雙螺桿泵螺桿成型銑刀廓形設(shè)計(jì)與研究

楊妙妙，董黎敏，王 建，史津平，郭津津

(天津理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300384)

0 前言

雙螺桿泵的核心部件是一對(duì)螺桿轉(zhuǎn)子，轉(zhuǎn)子的螺旋頭數(shù)通常有單頭和雙頭兩種［1］。雙螺桿泵螺桿轉(zhuǎn)子的型線由點(diǎn)、直線及多段曲線組合而成，目前一般采用無(wú)瞬心包絡(luò)法設(shè)計(jì)盤形銑刀，用盤形銑刀加工螺桿轉(zhuǎn)子時(shí)，刀具軸線與轉(zhuǎn)子軸線空間交錯(cuò)，兩者有一夾角，盤形銑刀繞其中心軸旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子坯軸繞軸心線旋轉(zhuǎn)并沿軸向移動(dòng)，盤形銑刀與轉(zhuǎn)子坯軸所形成的復(fù)合運(yùn)動(dòng)的結(jié)果是剔除了轉(zhuǎn)子坯軸的多余材料而形成所要得到的螺旋曲面［2］。本文基于對(duì)雙頭雙螺桿泵螺桿形狀的分析建立了螺桿螺旋曲面方程;利用成形銑削原理和坐標(biāo)變換理論，從成形銑刀與螺桿工件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系出發(fā)，建立了基本的銑刀刀刃廓形方程。在設(shè)計(jì)刀具的過程中，不可避免需要求解隱函數(shù)和三角超越方程等復(fù)雜的關(guān)系式。文中給出了刀具型面計(jì)算式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用 Matlab軟件對(duì)設(shè)計(jì)刀具過程中的復(fù)雜數(shù)學(xué)關(guān)系式求解的方法;并給出以具體型線為實(shí)例的計(jì)算數(shù)據(jù)。該方法是實(shí)現(xiàn)螺桿型面銑削刀具設(shè)計(jì)的快速準(zhǔn)確求解計(jì)算的一種有效方法。

1 成形銑削原理

當(dāng)在專用銑床上加工螺旋面時(shí)，工件以螺旋參數(shù)作螺旋運(yùn)動(dòng)，而銑刀則繞著自身的軸線作旋轉(zhuǎn)切削運(yùn)動(dòng)。所以螺旋槽是在刀具回轉(zhuǎn)面與工件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)作用下形成的。用成形銑刀加工螺桿螺旋槽時(shí)刀具和工件的相對(duì)位置如圖1所示。

圖1 刀具與工件相對(duì)位置Fig.1 Relative position of cutter and workpiece

銑刀廓形和刀具與工件的相對(duì)位置決定螺旋槽的形狀。如果以工件為參照物，此時(shí)刀具繞著工件的軸線作螺旋運(yùn)動(dòng)，則工件上的螺旋面是刀具回轉(zhuǎn)面所形成的包絡(luò)面。如果把螺旋面看成是一系列導(dǎo)程相同的螺旋線，而銑刀為一系列半徑不同的銑刀圓，則螺旋面的一條螺旋線就是由銑刀上的一個(gè)銑刀圓切削形成的，如圖2所示。

圖2 銑刀圓的包絡(luò)線Fig.2 Envelope of milling cutter

在加工過程中，已加工出的螺旋面與銑刀的回轉(zhuǎn)面之間始終存在一條相切于兩個(gè)面的空間曲線，稱為接觸線。銑刀廓形計(jì)算的關(guān)鍵就是求解此接觸線。

2 銑刀廓形計(jì)算

2.1 齒形與齒面方程式

在端平面上的齒形，如果沿其軸向移動(dòng)并繞軸線旋轉(zhuǎn)的話，即可得到轉(zhuǎn)子的齒面螺旋曲面。轉(zhuǎn)子齒形型線的方程式為

式中，t為齒曲線參數(shù)。

由式(1)可以得到螺旋曲面的方程，即齒面方程為

式中，θ為角度參數(shù)，表示母線繞z軸轉(zhuǎn)過的角度，順著z軸看，以順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)為正;P為螺旋參數(shù)，P=T/2π，表示母線繞著z軸轉(zhuǎn)過單位角度時(shí)，在軸線方向上移動(dòng)的距離。

2.2 刀具與工件坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

為了便于推導(dǎo)接觸方程，根據(jù)工件與成形銑刀的相對(duì)位置關(guān)系建立直角右手坐標(biāo)系，如圖3所示。在工件上建立坐標(biāo)系o-xyz，使其z軸與工件的軸線重合。在刀具上建立坐標(biāo)系o1-x1y1z1，z1軸與刀具的軸線重合。x軸與x1軸重合，且方向一致。以上兩個(gè)坐標(biāo)系是固定的，不隨工件和刀具運(yùn)動(dòng)。設(shè)兩坐標(biāo)系原點(diǎn)之間的距離為A，z軸與z1軸之間的夾角為Σ。

圖3 坐標(biāo)系關(guān)系圖Fig.3 Relative between coordinate systems

由圖3可知，從o坐標(biāo)系到o1坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換式為

2.3 接觸條件式

由于兩曲面相切接觸，根據(jù)空間解析幾何知識(shí)與運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，刀具回轉(zhuǎn)面與工件螺旋面的接觸點(diǎn)處，兩個(gè)曲面的公法線矢量與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度矢量垂直，可得接觸條件

如圖4所示，M(x，y，z)為兩曲面接觸線上的一點(diǎn)，則M點(diǎn)相對(duì)于兩坐標(biāo)系原點(diǎn)的矢徑為

圖4 接觸點(diǎn)處徑矢示意圖Fig.4 Radius vector of contact point

將式(6)帶入式(7)，得

M點(diǎn)隨刀具運(yùn)動(dòng)的線速度v2為

將式(4)和式(6)帶入式(9)，得

由接觸條件式(5)可知

由微分幾何的知識(shí)可知，曲面上任意一點(diǎn)M(x，y，z)的法線矢量可以表示為

式中，nx、ny、nz分別是曲面法線矢量的各軸分量。

由式(13)可推算出螺旋面的特征方程

該方程是螺旋曲面的一個(gè)重要性質(zhì)，表示螺旋面上任意一點(diǎn)處坐標(biāo)(x，y，z)與該點(diǎn)處法線的各軸分量(nx，ny，nz)及螺旋參數(shù)P之間的關(guān)系。

將式(7)、式(9)和式(13)代入式(11)，并通過螺旋面的特征方程式(14)得接觸方程為

式中，A、Σ和P都是常數(shù)，而其它值是關(guān)于參變數(shù)t和θ的函數(shù)，因此接觸方程是關(guān)于t和θ的方程。“+”號(hào)表示右旋，“－”表示左旋。

接觸條件式表示螺旋面與銑刀回轉(zhuǎn)面相切接觸的關(guān)系，通過解此方程得到的是螺旋槽端面廓形上的點(diǎn)成為接觸點(diǎn)時(shí)工件所轉(zhuǎn)過的角度θ。方程中只有一個(gè)未知數(shù)，但它是超越方程的形式，本文選擇牛頓迭代法對(duì)接觸條件式進(jìn)行求解。

2.4 銑刀回轉(zhuǎn)面廓形求解

將工件端面型線的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)(x0，y0，z0)，與各點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)代入到接觸方程式(15)，可求得工件端面上各點(diǎn)成為接觸點(diǎn)時(shí)需要轉(zhuǎn)過的角度θ;然后將坐標(biāo)值(x0，y0，z0)與此點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角θ代入螺旋面方程式(2)，可以得到螺旋面上接觸點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y，z)。因?yàn)橐蟮毒叩睦?，將一系列接觸點(diǎn)代入到坐標(biāo)系變換式(3)，得到接觸點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)(x1，y1，z1);最后由刀具廓形方程式(16)求得刀具回轉(zhuǎn)面的徑向截形。

3 基于Matlab的計(jì)算

3.1 螺桿型線曲線組成

如圖5所示，本文螺桿型線由ab、bc、cd、de、ef、fg、gh、hi、ij、jk、kl、la 等 12 段曲線組成，其中，ab段是從b點(diǎn)開始沿順時(shí)針方向滾動(dòng)形成的普通外擺線;bc段是以齒頂圓半徑為擺徑從b點(diǎn)開始沿逆時(shí)針方向滾動(dòng)形成的長(zhǎng)幅外擺線。利用Pro/E繪制出轉(zhuǎn)子三維嚙合圖如圖6所示。

3.2 Matlab求解方程

Matlab作為一款功能強(qiáng)大的計(jì)算平臺(tái)，現(xiàn)在已經(jīng)成為最為普遍的科學(xué)計(jì)算工具之一。本文利用其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)各方程的求解，以達(dá)到快速準(zhǔn)確地求出結(jié)果的目的。

圖5 螺桿端面型線Fig.5 Profile of screw end face

圖6 轉(zhuǎn)子3D立體嚙合圖Fig.6 3D drawing of rotor mesh

在用Matlab編制的程序求解接觸方程時(shí)，需要先使用ez-plot畫出扭轉(zhuǎn)角θ和型線參數(shù)t之間的t-θ關(guān)系圖，以ab擺線為例，得到t-θ關(guān)系，如圖7所示，在(－2π，2π)內(nèi)，橫坐標(biāo)t值對(duì)應(yīng)多個(gè)θ值，所以依據(jù)R最小原則，依圖選適當(dāng)?shù)牡踔郸?。

圖7 ab擺線型線參數(shù)t與扭轉(zhuǎn)角θ關(guān)系圖Fig.7 Relationship between the profile parameter t and the torsion angle θ of cycloid ab

通過Matlab程序計(jì)算將得到包含一系列離散的刀具刃形點(diǎn)(Ri，Zi)。利用Matlab編程繪制出刀具廓形圖，如圖8所示。方便進(jìn)一步利用Pro-E準(zhǔn)確地繪制出刀具的三維模型圖。

圖8 陰、陽(yáng)轉(zhuǎn)子刀具廓形圖Fig.8 Profiles of the male and female rotor cutters

4 結(jié)論

由于螺桿成形銑刀設(shè)計(jì)計(jì)算過程中涉及到隱函數(shù)和三角函數(shù)等非線性方程，在實(shí)際應(yīng)用中求解方程較為復(fù)雜且耗時(shí)，直接影響刀具設(shè)計(jì)的精度和效率。通過建立螺桿螺旋曲面方程，再利用成形銑削基本原理和坐標(biāo)變換理論，推導(dǎo)出銑刀刀刃廓形方程。利用了Matlab的科學(xué)計(jì)算優(yōu)勢(shì)，編制程序完成刀具的設(shè)計(jì)計(jì)算過程，保證了刀具設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性。

［1］李繼峰，鄭青春，郭津津，等.雙螺桿泵雙頭螺旋型線分析及其對(duì)流量影響［J］.重型機(jī)械，2013(1):55－58.

［2］王小明，羅芝華，楊志，等.基于Matlab的雙螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子盤形銑刀數(shù)字化設(shè)計(jì)方法［J］.機(jī)床與液壓，2012，40(15):84－86，114.

［3］李成松.加工螺旋曲面的盤形銑刀設(shè)計(jì)系統(tǒng)開發(fā)［D］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2011.

［4］趙春秀，劉建寧.螺桿加工成型銑刀廓形坐標(biāo)計(jì)算方法［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)，2008(6):69－70.

［5］王正林，龔純，何倩.精通MATLAB科學(xué)計(jì)算［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2009.

［6］宋超，殷國(guó)富.基于運(yùn)動(dòng)原理計(jì)算加工螺旋槽用成型盤銑刀刀具廓型線方法研究［J］.工具技術(shù)，2010，44(8):58－61.

［7］趙海暉，孟垂成.基于虛擬現(xiàn)實(shí)的螺桿泵設(shè)計(jì)與仿真［J］.石油礦場(chǎng)機(jī)械，2007(08).

［8］陳明戰(zhàn)，曹剛，孫新艷，等.螺桿泵水力特性檢測(cè)曲線推導(dǎo)及應(yīng)用［J］.石油礦場(chǎng)機(jī)械，2012(11).