)；而太陽能帆板與地球的角度關(guān)系卻在時(shí)刻變化，接收到的地球日照區(qū)的反照也時(shí)刻在變化。剛出陰影區(qū)時(shí)接收到的地球反照最大，當(dāng)處于太陽和地心連線時(shí)接收到的反照為0時(shí)，于是出現(xiàn)了如圖所示的變化。另外太陽能帆板的背陽面雖然接收不到太陽直接輻射，但還是會(huì)有一定的亮度，這顯然是由地球反照造成的。

圖2 衛(wèi)星太陽能帆板2個(gè)面的可見光反射亮度Fig.2 Reflection luminance on satellite solar panel surface

圖3給出了反射率為0.5時(shí)衛(wèi)星處于光照區(qū)的可見光反射強(qiáng)度空間分布圖。由圖可以看出，在面向太陽的方向衛(wèi)星的可見光強(qiáng)度可達(dá)1 200 W／sr。

圖3 某時(shí)刻衛(wèi)星可見光反射強(qiáng)度空間分布圖Fig.3 Reflection intensity distribution of satellite

2 衛(wèi)星星等的計(jì)算

由于目標(biāo)在可見光波段的特性可用眼睛直接觀測或通過光學(xué)系統(tǒng)觀測，因此如何描述針對人眼觀測的衛(wèi)星可見光特性也是一個(gè)重要的問題，這就涉及到光度量。在天文學(xué)中，通常用視星等（可簡稱為“星等”）來描述所感覺到的天體發(fā)光的明亮程度。因此也可用星等來描述衛(wèi)星的可見光特性。

星等的測算方法：對于兩顆星體，如果其星等分別為m和m0（m＞m0），他們的亮度分別為E和E0，其亮度比率為［8］

兩邊取對數(shù)并取0等星的亮度E0＝1，則有：

此式即普森公式。普森公式表明，只要有明確的0等星和它的標(biāo)準(zhǔn)亮度，就可以根據(jù)所測得的天體亮度計(jì)算其星等。星等越大，則星體越暗，其中太陽的星等為－26.74。同時(shí)天文學(xué)家定義0等星在地球大氣層外產(chǎn)生的光照度為2.089×10－6lm／m2。

由星等的測算方法可知，要計(jì)算衛(wèi)星的星等，首先要計(jì)算衛(wèi)星在地面所產(chǎn)生的光照度，然后將其與0等星的照度比較，進(jìn)而求得衛(wèi)星的星等。衛(wèi)星在地面產(chǎn)生的光照度，除了與太陽對衛(wèi)星的照射及衛(wèi)星的高度有關(guān)外，還必然與衛(wèi)星的光譜反射率密切相關(guān)。對于衛(wèi)星整體在某一點(diǎn)產(chǎn)生的光譜照度，可以表示為

根據(jù)輻射度量與光度量的關(guān)系，可得衛(wèi)星整體在某一點(diǎn)產(chǎn)生的光照度為

式中：Km＝683lm／W，為最大光譜光視效能值；V（λ）為光譜光視效率，它是一個(gè)與人眼視覺刺激有關(guān)的量，其曲線如圖4所示。V（λ）通常適應(yīng)于亮度為幾Cd／m2以上的環(huán)境，稱為明視覺光譜光視效率；如果亮度為百分之幾Cd／m2以下的環(huán)境，則光譜光視效率曲線變?yōu)閂′（λ），稱為暗視覺光譜光視效率曲線。顯然光譜光視效率與人眼所處環(huán)境的亮度水平有關(guān)。如果是在地面上觀測衛(wèi)星，則可能受到觀測時(shí)間與觀測條件的影響，根據(jù)實(shí)際情況可能會(huì)選擇不同的光譜光視效率曲線。

圖4 光譜光視效率曲線Fig.4 Curve of spectral luminous efficiency

由于V（λ）沒有解析表達(dá)式，故實(shí)際計(jì)算中都是采用數(shù)值方法［9］：

如果考慮大氣的衰減，則只要把上式中的EV修正為

式中τ（λi）為在波長為λi處的大氣透過率。

如果衛(wèi)星表面在可見光波段可視為灰體，即衛(wèi)星在可見光波段的光譜反射率為一常數(shù)，由于衛(wèi)星的可見光無論是來自太陽的直接照射還是來自地球的反照，都是源于太陽的可見光，衛(wèi)星在可見光波段的光譜特性應(yīng)與太陽光譜特性相同。此時(shí)可避開光度量與輻射度量之間復(fù)雜的變換關(guān)系，而可用一種簡便的方法計(jì)算衛(wèi)星的星等。衛(wèi)星某一表面反射光亮度為

式中：ρV為衛(wèi)星某一灰體表面在可見光波段的反射率；EV－sundir為太陽輻射在衛(wèi)星表面上的光照度；EV－sunref為地球反照在衛(wèi)星表面上的光照度；其他參數(shù)含義同上。

對于衛(wèi)星整體在某一點(diǎn)產(chǎn)生的光照度，可以表示為

由上式可見，灰體表面衛(wèi)星的星等只取決于反射率以及一些相關(guān)的幾何量。如果考慮大氣的衰減，設(shè)大氣在可見光波段的光譜透過率為常數(shù)τV，則上式修正為

式中d為衛(wèi)星到觀測點(diǎn)的距離，對于星下點(diǎn)，顯然d等于衛(wèi)星的高度h。

實(shí)際上大氣在可見光波段的透過率與波長有一定關(guān)系，但由于大氣本身的復(fù)雜多變，故在一定估算精度范圍內(nèi)計(jì)算時(shí)，可以認(rèn)為大氣在可見光波段的透過率近似為一常數(shù)。

由灰體衛(wèi)星星等計(jì)算式可見，灰體衛(wèi)星的星等主要取決于以下一些因素：衛(wèi)星的表面反射率、衛(wèi)星的高度、衛(wèi)星的面積與姿態(tài)等。

圖5給出了反射率為0.5時(shí)衛(wèi)星星等在衛(wèi)星運(yùn)行5個(gè)周期內(nèi)隨時(shí)間的變化曲線。其中的空白部分表示衛(wèi)星處于陰影區(qū)，不可見。由圖可見，在不同時(shí)刻衛(wèi)星運(yùn)行在不同的位置時(shí)，在星下點(diǎn)觀測到的星等是不一樣的，而且變化非常劇烈，這主要是由于衛(wèi)星在不同位置反射到星下點(diǎn)的太陽輻射和地球反照差異非常大的緣故。

圖5 星下點(diǎn)觀測的衛(wèi)星星等Fig.5 Satellite apparent magnitude observed from subastral point

3 結(jié)束語

衛(wèi)星的星等計(jì)算涉及到衛(wèi)星的軌道參數(shù)、衛(wèi)星形狀和表面光譜反射特性、觀測點(diǎn)以及人眼的視覺特性等復(fù)雜因素，目前一般主要靠測量來獲得相關(guān)衛(wèi)星星等。本文從衛(wèi)星軌道參數(shù)出發(fā)，計(jì)算了衛(wèi)星的反射光能量隨軌道運(yùn)行的變化特征，并推導(dǎo)出計(jì)算衛(wèi)星星等的一般公式，建立了衛(wèi)星星等的通用計(jì)算模型，并以表面為灰體的衛(wèi)星為例，計(jì)算了在星下點(diǎn)觀測時(shí)，其星等隨運(yùn)行時(shí)間的變化，由計(jì)算結(jié)果可以看出，衛(wèi)星星等在日照區(qū)運(yùn)行過程中，不同星下點(diǎn)觀測到的星等差異可達(dá)5個(gè)等級之多。文中的星等建模具有一定的工程實(shí)用價(jià)值，利用本星等計(jì)算模型，可為觀測跟蹤衛(wèi)星所需要的光學(xué)系統(tǒng)等硬件條件提供一定的設(shè)計(jì)指導(dǎo)。

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