數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)方式的思考與實(shí)踐

陸吉杭

摘 要：隨著新課程研究的深入，數(shù)學(xué)知識(shí)材料的呈現(xiàn)在知識(shí)表征和課堂組織中的作用越來越突出，也顯示了越來越重要的理論與實(shí)踐價(jià)值。在實(shí)際課堂教學(xué)中，只是數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單堆砌，缺少最重要的學(xué)生自我思維的展開與同化過程；有必要對(duì)“優(yōu)化知識(shí)呈現(xiàn)方式”進(jìn)行內(nèi)涵思考，追求“知識(shí)呈現(xiàn)方式”的效度。在實(shí)踐過程中，通過“塊狀式”“串聯(lián)式”“開放式”“布白式”等方式呈現(xiàn)過程形態(tài)的學(xué)習(xí)材料。在平時(shí)的課堂教學(xué)中，教師如果能根據(jù)自身的特點(diǎn)，采納這些實(shí)踐策略進(jìn)行嘗試與落實(shí)，定能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)的實(shí)際有效性，更要關(guān)注到課堂教學(xué)的內(nèi)涵，關(guān)注到學(xué)生在課堂上的思維參與度，極大地促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；呈現(xiàn)方式；思考總結(jié)一、問題的提出

隨著新課程研究的深入，數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)在知識(shí)表征和課堂組織中的作用越來越突出。數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中，尤其是在新課程改革的時(shí)代背景以及當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)形式化傾向嚴(yán)重的現(xiàn)實(shí)背景下，其意義顯得更為重要。

數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，它不僅是一種工具，也是一種思維模式；不僅是一種知識(shí)，也是一種素養(yǎng)。數(shù)學(xué)是具有較強(qiáng)概括性、高度抽象性和嚴(yán)密邏輯性的。因此，數(shù)學(xué)知識(shí)的呈現(xiàn)對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，更具有針對(duì)性和現(xiàn)實(shí)性，因?yàn)楦爬ㄐ缘臄?shù)學(xué)需要以學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)來實(shí)現(xiàn)有效表達(dá)；抽象性的數(shù)學(xué)需要以學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)來實(shí)現(xiàn)具體化；邏輯性的數(shù)學(xué)需要以學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)來體現(xiàn)程序化。借數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)與研究，可以實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)活動(dòng)的實(shí)際有效性，更關(guān)注到課堂的內(nèi)涵，關(guān)注到學(xué)生在課堂上的思維參與度。

在一次教研課中，經(jīng)歷了如下一幕：

【案例1】“圓的認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段：

教學(xué)圓的認(rèn)識(shí)時(shí)，在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下利用CAI課件輔助教學(xué)。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，點(diǎn)擊網(wǎng)頁上的相關(guān)鏈接，進(jìn)入各部分學(xué)習(xí)內(nèi)容，進(jìn)行觀察、討論，學(xué)習(xí)本課知識(shí)。

屏幕上顯示大小不同的圓形物體（鐘面、車輪、交通標(biāo)志、呼啦圈等），教師指導(dǎo)學(xué)生點(diǎn)擊鼠標(biāo)，讓每個(gè)圖形變成大小不同的圓。

學(xué)生點(diǎn)擊“圓的形成過程”，屏幕展示圓形成過程的動(dòng)畫：一只小狗脖子上系著一根繩子拴在木樁上，小狗叫著繞木樁跑一周回到起點(diǎn)，小狗跑動(dòng)的軌跡就是圓。

學(xué)習(xí)用圓規(guī)畫圓的方法。學(xué)生點(diǎn)擊，電腦動(dòng)畫演示圓規(guī)畫圓的過程，一腳固定，一腳旋轉(zhuǎn)。然后，學(xué)生自己嘗試畫圖。

認(rèn)識(shí)圓的各部分名稱后，電腦動(dòng)態(tài)展示圓的各部分：圓心、直徑、半徑，并通過動(dòng)畫演示直徑、半徑的條數(shù)和兩者的關(guān)系。

從以上案例可以看出，執(zhí)教者著力于呈現(xiàn)大量生動(dòng)形象、具體的感知素材，精心設(shè)計(jì)制作了課件，期待能調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感觀參與學(xué)習(xí)，從而有效地認(rèn)識(shí)圓，發(fā)現(xiàn)圓的相關(guān)知識(shí)?？墒亲屑?xì)琢磨，我們卻不難發(fā)現(xiàn)，教師呈現(xiàn)的許多學(xué)習(xí)材料，只是一種“簡(jiǎn)單堆砌”，沒有能夠發(fā)揮更徹底的作用。學(xué)生只是在教師的指令下，一步一步被動(dòng)地去打開學(xué)習(xí)材料，接受計(jì)算機(jī)的變相灌輸。表面上，學(xué)生在短時(shí)間里獲得了較多的知識(shí)，而實(shí)質(zhì)上正是在學(xué)生最需要?jiǎng)幽X思考的時(shí)候，缺少了最重要的自我思維的展開與同化過程，這種披上了“高科技”外衣的知識(shí)所帶來的負(fù)面影響與灌輸式教學(xué)并無差異。一句話，不是僅僅呈現(xiàn)了“學(xué)習(xí)材料”就可以的，還應(yīng)有豐富的能力要素。

二、優(yōu)化知識(shí)呈現(xiàn)方式的實(shí)踐

“優(yōu)化知識(shí)呈現(xiàn)方式”著力于教師的教學(xué)行為，但是以學(xué)生的最終學(xué)習(xí)效果為歸宿。學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)的過程是圍繞著教師的教學(xué)理念、學(xué)習(xí)材料的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)情況不斷展開的教學(xué)活動(dòng)過程。學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)需要教師充分運(yùn)用其先進(jìn)課程觀和教學(xué)觀，對(duì)學(xué)習(xí)材料的知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)生學(xué)習(xí)的過程和經(jīng)歷進(jìn)行分析、解讀，更要在課堂教學(xué)過程中，發(fā)揮出教師的經(jīng)驗(yàn)和智慧，以期待學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)的更大效果。

1.“塊狀”式呈現(xiàn)

“塊狀”方式是指“把教科書中以橫向的‘點(diǎn)為單位的符號(hào)系統(tǒng)，按其內(nèi)在的類特征組成一個(gè)整體?！边@種結(jié)構(gòu)加工比較強(qiáng)調(diào)類知識(shí)結(jié)構(gòu)間的橫向關(guān)聯(lián)性，因?yàn)槟骋活愂挛镌诒徽J(rèn)識(shí)的過程中蘊(yùn)涵相同的思維方式，教學(xué)就可以打破“只見樹木，不見森林”的“點(diǎn)”狀模式，把具有類特征的內(nèi)容整合到一起，凸顯“點(diǎn)”狀知識(shí)背后的思維方式。以“塊狀”方式呈現(xiàn)，可以豐富學(xué)生對(duì)具有類結(jié)構(gòu)特征知識(shí)內(nèi)涵的整體認(rèn)識(shí)和結(jié)構(gòu)把握，提升學(xué)生的分類、概括、抽象的能力。

【案例2】“乘法分配律”教學(xué)片段：

在教學(xué)乘法分配律時(shí)，教師出示了這樣幾個(gè)學(xué)習(xí)材料。

（1）一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)5厘米，寬3厘米，周長(zhǎng)是多少？

學(xué)生列出算式：（5+3）×2；5×2+3×2；

老師追問這兩個(gè)算式結(jié)果怎樣？學(xué)生得出（5+3）×2=5×2+3×2。

（2）123×3可以用豎式計(jì)算：■

還可以這樣算：123×3=（100+20+3）×3

=100×3+20×3+3×3

=369

（3）一件上衣30元，一條褲子20元，買4套衣服共多少元？

這道題你能不能也列一個(gè)等式？（30+20）×4=30×4+20×4。

（4）客車、貨車從甲乙兩地相向開出，客車每小時(shí)行駛80千米，貨車每小時(shí)行駛100千米，經(jīng)過3小時(shí)相遇。甲乙兩地相距多少千米？

可以先求兩輛車每小時(shí)一共行駛多少千米，然后再求3個(gè)小時(shí)一共行駛多少千米：（100+80）×3；也可以分別求出客車、貨車3小時(shí)分別行駛多少千米，然后再求它們的和是多少：80×3+100×3；這兩個(gè)算式相等嗎？為什么相等？（100+80）×3=80×3+100×3。

通過“塊狀”方式呈現(xiàn)乘法分配律，學(xué)生很容易就能悟出乘法分配律的特征。長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算、三位數(shù)乘一位數(shù)、三套衣服的總價(jià)與客貨車3小時(shí)行的路程等，通過這些相似成分的“塊狀”呈現(xiàn)，學(xué)生悟出其計(jì)算的一般方法，有利于學(xué)生有效地掌握。這樣的教學(xué)就可能讓學(xué)生整體感知和體會(huì)到蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的思想和認(rèn)識(shí)事物的一般方法，并在把握一般的同時(shí)，又能對(duì)各種具體情形進(jìn)行比較，理解其特殊性。

2.“串聯(lián)”式呈現(xiàn)

課堂教學(xué)中，學(xué)生一個(gè)一個(gè)隨機(jī)地站起來回答問題，這種學(xué)生的資源的呈現(xiàn)是一種“串聯(lián)”的方式?！按?lián)”呈現(xiàn)資源的方式，既不利于學(xué)生對(duì)各種資源進(jìn)行比較、辨析，又不利于形成學(xué)生間的互動(dòng)和思維的碰撞；還容易導(dǎo)致個(gè)別學(xué)生的“替代思維”?；谏鲜稣J(rèn)識(shí)，教師要改變?cè)瓉淼摹按?lián)”呈現(xiàn)資源的方式，把具有代表性的不同層次思維的有價(jià)值的資源有目的地回收上來，“并聯(lián)”呈現(xiàn)在黑板上，實(shí)現(xiàn)資源的群體共享。讓學(xué)生先獨(dú)立思考再以小組方式進(jìn)行討論，在比較和辨析中感悟、體驗(yàn)，在比較和辨析中得到提升。

【案例3】“小數(shù)的加減法”教學(xué)片段：

教師提出問題：12.4+9.97=？

學(xué)生獨(dú)立思考解決問題的方法。

教師巡視，采集樣本，同時(shí)呈現(xiàn)在黑板上，依次請(qǐng)學(xué)生介紹所用的計(jì)算方法。

■

請(qǐng)學(xué)生比較（1）（2）方法后，教師又拿出學(xué)生中的（3）（4）種方法并進(jìn)行討論。

■

最后教師又呈現(xiàn)了如下方法：（5）12.4+9.97=12.4+10-0.03

=22.4-0.03

=22.37

本課是學(xué)生在“認(rèn)識(shí)小數(shù)”后進(jìn)行“小數(shù)運(yùn)算”教學(xué)的第一課時(shí)，在本例中，教師沒有一味地讓學(xué)生表面地理解和記憶相同數(shù)位對(duì)齊就是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，為幫助學(xué)生理解和提升認(rèn)識(shí)，教師做了如下“呈現(xiàn)”：首先出示學(xué)生中的正確資源（1）和（2），解決本課重點(diǎn)也是難點(diǎn)，幫助學(xué)生理解相同數(shù)位才能相加，其中包括用豎式計(jì)算，凸顯了小數(shù)加法與整數(shù)加法的區(qū)別和聯(lián)系；其次是一些錯(cuò)誤的資源，能夠暴露學(xué)生學(xué)習(xí)此內(nèi)容的障礙之處，即不知數(shù)位如何才算對(duì)齊；最后呈現(xiàn)了用湊整法進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算這種方法，有助于激活、打開全體學(xué)生思維通道。如果這三類基本資源中的某一類沒有，教師應(yīng)靈活補(bǔ)充。

3.“開放”式呈現(xiàn)

當(dāng)前，學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)的現(xiàn)象比較普遍，被動(dòng)地走進(jìn)校園，被動(dòng)地步入課堂，被動(dòng)地接受知識(shí)。大多數(shù)學(xué)生頭腦里只是老師“灌輸”的內(nèi)容，離開老師，就不會(huì)學(xué)習(xí)，這樣的教學(xué)離素質(zhì)教育差遠(yuǎn)了。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，給學(xué)生提供“開放”式的課堂教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生有深入細(xì)致思考的機(jī)會(huì)、自我體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，才能將所學(xué)變成他們自己的知識(shí)。在學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)過程中，我們?nèi)绾渭ぐl(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們的主觀能動(dòng)性呢？

【案例4】“24時(shí)記時(shí)法”教學(xué)片段：

例題呈現(xiàn)：紅領(lǐng)巾廣播站

節(jié)目預(yù)報(bào)

7時(shí)30分學(xué)校新氣象

中午12時(shí)20分 兒童歌曲欣賞

下午1時(shí)健康教育

15時(shí)45分科學(xué)家的故事

下午4時(shí)30分明日氣象

教師把五個(gè)時(shí)刻及節(jié)目做成五張紙條，打亂后放進(jìn)信封。練習(xí)時(shí)，讓學(xué)生倒出這些節(jié)目條，根據(jù)時(shí)間的先后順序給這些節(jié)目排隊(duì)。（學(xué)生正確排序后，還得出這樣的體會(huì)：由于“24時(shí)計(jì)時(shí)法”書寫起來比較簡(jiǎn)便，而且比較起來也方便，所以通常我們看到的節(jié)目表都是用“24時(shí)計(jì)時(shí)法”來計(jì)時(shí)的）

原書本習(xí)題有四個(gè)節(jié)目條：上午7時(shí)30分 學(xué)校新氣象；中午12時(shí)兒童歌曲欣賞；下午1時(shí)健康教育；下午4時(shí) 科學(xué)家的故事。本練習(xí)題經(jīng)教師改編后，呈現(xiàn)的時(shí)刻不再是單一的計(jì)時(shí)法，而需將時(shí)刻統(tǒng)一成“24時(shí)計(jì)時(shí)法”或“普通計(jì)算法”后，才能排序。這一改編，解決了總是讓學(xué)生進(jìn)行“普通計(jì)時(shí)法”向“24時(shí)計(jì)時(shí)法”的單向轉(zhuǎn)換，一方面，使得現(xiàn)有的情境較原先呈現(xiàn)出更大的開放性，有利于學(xué)生更加積極主動(dòng)地參與到信息的收集、組織、比較等數(shù)學(xué)思考中來；另一方面，又巧妙地將學(xué)生已經(jīng)具備的相關(guān)舊知予以激活，為學(xué)生自主探索新知做好認(rèn)知上的鋪墊。

4.“布白”式呈現(xiàn)

我們的教學(xué)，長(zhǎng)期受“扶，階梯、拐杖”等思想的制約，學(xué)生不會(huì)的，教師告訴；思維有難度的，鋪設(shè)層層階梯；有時(shí)學(xué)生自己能解決的，也硬要啟發(fā)一下。學(xué)生長(zhǎng)期受老師的啟發(fā)幫助，接觸著沒有挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，自然形成了依賴的心理。學(xué)習(xí)材料的“布白”，就是將布白手法運(yùn)用于教學(xué)的探索過程中，為學(xué)生的主動(dòng)探究提供一個(gè)挑戰(zhàn)性和支持性的課堂學(xué)習(xí)環(huán)境。雖然這意味著學(xué)生可能要面臨更多困惑和迷茫，或許花費(fèi)很多時(shí)間和精力后依然前途茫茫，但這個(gè)過程是美麗的，是最具包蘊(yùn)性的時(shí)刻，是學(xué)生生存、成長(zhǎng)與成熟、創(chuàng)造所必經(jīng)的過程。

【案例5】“長(zhǎng)方形的面積”教學(xué)片段：

在教學(xué)長(zhǎng)方形的面積時(shí)，出示一個(gè)長(zhǎng)方形讓學(xué)生猜猜面積是多少？

用什么方法驗(yàn)證？

生：用面積是1平方厘米的小正方形擺擺看。

于是讓學(xué)生拿出學(xué)具袋，小組之間合作完成。

這時(shí)，有的小組很快擺了起來，有的小組卻陷入了思考。（因?yàn)槲医o學(xué)生的學(xué)具袋中小正方形的個(gè)數(shù)是不一樣的，少的小組只有7個(gè)，多的小組有12個(gè)）

反饋

生1：12個(gè)小正方形擺滿了長(zhǎng)方形，如圖2。

生2：用線描出如上圖的格子?？纯纯梢苑艓讉€(gè)這樣的格子。

生3：只擺了7個(gè)小正方形，如圖3。

還有的小組只用了4個(gè)擺出了圖4。

■

……

教師隱藏了原有學(xué)習(xí)材料中的一部分，學(xué)生無法用簡(jiǎn)單的“數(shù)”得出面積，激發(fā)他們?cè)诓僮骰A(chǔ)上輔以深層次的思考：怎么擺才能得出長(zhǎng)方形的面積？小正方形不夠該如何填補(bǔ)？不僅完整地呈現(xiàn)出長(zhǎng)邊個(gè)數(shù)×寬邊個(gè)數(shù)即為長(zhǎng)方形面積這一思考過程，也發(fā)展了學(xué)生的空間想象力，讓學(xué)生更有興趣探索開放、多元的學(xué)習(xí)過程。有人說，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該轉(zhuǎn)“知”成“識(shí)”，更要轉(zhuǎn)“識(shí)”成“智”。對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行“布白”，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)不要停留在孤立的、靜止的、缺乏本質(zhì)建構(gòu)的生活經(jīng)驗(yàn)上，而是把這些生活經(jīng)驗(yàn)上升為一種數(shù)學(xué)的智慧，出現(xiàn)了“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的局面。

三、反思

在以前的數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)中，只關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的增長(zhǎng)，教學(xué)過程多數(shù)體現(xiàn)的是一種肢解的思想；對(duì)學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)的認(rèn)識(shí)僅體現(xiàn)在部分內(nèi)化并轉(zhuǎn)化為行為，因而使得改革僅僅停留在表面的形式化狀態(tài)，成為情境、活動(dòng)、技術(shù)與開放題的“加法式改革”。因而也就導(dǎo)致在課堂教學(xué)中，材料呈現(xiàn)點(diǎn)狀的問題，缺乏知識(shí)整體的關(guān)系意識(shí)；材料呈現(xiàn)演繹的問題，缺乏知識(shí)形成的過程意識(shí)等等。

在教學(xué)中，我們不僅要讓學(xué)生掌握知識(shí)，而且要讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己學(xué)習(xí)，提高自主探索能力和創(chuàng)造能力。從學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反映出，學(xué)生是有能力參與探索新知的產(chǎn)生過程的?！皟?yōu)化知識(shí)呈現(xiàn)方式的實(shí)驗(yàn)與研究”大大增加了學(xué)生在課堂上參與建構(gòu)知識(shí)體系的契機(jī)，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使原來單純的學(xué)習(xí)材料呈現(xiàn)過程轉(zhuǎn)向?qū)W生體驗(yàn)和自主構(gòu)建新知的過程，使學(xué)生在課堂中形成的知識(shí)素養(yǎng)，不再只局限于常規(guī)的知識(shí)理解、公式把握、解題能力等，更指向?qū)W生主動(dòng)發(fā)展的意愿，對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的遷移能力、研究方法的把握、思維品質(zhì)的提升、思想文化的感悟、思維方式的形成等等。對(duì)課堂教學(xué)永不停歇地進(jìn)行多樣化、深入化的探索，使得課堂教學(xué)的內(nèi)涵越來越豐富，人們對(duì)課堂教學(xué)的理解也日臻完善，課堂教學(xué)正經(jīng)歷一個(gè)不可逆轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)型期。

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（作者單位 杭州師范大學(xué)附屬丁蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

?誗編輯 楊兆東