一個(gè)格點(diǎn)最短路徑問(wèn)題的思考

金曉陽(yáng)

【摘要】將平面格點(diǎn)最短路徑問(wèn)題，放在平面直角坐標(biāo)系中研究比較便捷.本文用三種不同的方法解決了一種平面格點(diǎn)最短路徑問(wèn)題，進(jìn)而將問(wèn)題推廣到空間情形.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究，最終成功推廣了組合數(shù)性質(zhì).

【關(guān)鍵詞】

格點(diǎn)；最短路徑；概率；組合數(shù)性質(zhì)

圖一格點(diǎn)最短路徑問(wèn)題是十分有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.它與高中數(shù)學(xué)中的排列組合、概率等概念有很大關(guān)聯(lián)，讓我們先來(lái)做一道這樣的問(wèn)題：

例1 如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中有一動(dòng)點(diǎn)P，t0時(shí)刻位于原點(diǎn)處，之后每一秒內(nèi)，點(diǎn)P沿x軸正方向或y軸正方向運(yùn)動(dòng)一個(gè)單位，兩種運(yùn)動(dòng)方式的概率相等.請(qǐng)問(wèn)6秒后，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了6個(gè)單位的路程，到達(dá)（3，3）的概率為多少？

分析：由于整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程可能的路徑即基本事件數(shù)是有限的，且向右運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位與向上運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位為等可能事件，即每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等，故該模型符合古典概型.

圖二解法一 點(diǎn)P到達(dá)某個(gè)格點(diǎn)之前，必然經(jīng)過(guò)與該格點(diǎn)相鄰的左方一個(gè)格點(diǎn)或下方一個(gè)格點(diǎn)，即到達(dá)某格點(diǎn)的最短路徑數(shù)等于到達(dá)左方與之相鄰格點(diǎn)的最短路徑數(shù)和到達(dá)下方與之相鄰格點(diǎn)的最短路徑數(shù)之和.若到達(dá)x軸上的某個(gè)格點(diǎn)，之前必然由原點(diǎn)O開(kāi)始不斷沿著x軸正方向運(yùn)動(dòng)，這是唯一的選擇，故到達(dá)x軸上每個(gè)格點(diǎn)的最短路徑數(shù)都是1，同理可得，到達(dá)y軸上每個(gè)格點(diǎn)的最短路徑數(shù)也都是1.由此可計(jì)算出到達(dá)任意格點(diǎn)的最短路徑數(shù).

6秒后，點(diǎn)P一共移動(dòng)了6個(gè)單位，可能到達(dá)（6，0）、（5，1）、（4，2）、（3，3）、（2，4）、（1，5）、（0，6），可由以上方法求出6秒后運(yùn)動(dòng)到這些格點(diǎn)的最短路徑條數(shù)（如圖二所示），這些路徑中任意兩條出現(xiàn)的概率相等.

由此，我們成功地推廣了組合數(shù)性質(zhì).