蘇教版職高數(shù)學(xué)平面向量教學(xué)探究

張紹宏

平面向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中應(yīng)用很廣，在解析幾何里的應(yīng)用更為直接，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具.在教學(xué)中要求學(xué)生了解向量豐富的實際背景，理解平面向量的運算及坐標(biāo)運算的意義，能用向量語言和方法表述解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力.

這一章的內(nèi)容概念較多，而且比較抽象，但大都有物理上的背景來源，又與圖形有密切的聯(lián)系，因而其優(yōu)越性相當(dāng)明顯，恰當(dāng)?shù)慕膛c學(xué)，不僅不索然無味，反而生動有趣，更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的極佳機(jī)會.

一、平面向量的概念

本節(jié)從向量的實際背景——力、位移等矢量引出平面向量的概念，引發(fā)學(xué)生思考數(shù)量與向量這兩個概念的區(qū)別，確定了平面向量的兩個要素（大小和方向），研究了平面向量相等、相反、平行等關(guān)系.在本節(jié)教學(xué)中，弱化了自由向量的概念，讓學(xué)生通過探究、觀察、類比、實踐等方式，讓學(xué)生感受向量在保持大小和方向均不變的情況下可以自由移動這一事實.例如，如圖，在4×5方格紙中有一個向量AB，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與AB相等的向量有多少個？與AB長度相等且共線的向量有多少個？（AB除外）

在教學(xué)過程中要注重學(xué)生動手能力的培養(yǎng)，通過“練”的方式鞏固對概念的理解.例如，在談到天津相對于北京的位置時，我們說，“天津位于北京東偏南50度，114 km”，如圖所示，點A表示北京的位置，點B表示天津的位置，那么向量AB=“東偏南50度，114 km”就是天津相對于北京的位置.

通過探究、發(fā)現(xiàn)、歸納、類比等方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量在現(xiàn)實生活中的意義和作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣與熱情，為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

二、平面向量的加法、減法和數(shù)乘向量

通過實例引入，讓學(xué)生結(jié)合對平面向量概念的理解感受不同方式的位移對結(jié)果的影響，初步體會向量相加的概念，引發(fā)思考，引出新知.例如，2008年，上海浦東國際機(jī)場和臺北桃園國際機(jī)場首次開通了上海至臺北的直航，既縮短了距離，又節(jié)約了時間.民航客機(jī)的每次飛行都可以看成是一次位移.直航前由上海（點A）到臺北（點C），需先經(jīng)香港（點B），再到臺北，位移是由A到B，再由B到C；直航后由上海直接到臺北，位移是A到C.（1）用圖形表示每一次向量的位移.（2）飛機(jī)由上海飛往香港，再由香港飛至臺北位移的結(jié)果，與飛機(jī)直接由上海飛至臺北的位移結(jié)果相同嗎？得出結(jié)論AB+BC=AC.

比較平面向量的加法與減法運算法則，在對實際背景思考的基礎(chǔ)上引出和向量的三角形法則、平行四邊形法則，學(xué)生從實踐、思考中發(fā)現(xiàn)兩種法則之間的區(qū)別與聯(lián)系，比較得出用代數(shù)求兩個向量的和向量的特點.通過類比、實踐感受用代數(shù)式和三角形法則求兩個向量的差向量，體驗數(shù)形結(jié)合的思想方法.在學(xué)習(xí)向量數(shù)乘部分內(nèi)容時，教材通過讓學(xué)生思考交流一個實際問題，讓學(xué)生感受平面向量數(shù)乘運算的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生識記向量數(shù)乘運算的概念，會用代數(shù)式表示向量的數(shù)乘運算.

三、平面向量的坐標(biāo)表示

通過類比平面內(nèi)點的坐標(biāo)表示引發(fā)學(xué)生對直角坐標(biāo)系內(nèi)平面向量坐標(biāo)表示的思考，通過實例感受平面向量的直角坐標(biāo)的含義，會在直角坐標(biāo)系中用直角坐標(biāo)表示平面向量.

例1 寫出下列向量的坐標(biāo)表示：（1）a=5i-3j；（2）b=-5i；（3）c=πj.通過本題，鞏固定義，會求所給向量的直角坐標(biāo)，會通過平面向量的直角坐標(biāo)求模.

例2 如圖，寫出向量a，b，c，d，e的坐標(biāo)，并求它們的模.

通過例2提升學(xué)生的讀圖能力、數(shù)形結(jié)合能力，進(jìn)一步體會向量相等的實質(zhì)，通過學(xué)生動手作圖的實踐，引導(dǎo)學(xué)生思考平面向量直角坐標(biāo)運算問題.能根據(jù)所給向量的直角坐標(biāo)進(jìn)行加、減、數(shù)乘運算.識記已知兩點坐標(biāo)求向量直角坐標(biāo)的方法，識記坐標(biāo)表示的向量之間相等、相反、平行（共線）的條件與判定.發(fā)展學(xué)生的觀察能力、計算能力、數(shù)據(jù)處理能力及數(shù)形結(jié)合能力等.

四、平面向量的內(nèi)積

通過學(xué)生對初中物理中所學(xué)過的“功”模型的思考，引出平面向量內(nèi)積的概念，運用類比的方法幫助學(xué)生記住內(nèi)積公式的形式.能運用公式求兩個向量的內(nèi)積，通過問題的設(shè)定、思考、解答得到運用平面向量的坐標(biāo)求內(nèi)積的公式，識記平面向量夾角的定義，感受向量夾角的范圍與向量位置之間的關(guān)系.學(xué)會求坐標(biāo)表示的向量的內(nèi)積，能求給定兩個向量的?；蜃鴺?biāo)時的夾角，運用坐標(biāo)判定向量是否垂直.初步讓學(xué)生體驗類比、化歸的數(shù)學(xué)思想.

五、教學(xué)建議

1.教師在教學(xué)過程中應(yīng)尊重學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ)，通過從學(xué)生所熟悉的情景或背景說起，引出問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情；通過讓學(xué)生實踐、操作等教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計，激起學(xué)生學(xué)好平面向量的信心和決心；通過讓學(xué)生思考、交流等教學(xué)手法的運用，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等方面的能力.

2.由于本章各部分內(nèi)容新舊知識之間的關(guān)聯(lián)度較大，教師在教學(xué)過程中應(yīng)盡可能結(jié)合向量的實際應(yīng)用提出問題、分析問題、解決問題，在講解過程中應(yīng)及時檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，關(guān)注代數(shù)方法與幾何方法之間的區(qū)別與聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)生對掌握方法、提升能力方面的訓(xùn)練，為其終身學(xué)習(xí)奠定能力基礎(chǔ).

3.引導(dǎo)學(xué)生通過類比、歸納、綜合等方法的運用，對問題進(jìn)行有條理的思考、判斷、推理和求解，提高學(xué)生分析與解決問題的能力、選擇合適的解題模型能力，為其今后更好地學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

[1]馬復(fù)，王巧林，主編.數(shù)學(xué)·基礎(chǔ)模塊（下冊）.南京：江蘇教育出版社，2011.

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[3]汪曉華，朱青鋒.關(guān)于“平面向量”教學(xué)的幾點構(gòu)想與嘗試[J]. 數(shù)學(xué)通報，2003（8）.