例談中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的構(gòu)造法

祝永華

【摘要】構(gòu)造法是一種重要而靈活的思維方式，更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的有效途徑.解題中的構(gòu)造法是指根據(jù)題目條件的結(jié)構(gòu)特征，通過直覺觀察、聯(lián)想及猜想等思維活動，想象到各種知識間的內(nèi)在聯(lián)系或形式上的某種相似性，有目的地構(gòu)造特定的數(shù)學(xué)模型，從而把原命題轉(zhuǎn)化為與之等價的命題，通過對它的討論而使原命題得到解決.本文主要針對中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的這一常用方法進(jìn)行了論述.同時，結(jié)合具體實例對構(gòu)造法中常見的幾種類型：構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造向量、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造幾何圖形給予了較詳盡的論述.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造方程；構(gòu)造函數(shù)；構(gòu)造向量；構(gòu)造數(shù)列；構(gòu)造幾何圖形

解決數(shù)學(xué)問題時，常規(guī)的思考方式是由已知到未知的定向思維.但有些問題按這樣的思維方式來尋求解決問題的途徑卻比較困難，甚至無從下手.這種情況下，經(jīng)常要求我們改變思維方向，換一個角度去思考，找到一條繞過障礙的新途徑.構(gòu)造法就是這樣的手段之一.

所謂構(gòu)造法是指當(dāng)解決某些數(shù)學(xué)問題使用通常辦法按定式思維難以奏效時，應(yīng)從問題的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，進(jìn)行廣泛聯(lián)想，構(gòu)造出一個與條件或問題相關(guān)的數(shù)學(xué)命題，實際問題得以轉(zhuǎn)化，從而解決問題的方法.

構(gòu)造法具有以下特點：

（1）構(gòu)造法是一種通過構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對象使原問題得以轉(zhuǎn)化，從而解決問題的一種方法.它與數(shù)學(xué)變換方法具有某種相似性.

（2）構(gòu)造法解決問題的過程比較直觀，它不僅能斷定某種數(shù)學(xué)對象的存在，而且能按一定方式在有限步驟內(nèi)具體找到它.

（3）構(gòu)造法解決問題具有很大的靈活性，針對某一具體問題，如何進(jìn)行構(gòu)造，這與個體的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗都密切相關(guān).

正由于構(gòu)造法的這些特點與所要求的解題轉(zhuǎn)化過程很好地吻合，構(gòu)造法就成為解題的主要方法之一，成為數(shù)學(xué)家常用的解決問題的思想方法，并在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.下面我們就結(jié)合實例具體地給予討論，以期能給讀者一些有益的啟示.

一、構(gòu)造方程

有些數(shù)學(xué)問題未必是方程問題，然而我們可以構(gòu)造輔助方程，通過對方程的根與系數(shù)的關(guān)系、判別式、根的定義等的利用，使問題得以解決.

從上述諸多例題中，我們可以體會到構(gòu)造法解題，不僅需要有扎實廣博的基礎(chǔ)知識，而且必須有敏銳的觀察能力.由此及彼的聯(lián)想能力和轉(zhuǎn)化遷移的創(chuàng)造能力.同時，用構(gòu)造法解題也是提高解題水平，激發(fā)主體學(xué)習(xí)興趣的一種妙法，使之能在較單調(diào)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體會到一點數(shù)學(xué)的奇異之美、方法之美.然而，更重要的是，它在培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，尤其是創(chuàng)造性思維能力方面有其特殊的功效.如歷史上許多著名的數(shù)學(xué)家，諸如歐幾里得、高斯、歐拉、拉格朗日、康托等人，都曾用此法成功地解決過數(shù)學(xué)中的難題，為數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展作出了重大的貢獻(xiàn)，從而推動數(shù)學(xué)巨峰的不斷向前發(fā)展.既然構(gòu)造法如此重要，我們在解題中不僅要多利用它，而且要善利用它，即做到：細(xì)觀察、善類比、多聯(lián)想、勤實踐、善總結(jié)、廣積累、常反思.