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      數(shù)字信號(hào)處理中基2 FFT算法的教學(xué)研究

      2014-05-30 02:04:17焦瑞莉
      科教導(dǎo)刊 2014年7期
      關(guān)鍵詞:數(shù)字信號(hào)處理教學(xué)研究

      摘 要 基2 FFT算法是數(shù)字信號(hào)處理課程中的重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)之一。以“引導(dǎo)思考、授以方法、鍛煉能力”為教學(xué)設(shè)計(jì)原則,探索以問題引導(dǎo)算法思想、分層次數(shù)學(xué)推導(dǎo)、應(yīng)用流圖計(jì)算及結(jié)合MATLAB驗(yàn)證多角度開展課堂教學(xué)的教學(xué)方法。作為數(shù)字信號(hào)處理課程建設(shè)的一部分,基2 FFT算法的教學(xué)研究有利于促進(jìn)數(shù)字信號(hào)處理課程的教育教學(xué)發(fā)展。

      關(guān)鍵詞 數(shù)字信號(hào)處理 FFT 教學(xué)研究

      中圖分類號(hào):G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

      0 引言

      快速傅里葉變換FFT(Fast Fourier Transform)是離散傅里葉變換DFT(Discrete Fourier Transform)的快速算法。數(shù)字信號(hào)處理學(xué)科隨FFT的出現(xiàn)和發(fā)展而迅速得到發(fā)展。因此,F(xiàn)FT是數(shù)字信號(hào)處理課程中的重要內(nèi)容?;?FFT算法是FFT的最基本算法,也是應(yīng)用最多的算法。

      FFT的教學(xué)具有數(shù)學(xué)推導(dǎo)多、算法流圖多的特點(diǎn),學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)容易出現(xiàn)陷入繁瑣的公式流圖不得要領(lǐng)的現(xiàn)象,課程學(xué)習(xí)結(jié)束后受益不大。作者針對(duì)數(shù)字信號(hào)處理中基2FFT算法教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)探索和研究。

      1 教學(xué)設(shè)計(jì)原則

      中國有句古話叫“授人以魚不如授人以漁”,聯(lián)合國教科文組織曾談到:今后的文盲將不再是不識(shí)字的人,而是不會(huì)自學(xué)和學(xué)了知識(shí)不會(huì)應(yīng)用的人。①這些都說明了教以方法或某種信念的重要性。對(duì)于高等教育,一個(gè)好的稱職的教師,不但要給學(xué)生以知識(shí),還要教會(huì)學(xué)生自學(xué)和應(yīng)用的方法。作者認(rèn)為,高校的課程學(xué)習(xí)不僅要為學(xué)生今后專業(yè)化的職業(yè)奠定知識(shí)基礎(chǔ),還要讓學(xué)生學(xué)到解決問題的方法與思路,后者對(duì)學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)的職業(yè)發(fā)展和能力提升意義更為重大?;谶@樣的教學(xué)理念,教學(xué)設(shè)計(jì)的總體原則為引導(dǎo)思考、授以方法、鍛煉能力。在基2FFT算法教學(xué)中探索問題引導(dǎo)算法思想、分層次數(shù)學(xué)推導(dǎo)、應(yīng)用流圖計(jì)算及結(jié)合MATLAB驗(yàn)證多角度開展課堂教學(xué)。

      2 算法原理的教學(xué)設(shè)計(jì)

      2.1 問題引導(dǎo)算法思想

      以問題引導(dǎo)算法核心思想的展開,通過互動(dòng)式教學(xué)方式提出問題、討論問題,進(jìn)而得到解決問題的辦法。

      (1)提出問題1:直接計(jì)算N點(diǎn)DFT的計(jì)算量有多大?

      討論問題:直接計(jì)算N點(diǎn)DFT總共需要計(jì)算N2次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)~ N2次復(fù)數(shù)加法,復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)加法次數(shù)均與N2成正比。直接計(jì)算DFT的算法復(fù)雜度是O(N2),隨著N的增加,計(jì)算量將是驚人的。②

      解決問題:通過減小N降低運(yùn)算量,提高運(yùn)算速度。

      (2)提出問題2:在長(zhǎng)序列分解為短序列的過程中短序列長(zhǎng)度是多少合適?

      討論問題:DFT的最小運(yùn)算點(diǎn)數(shù)是2點(diǎn)。2點(diǎn)和4點(diǎn)DFT計(jì)算沒有復(fù)數(shù)乘法,為后面的基2算法、基4算法及分裂基算法打好基礎(chǔ)。

      解決問題2:要定義最小運(yùn)算單元的點(diǎn)數(shù)M——基,可分為基3算法、基3算法、基4算法等。

      (3)提出問題3:長(zhǎng)序列分解為短序列的方法是什么?

      討論問題:長(zhǎng)序列的分解

      解決問題:長(zhǎng)序列分解為短序列的方法——抽取方法,分為時(shí)間抽取和頻率抽取。

      最后加以總結(jié):FFT算法的核心思想就是按照一定的規(guī)則(抽取方法)將N點(diǎn)長(zhǎng)序列分解為短序列,直到分解為最小運(yùn)算單元點(diǎn)數(shù)(基)M,然后計(jì)算M點(diǎn)DFT,將計(jì)算所有M點(diǎn)DFT結(jié)果組合為N點(diǎn)DFT。這種問題引導(dǎo)教學(xué)內(nèi)容展開的教學(xué)設(shè)計(jì)一方面可以更深層次地引導(dǎo)學(xué)生理解:任何算法的存在一定有其應(yīng)用背景和所針對(duì)解決的問題。另一方面,教會(huì)學(xué)生解決問題一般的方法與思路,從而有效提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。

      2.2 分層次的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

      在我校教學(xué)中分為卓越班、普通班,學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力的存在差異。針對(duì)不同層次的學(xué)生,在教學(xué)上采用不同深度的算法數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

      (1)對(duì)于普通班學(xué)生按照常規(guī)的多步分解展開算法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

      以時(shí)間抽取基-2 FFT算法為例。首先將長(zhǎng)度為N=2L的序列()按序號(hào)是奇數(shù)還是偶數(shù)分為兩個(gè)短序列()和()。()是()的N點(diǎn)DFT ,可計(jì)算為:

      其中()是()的N/2點(diǎn)DFT,()是()的N/2點(diǎn)DFT。N點(diǎn)DFT()變成兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT()和()的組合,其數(shù)學(xué)描述為() = () + ()。

      ()和()的計(jì)算采用相同的長(zhǎng)序列分解為短序列的計(jì)算方法,即將N/2點(diǎn)DFT變成兩個(gè)N/4點(diǎn)DFT的組合。以此類推,直至分解到最小運(yùn)算單元2點(diǎn)。

      (2)對(duì)于卓越班學(xué)生采用多基多進(jìn)制的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式展開算法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

      以N=8基-2頻率抽取FFT為例。

      i. 首先設(shè)置變量及其維數(shù)。

      N=2L,N=8,維數(shù)為3,N = 讇譺0 ,其中===2。此時(shí)設(shè)置6個(gè)變量表示輸入序列序號(hào)和輸出序列序號(hào):0≤≤,0≤≤,0≤≤,0≤≤,0≤≤,0≤≤。為了滿足原位運(yùn)算,輸入與輸出必須有一個(gè)為倒位序。設(shè)定輸入()自然位序,輸出()倒位序,因此的三維表達(dá)式為 = + 2 + 和。兩個(gè)式子所定義的位序可以互為倒位序。

      ii. 列寫表達(dá)式,對(duì)分解,并化簡(jiǎn)。

      求和從最高位開始,并且由于是DIF-FFT算法,頻率抽取是頻域自變量按照奇偶分解。因而化簡(jiǎn)是對(duì)的二進(jìn)制表示進(jìn)行的。

      由數(shù)學(xué)運(yùn)算表達(dá)式可以準(zhǔn)確地畫出對(duì)應(yīng)流圖,其中和是級(jí)間旋轉(zhuǎn)因子。可以按照輸入()和輸出()位序的不同得到2個(gè)原位運(yùn)算圖。

      這種分層次教學(xué)設(shè)計(jì)既可以確保普通班學(xué)生能夠理解掌握基2算法的數(shù)學(xué)機(jī)理,又可以讓卓越班學(xué)生在此基礎(chǔ)上掌握通用的多基多進(jìn)制數(shù)學(xué)表達(dá)式推導(dǎo)方法,啟發(fā)卓越班學(xué)生應(yīng)用自行推導(dǎo)其他單基單進(jìn)制、多基多進(jìn)制算法,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力。

      表1 時(shí)間抽取與頻率抽取的對(duì)比表

      2.3 兩種抽取列表對(duì)比

      在兩種抽取方法的算法學(xué)習(xí)后,時(shí)間抽取與頻率抽取對(duì)比這部分教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)是:首先讓學(xué)生分組討論兩種抽取方法的區(qū)別和共性,列表對(duì)比;然后每個(gè)小組討論結(jié)論做簡(jiǎn)短的陳述;教師作點(diǎn)評(píng)、補(bǔ)充及總結(jié)。最終對(duì)比列表見表1,這種教學(xué)方式引導(dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)歸納總結(jié)的方法,提高分析歸納能力。

      2.4 流圖的畫法與應(yīng)用

      總結(jié)出流圖5步畫法,③步驟如下:(1)畫出N條平行數(shù)據(jù)線。(2)確定輸入和輸出的位序。輸入和輸出其中一個(gè)為自然位序,另一個(gè)為倒位序,以滿足原位運(yùn)算。(3)畫蝶形結(jié)。鄰近倒位序的蝶形結(jié)的距離最近,鄰近自然位序的蝶形結(jié)的距離最遠(yuǎn),各級(jí)蝶形結(jié)的距離按照運(yùn)算級(jí)而逐漸變大(輸入是倒位序情況)或者變?。ㄝ斎胧亲匀晃恍蚯闆r)。(4)為每個(gè)蝶形結(jié)添加“-1”。(5)添加旋轉(zhuǎn)因子。如果是時(shí)間抽取,則旋轉(zhuǎn)因子位于每級(jí)蝶形結(jié)的前面,而且第一級(jí)旋轉(zhuǎn)因子為,其余各級(jí)旋轉(zhuǎn)因子按規(guī)律添加。如果是頻率抽取,則旋轉(zhuǎn)因子位于每級(jí)蝶形結(jié)的后面,而且最后一級(jí)旋轉(zhuǎn)因子為,其余各級(jí)旋轉(zhuǎn)因子按規(guī)律添加。

      上述5步畫法體現(xiàn)了原位運(yùn)算、輸入輸出互為倒位序及旋轉(zhuǎn)因子規(guī)律特點(diǎn),可用于兩種抽取方法的基2-FFT原位算法的蝶形流圖繪制,便于記憶和掌握。

      流圖的應(yīng)用:

      以4點(diǎn)基-2 DIF-FFT算法流圖為例,利用4點(diǎn)基-2 DIF-FFT算法流圖計(jì)算() = {1,2,3,4}的()。

      最后將輸出排成自然位序,得到() = {10, + ,,}。教學(xué)上,要求學(xué)生會(huì)應(yīng)用流圖計(jì)算DFT。

      2.5 運(yùn)算量的MATLAB驗(yàn)證

      在課堂上應(yīng)用MATLAB驗(yàn)證FFT算法的效率,運(yùn)行調(diào)用fft函數(shù)直接計(jì)算DFT的計(jì)算程序和利用矩陣運(yùn)算DFT的程序,利用cputime函數(shù)比較兩種程序運(yùn)算時(shí)間,讓學(xué)生直觀體會(huì)隨著DFT點(diǎn)數(shù)的增加,F(xiàn)FT算法的有效性越顯著。

      3 結(jié)束語

      作者以多年教學(xué)積累為基礎(chǔ),以“引導(dǎo)思考、授以方法、鍛煉能力”為教學(xué)設(shè)計(jì)原則,探索問題引導(dǎo)算法思想、分層次數(shù)學(xué)推導(dǎo)、應(yīng)用流圖計(jì)算及結(jié)合MATLAB驗(yàn)證多角度的課堂教學(xué)設(shè)計(jì),總結(jié)出益于學(xué)生知識(shí)構(gòu)建和學(xué)習(xí)遷移的教法。它作為數(shù)字信號(hào)處理課程建設(shè)的一部分,有利于促進(jìn)數(shù)字信號(hào)處理課程的教育發(fā)展。

      基金項(xiàng)目:北京信息科技大學(xué)2011年課程建設(shè)項(xiàng)目(數(shù)字信號(hào)處理

      注釋

      ① 百度百科.授人以魚不如授人以漁[DB/OL].http://baike.baidu.com/linkurl= 8B5I7Xus44LQ9bFzvVbVHqc4kbThKye-BgQFeNWm5kfz_szUqQS86o fetp1bSjmZ.

      ② 鄭方,徐明星.信號(hào)處理原理[M].北京:清華大學(xué)出版社,2003.8.

      ③ 焦瑞莉,羅倩,汪毓鐸,顧奕.數(shù)字信號(hào)處理[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2012.6.

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