非線性微分方程的動(dòng)力學(xué)特性研究

馮建霞

摘 要：本文對(duì)幾類非線性系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了深入研究，對(duì)系統(tǒng)發(fā)生霍普夫分岔的參數(shù)條件進(jìn)行了詳細(xì)的分析，給出了系統(tǒng)產(chǎn)生霍普夫分岔的參數(shù)范圍，隨后應(yīng)用中心流行定理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降維約化，得到了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。最后，對(duì)一類食餌-捕食者系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了詳細(xì)分析和研究。

關(guān)鍵詞：非線性動(dòng)力學(xué) 微分方程 霍普夫分岔 中心流形

0.引言

隨著科學(xué)的發(fā)展和進(jìn)步，在自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的研究領(lǐng)域內(nèi)出現(xiàn)了很多新的具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，其中動(dòng)力系統(tǒng)解的性態(tài)分析是近年來(lái)研究的熱點(diǎn)之一。對(duì)非線性動(dòng)力系統(tǒng)的研究和發(fā)展已有一個(gè)多世紀(jì)， 20世紀(jì)70年代至今，非線性動(dòng)力學(xué)的分岔理論及混沌現(xiàn)象的研究成為了非線性微分方程新的研究熱點(diǎn)。

如今，幾乎每個(gè)學(xué)科領(lǐng)域都出現(xiàn)了動(dòng)力系統(tǒng)現(xiàn)象，從化學(xué)中的振蕩Belousov-Zhabotinsky反應(yīng)到電子工程中的蔡氏電路，從天體力學(xué)中的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)到生態(tài)學(xué)中的分岔。尤其在生物數(shù)學(xué)領(lǐng)域，動(dòng)力系統(tǒng)被廣泛的用來(lái)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分岔。劉翠桃對(duì)具有密度制約情況下的HollingⅣ類功能反應(yīng)的系統(tǒng)，徐勝林和肖東梅對(duì)一類擴(kuò)展的捕食者-食餌系統(tǒng)進(jìn)行了討論，討論了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的性態(tài)，并證明了極限環(huán)的存在性與唯一性及其全局穩(wěn)定性。Canan Celik研究了對(duì)比率依賴性，系統(tǒng)地分析了時(shí)滯對(duì)模型穩(wěn)定性的影響，選取時(shí)滯作為參數(shù)，利用分岔定理得出Hopf分岔，得到了系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性，并進(jìn)行了數(shù)值模擬。

本文通過(guò)對(duì)幾類不同非線性系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象進(jìn)行研究，特別是幾類系統(tǒng)霍普夫分岔進(jìn)行詳細(xì)分析，應(yīng)用中心流形定理對(duì)部分系統(tǒng)進(jìn)行了降維處理，部分系統(tǒng)應(yīng)用形式級(jí)數(shù)法對(duì)細(xì)焦點(diǎn)進(jìn)行分析。

1.二維非線性系統(tǒng)的霍普夫分岔分析

對(duì)式（1.1）所示的二維非線性系統(tǒng)，當(dāng)

f（x，μ）=ax-y+bx（x2+y2）+cx（x+y2）sinπx2+y3

x+ay+by（x2+y2）+cy（x2+y2）2sinπx2+y2

（1.1）

時(shí)的情況，進(jìn)行定性與分岔分析.

此時(shí)，n=2，m=3，X=x

y，μ=a

b

c.顯然， O（0，0）為系統(tǒng)的奇點(diǎn).

為了對(duì)參數(shù)變化時(shí)平衡點(diǎn)處的情況進(jìn)行分析，做極坐標(biāo)變換x=rcocθ

y=rsinθ，對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，

dxdt=drdtcosθ-rdθdtsinθ=arcosθ-rsinθ+br3cosθ+cr5cosθsinπr

（1.2）

dydt=drdtsinθ+rdθdtcosθ=rcosθ+arsinθ+br3sinθ+cr5sinθsinπr

（1.3）

分別進(jìn)行（1.2）×cosθ+（1.3）×sinθ，（1.2）×（-sinθ）+（1.3）×cosθ可以得到

drdt=ar+br3+cr5sinπr，

dθdt=1.

（1.4）

對(duì)參數(shù)c分兩種情況進(jìn)行討論.

（1） 當(dāng)c=0時(shí)，

若a=0，b=0，有drdt=0，此時(shí)平衡點(diǎn)O（0，0）為系統(tǒng)的中心，系統(tǒng)零解穩(wěn)定但不漸近穩(wěn)定；

若a=0，b≠0，有drdt=br3，

當(dāng)b>0，有drdt>0，平衡點(diǎn)O（0，0）為不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)，系統(tǒng)零解不穩(wěn)定；

當(dāng)b<0，有drdt<0，平衡點(diǎn)O（0，0）為穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)，系統(tǒng)零解穩(wěn)定.

若a≠0，b=0，有drdt=ar，

當(dāng)a>0，有drdt>0，平衡點(diǎn)O（0，0）為不穩(wěn)定焦點(diǎn)，系統(tǒng)零解不穩(wěn)定；

當(dāng)a<0，有drdt<0，平衡點(diǎn)O（0，0）為穩(wěn)定焦點(diǎn)，系統(tǒng)零解穩(wěn)定.

若a>0，b>0，有drdt>0，此時(shí)drdt>0，系統(tǒng)零解不穩(wěn)定；

若a>0，b<0，此時(shí)系統(tǒng)有閉軌r=r0=-ab，又

當(dāng)r>r0時(shí)，drrt<0，t→+∞時(shí)，系統(tǒng)的軌線趨向于r=r0；

當(dāng)0

因此，系統(tǒng)有唯一的閉軌，即極限環(huán)，且極限環(huán)穩(wěn)定.

若a<0，b<0，有drdt<0，所有的解都趨于平衡點(diǎn)O（0，0），平衡點(diǎn)O（0，0）為穩(wěn)定焦點(diǎn)，系統(tǒng)零解穩(wěn)定；

若a<0，b>0，此時(shí)系統(tǒng)有閉軌r=r0=-ab，

當(dāng)r>r0時(shí)，drdt>0，t→+∞時(shí)，r→+∞；

當(dāng)0

因此，系統(tǒng)有唯一的閉軌，即極限環(huán)，且極限環(huán)不穩(wěn)定.

圖1給出了c=0時(shí)的雙參數(shù)分岔圖.

（2） 當(dāng)c≠0時(shí)，

若a=0，b=0，有drdt=cr5sinπr，當(dāng)r=1n，（n=1，2，3，…），drdt=0，有一系列的閉軌出現(xiàn)；

若a=0，b≠0，有drdt=br3+o（r3），當(dāng)b>0時(shí)，平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)，零解不穩(wěn)定；當(dāng)b<0時(shí)，平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn)，零解穩(wěn)定；

若a≠0，b=0，有drdt=ar+o（r），當(dāng)a>0時(shí)，平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)，零解不穩(wěn)定；當(dāng)a<0時(shí)，平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)，零解穩(wěn)定.

-z+x2+y2-2xyz，

（2.1）

時(shí)的情況，進(jìn)行定性與分岔分析.

此時(shí)，n=3，m=2，X=x

y

z，μ=λ

a.分離非線性項(xiàng)，系統(tǒng)變?yōu)?/p>

dXdt=λ-1-10

1λ-10

00-1X+f1

f2

f3，

（2.2）

其中，f1=-axz，f2=-ayz，f3=x2+y2-2xyz為非線性項(xiàng).

顯然，非線性項(xiàng)滿足定理的條件，則對(duì)于雙曲奇點(diǎn)非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)奇點(diǎn)類型相同.且O（0，0，0）為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，對(duì)于線性化系統(tǒng)矩陣為

A=λ-1-10

1λ-10

00-1，

且A的特征值λ1=-1.λ2，3=λ-1±i.當(dāng)λ<1時(shí)，特征值實(shí)部都小于零，平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)λ>1時(shí)，存在特征值實(shí)部大于零，平衡點(diǎn)為鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定.則非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)O（0，0，0）也分別為穩(wěn)定的焦點(diǎn)和不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).

當(dāng)λ=1時(shí)顯然滿足中心流形存在條件，故設(shè)存在中心流形

z=h（x，y）=h20x2+h11xy+h02y2+O（r3）

（2.3）

其中r=x2+y2.

將（2.3）代入hx·dxdt+hy·dydt=-hx2+y2-2xyh，有

（2h20x+h11y）（-y+ah20x3+ah11x2+ah02xy2）

+（h11x+2h02y）（x-ah20x2y-ah11xy2-ah02y3）+O（r5）

=-h20x2-h11xy-h02y2+x2+y2-2xy（h20x2+h11xy+h02y2）.

比較x2、y2及xy的系數(shù)，得到h11=-h20+1

-h11=-h02+1

-2h20+2h02=h11，解得h02=h20=1，h11=0.故有中心流形z=h（x，y）=x2+y2+O（r3），將其代入系統(tǒng)（2.1）的第一、二式，有

dxdt=-y-ax（x2+y2）-aO（r4），

dydt=x-ay（x2+y2）-aO（r4），

（2.4）

由于系統(tǒng)（2.1）與系統(tǒng)（2.4）的零解穩(wěn)定性相同，故對(duì)（2.4）的零解進(jìn)行穩(wěn)定性分析即可.

在零點(diǎn)處的線性化矩陣=0 -1

1 0，特征值為λ=±i.

當(dāng)a=0時(shí)，平衡點(diǎn)O（0，0）為中心，（2.4）零解為穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)a≠0時(shí)，取Liapunov函數(shù)V（x，y）=12（x2+y2），顯然V（x，y）是正定函數(shù)，沿系統(tǒng)（2.4）的解求全導(dǎo)數(shù)得到

dVdt=x（-y-ax（x2+y2））+y（x-ay（x2+y2））=-a（x2+y2）2.

故根據(jù)Liapunov穩(wěn)定性判定定理，可以知道，當(dāng)a>0時(shí)dVdt<0，零解漸近穩(wěn)定，O（0，0）為穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn)；當(dāng)a<0時(shí)dVdt>0，零解不穩(wěn)定，O（0，0）為不穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn).

故對(duì)于系統(tǒng)（2.1）的平衡點(diǎn)O（0，0，0），在λ=0時(shí)，當(dāng)a=0時(shí)為中心，零解為穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定的.由定理知，在原點(diǎn)鄰域內(nèi)的某一曲面上全是閉軌. 當(dāng)a>0時(shí)，零解漸近穩(wěn)定，O（0，0）為穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn)，當(dāng)a<0時(shí)，零解不穩(wěn)定，O（0，0）為不穩(wěn)定的細(xì)焦點(diǎn).由定理知，λ在小范圍內(nèi)變化時(shí)，存在極限環(huán).

3.食餌-捕食者系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性及霍普夫分岔分析

這一部分將對(duì)一類正平衡點(diǎn)平移到原點(diǎn)后的兩種群非線性食餌-捕食者系統(tǒng)的零解穩(wěn)定性及霍普夫分岔情況進(jìn)行討論.平移后，系統(tǒng)有

f（X，μ）=-y+λx+αxy1+x+y

x+λy+y2+αxy1+x+y，

（3.1）

此時(shí)，n=2，m=2，X=x

y，μ=λ

α.分離非線性項(xiàng)，系統(tǒng)變?yōu)?/p>

dXdt=λ -1

1 λX+f1

f2，

（3.2）

其中，f1=αxy1+x+y，f2=y2+αxy1+x+y為非線性項(xiàng).

顯然，非線性項(xiàng)滿足定理的條件，則對(duì)于雙曲奇點(diǎn)非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)奇點(diǎn)類型相同.O（0，0）為系統(tǒng)的平衡點(diǎn).

對(duì)系統(tǒng)（3.1）的線性化系統(tǒng)進(jìn)行分析，則A=λ -1

1-λ，得到A的特征值λ1，2=λ±i.當(dāng)λ<0時(shí)，特征值實(shí)部都小于零，平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)λ>0時(shí)，特征值實(shí)部都大于零，平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)；

當(dāng)λ=0時(shí)，做變換dτ=dt1+x+y，則系統(tǒng)變?yōu)?/p>

dxdτ=（-y）（1+x+y）+αxy=-y-y2+（α-1）xy，

dydτ=（x+y2）（1+x+y）+αxy=x+x2+y2

+（a+1）xy+xy2+y3.

（3.3）

用形式級(jí)數(shù)法對(duì)O（0，0）進(jìn)行判斷.令

F（x，y）=x2+y2+F3（x，y）+F4（x，y）+…，

沿系統(tǒng)（3.1）的解求全導(dǎo)數(shù)得到

dFdt=（2x+F3x+F4x+…）[-y-y2+（α-1）xy]+（2y+F3y+F4y+…）[x+x2+y2+（α+1）xy+xy2+y3]

令dFdt=0，對(duì)三次項(xiàng)進(jìn)行考察，有

-yFx+xF3y=-2y3-2αxy2-2αx2y，

（3.4）

進(jìn)行極坐標(biāo)變換，令F3（x，y）=r3Φ3（θ），對(duì)θ進(jìn)行求導(dǎo)，

r3dΦ3（θ）dθ=F3θ=-rsinθF3x+rcosθF3y=-yF3x+xF3y，

（3.5）

由（3.4）和（3.5）式可以知道dΦ3（θ）dθ=-2sin3θ-2αcosθsin2θ-2αcos2θsinθ，積分有

Φ3（θ）=-23αsin3θ+23（α-1）cos3θ+2cosθ，

變回直角坐標(biāo)系，故有

F3（x，y）=-23αy3+23（α-1）x3+2x（x2+y2）=-23αy3+2xy2+23（α+2）x3.

（3.6）

對(duì)四次項(xiàng)進(jìn)行考察，有

-yF3x+xF4y

=F3x[y2-（α-1）xy]-F3y[x2+y2+（α+1）xy]-2y（xy2+y3）

2αy4+（2α2-4）xy3-2αx2y2-2α（α+1）x3y.

（3.7）

進(jìn)行極坐標(biāo)變換可以得到

dΦ4（θ）dθ

=4αsin4θ-2αsin2θ+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ，

=α（cos22θ-cos2θ）+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ，

=α1-cos4θ2-αcos2θ+（2α2-4）sin3θcosθ-2α（α+1）sinθcos3θ，

=12α+ψ*（θ）.

（3.8）

其中，ψ*（θ）以2π為周期，且∫2π0ψ*（θ）dθ=0.記ψ（θ）=12α+ψ*（θ）..

由于12α≠0，則（3.8）不存在以2π為周期的解.令

d（θ）dθ=ψ（θ）-12α，

（3.9）

則（3.9）不存在以2π為周期的解.故

f4（x，y）=r4（θ），

（3.10）

為4次齊次多項(xiàng)式，且

r4（θ）θ=r4ψ（θ）-12αr4，

（3.11）

將（3.11）式返回直角坐標(biāo)系，得到

-yf4x+xf4y

=2αy4+（2α2-4）xy3-2αx2y2-2α（α+1）x3y-12α（x2+y2）2.

（3.12）

取

F*（x，y）=x2+y2+F3（x，y）+f4（x，y），

（3.13）

則有，

dF*dt=12α（x2+y2）2+o（r4），

（3.14）

所以，由（3.14）知，O（0，0）在的鄰域內(nèi)找到了一正定函數(shù)F*（x，y），系統(tǒng)（3.4）對(duì)t的導(dǎo)數(shù)為（3.14）.

故，由Liapunov穩(wěn)定性定理知，當(dāng)λ=0時(shí)，若α>0時(shí)，零解不穩(wěn)定，O為一階不穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn)；當(dāng)α<0時(shí)，零解漸近穩(wěn)定，O為一階穩(wěn)定細(xì)焦點(diǎn).

由定理知，在α>0（α<0）時(shí)，對(duì)充分小的λ<0（λ>0），在O（0，0）的鄰域內(nèi)有漸近穩(wěn)定的極限環(huán).

由于原系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與平移后原點(diǎn)的穩(wěn)定性相同，故當(dāng)λ<0時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，故當(dāng)兩種群數(shù)量在平衡點(diǎn)附近時(shí)，兩個(gè)種群的數(shù)量都將趨于這一點(diǎn).又在α>0時(shí)，對(duì)充分小的λ<0，在平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)有漸近穩(wěn)定的極限環(huán)，則此時(shí)兩種群的數(shù)量可能會(huì)產(chǎn)生周期性的變化.

4.結(jié)論

本文對(duì)幾類非線性系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了深入研究，對(duì)兩類二維和三維系統(tǒng)發(fā)生霍普夫分岔的參數(shù)條件進(jìn)行了詳細(xì)的分析，應(yīng)用中心流行定理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降維約化，給出了系統(tǒng)產(chǎn)生霍普夫分岔的參數(shù)范圍。隨后對(duì)食餌-捕食者系統(tǒng)進(jìn)行分析，得到了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

參考文獻(xiàn)：

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[3]程榮福，蔡淑云.一類具功能反應(yīng)的食餌—捕食者兩種群模型的定性分析.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2002，17（4）：406-410.

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