圖論在經(jīng)濟網(wǎng)絡(luò)中的簡單應(yīng)用

許英等

【摘要】在廣泛的經(jīng)濟現(xiàn)象中網(wǎng)絡(luò)起著很重要的作用，盡管這樣，標準的經(jīng)濟理論很少明確地考慮經(jīng)濟網(wǎng)絡(luò).然而，在經(jīng)濟理論中有一個重大創(chuàng)新，就是使用從圖論所產(chǎn)生的方法去描述和研究經(jīng)濟網(wǎng)絡(luò)中經(jīng)濟主體之間的關(guān)系.最近的發(fā)展使得關(guān)于經(jīng)濟網(wǎng)絡(luò)的理論研究有了快速的增長.在這篇文章中，我們考慮了一類經(jīng)濟網(wǎng)絡(luò)的效用問題，當改變其中一個主體的鄰居的時候，網(wǎng)絡(luò)的效用變大.

【關(guān)鍵詞】效用；經(jīng)濟網(wǎng)絡(luò)；譜半徑

1.研究背景

在經(jīng)濟學和其他社會科學中，不同主體（Agents）間的交互對于產(chǎn)出是十分重要的.近年來，很多對合作交互作用的研究都采用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)來建模.在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，主體用頂點（Node）表示，主體之間的特定關(guān)系用邊（Edge）來表示.邊的連接對個體和整體都有影響，例如：連接好的經(jīng)理在組織中有更好的績效，工人獲得更多的工資，企業(yè)采用合作來獲得競爭優(yōu)勢；連接好的國家利用關(guān)系在特定的環(huán)境條件下獲得更好的談判條款.近年來有大量的文獻在研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的效用問題.

社會網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中各條邊表示主體之間的社會關(guān)系，比如友情.這些關(guān)系帶來了幫助、信息等類似的福利，但也付出了一定的成本.另外，各參與人還得到了間接關(guān)系的好處.于是擁有“朋友的朋友”會產(chǎn)生一定的間接福利，盡管它比來自擁有朋友的直接福利的價值要小.同樣“朋友的朋友的朋友”也是如此，等等.這樣的福利隨著朋友的距離的增加而下降.用位于0與1之間的一個系數(shù)δ表示這種下降，它表示來自直接關(guān)系以及冪被提高的較遠關(guān)系的福利.例如，在一個主體1連接到主體2，主體2連接到主體3，主體3連接到主體4的網(wǎng)絡(luò)中，主體1從與主體2的直接連接中獲得了福利δ，從和主體3的間接連接中獲得了福利δ2，而從和主體4的間接連接中獲得了福利δ3. 這樣的四個主體三條邊的網(wǎng)絡(luò)的盈利如圖1所示.因為δ<1，所以來自間接連接比直接連接的福利要低，但各主體花費的僅僅是它們的直接關(guān)系的成本.

3.小 結(jié)

圖論是一個很好的代數(shù)工具，在很多學科都有著廣泛的應(yīng)用.近十年來，復雜網(wǎng)絡(luò)的主要研究方法都是基于圖論的理論和方法開展的，并已經(jīng)取得了很多可喜的成果. 當前圍繞復雜網(wǎng)絡(luò)的研究主要集中在下面四個方面：

1.網(wǎng)絡(luò)的拓撲特性的分析與相關(guān)特征量的計算.

2.實際網(wǎng)絡(luò)拓撲特征的實證研究和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究.

3.各種復雜網(wǎng)絡(luò)形成模型的提出和改進.

4.基于復雜網(wǎng)絡(luò)上的非線性動態(tài)系統(tǒng)的演化情況及其應(yīng)用的研究，包括網(wǎng)絡(luò)上的同步問題.

但是，到目前為止的研究狀況仍然還是基于理論研究，計算機數(shù)值模擬方法多于數(shù)學分析，這就對網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學研究提出了新問題和新挑戰(zhàn)，人們期待著有一些有力的數(shù)學分析手段能基本解決上述這些問題.

在本文中，我們對于利用圖論解決經(jīng)濟網(wǎng)絡(luò)問題還只是初步的研究，怎么樣把圖論和經(jīng)濟網(wǎng)絡(luò)很好的結(jié)合，或者說如何把圖論應(yīng)用到經(jīng)濟網(wǎng)絡(luò)上解決很多實際的問題還是需要我們進一步的研究.

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