數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)教學(xué)運(yùn)用中的幾種形式

林毓亮

摘 要：數(shù)學(xué)既要教證明，又要教猜想，將猜想引入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，將有助于學(xué)生開(kāi)闊視野、活躍思維、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、促進(jìn)能力的提高，雖然數(shù)學(xué)猜想是一種直覺(jué)判斷，但絕不是盲目亂猜，要猜得準(zhǔn)，就要總結(jié)猜想方法，提高猜想能力。

關(guān)鍵詞：猜想方法 猜想能力 活躍思維

牛頓有句名言：“沒(méi)有大膽的猜想，就不可能有偉大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)。”猜想是人們依據(jù)已知事實(shí)和知識(shí)，對(duì)研究的問(wèn)題和對(duì)象作出的一種預(yù)測(cè)性的判斷，數(shù)學(xué)猜想是學(xué)生不斷認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善知識(shí)系統(tǒng)，形成知識(shí)板塊的一種學(xué)習(xí)方法，又是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、簡(jiǎn)縮思維、優(yōu)化解答的一種思想方法，它是一種極具創(chuàng)造性的思維活動(dòng)。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞也認(rèn)為，要想成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，首先必須是一個(gè)好的猜想家。并提出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須有猜想的地位”。

因此，教師不僅要鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行大膽猜想，使學(xué)生養(yǎng)成敢于猜想、勇于探索的思維習(xí)慣，更要教給他們一些猜想的規(guī)律和方法，使它們的猜想，猜之有“理”，猜之有“據(jù)”。

在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用猜想對(duì)我們探索解題思路、開(kāi)發(fā)智力，培養(yǎng)創(chuàng)造能力具有重要的意義。在探索數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，主要有下列一些猜想形式：

1.歸納性猜想

歸納猜想是指運(yùn)用歸納法，對(duì)研究對(duì)象或問(wèn)題從一定數(shù)量的個(gè)例、特性上進(jìn)行觀察分析，從而得出有關(guān)命題的形式、結(jié)論和方法的猜想。在中學(xué)數(shù)學(xué)中利用這種猜想，可發(fā)現(xiàn)和解決某些一般性的問(wèn)題，其思維模式是：試驗(yàn)—?dú)w納—猜想.。

例1 已知數(shù)列，8·112·32，8·232·52?！?n（2n-1）2（2n+1）2?！笄皀項(xiàng)和Sn.

解 先計(jì)算S1、S2、S3、S4得 S1=89，S2=89+169.25=2425，S3=2425+2425.49=4849，S4=4849+3249.81=8081.于是猜想得：Sn=（2n+1）2-1（2n+1）2.最后用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.

證明 對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=（2×1+1）2-1（2×1+1）2=89=a1命題成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即Sk=（2k+1）2-1（2k+1）2.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，∵ak+1=8（k+1）[2（k+1）-1]2[2（k+1）+1]2=8k+8（2k+1）2（2k+3）2

∴Sk+1=Sk+ak+1=（2k+1）2-1（2k+1）2+8k+8（2k+1）2（2k+3）2=[（2k+1）2-1]（2k+3）2+8k+8（2k+1）2（2k+3）2

=（4k2+4k+1）（4k2+12k+8）（2k+1）2（2k+3）2=（2k+1）2（4k2+12k+8）（2k+1）2（2k+3）2=（2k+3）2-1（2k+3）3

=[2（k+1）+1]2-1[2（k+1）+1]2.即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

∴對(duì)任意n∈N都有Sn=（2n+1）2-1（2n+1）2.

猜想在本題中起了很重要的作用，真正的學(xué)習(xí)存在于發(fā)現(xiàn)或解決問(wèn)題的過(guò)程，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察、猜想、論證的應(yīng)用，可以達(dá)到發(fā)展智力和提高解決問(wèn)題能力的目的。

2.類(lèi)比性猜想

類(lèi)比猜想是指運(yùn)用類(lèi)比的方法，比較兩個(gè)對(duì)象或問(wèn)題的相似性，得出數(shù)學(xué)新命題或新方法的猜想.在中學(xué)教學(xué)中，用類(lèi)比猜想，可由兩個(gè)命題中條件的相似，去猜想結(jié)論的相似；也可由兩個(gè)命題條件結(jié)論的相似，去猜想推論方法的相似；還可由兩個(gè)概念的相似，去猜想解題思路的相似.其思維的一般方式是：類(lèi)比—聯(lián)想—猜想。

例2 求和cosx+2cos2x+3cos3x+…+ncosnx.

分析 注意到（sinx+sin2x+sin3x+…+sinnx）

=cosx+2cos2x+3cos3x+…+ncosnx.而sinx+sin2x+…sinnx可以與11·2+12·3+…+1n（n+1）=（1-12）+（12-13+…+（1n-1n+1）=1-1n+1相類(lèi)比，由此作出猜想：設(shè)法把中的每一項(xiàng)也拆成兩項(xiàng)之差，正負(fù)項(xiàng)相消，問(wèn)題可望得解.

解 設(shè)S=nk=1sin kx.兩邊同乘以2sinx2得

2S·sinx2=nk=12sin x2·sin kx=nk=1（cos2k-12x-cos2k+12x）

=cosx2-cos2n+12x=2sinnx2sinn+12x.從而S=sinnx2sinn+12xsinx2

對(duì)S求導(dǎo)可得下面結(jié)論.原式

=n（n+1）2，x=2kπ（k∈Z）

（n+1）cosnx-ncos（n+1）x-14sin2x2，x≠2kπ（k∈Z）

說(shuō)明 很多問(wèn)題，只要能抓住特點(diǎn)，通過(guò)直覺(jué)想象和判斷，大膽猜想，就能發(fā)現(xiàn)解題的方向和途徑。正如德國(guó)數(shù)學(xué)家康德所指出的：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證時(shí)，類(lèi)比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)?！鼻‘?dāng)?shù)剡\(yùn)用類(lèi)比猜想，可以巧妙地解決一些問(wèn)題。

3.探索性猜想

探索猜想是指思維的主體依據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題作出逼近結(jié)論的方向性的猜想，并從此猜想出發(fā)，進(jìn)行推理，若推理過(guò)程產(chǎn)生矛盾，則猜想錯(cuò)誤，需重新猜想，通過(guò)多次探索修改，逐步增強(qiáng)其可靠性或合理性，中學(xué)數(shù)學(xué)中多被用來(lái)探求問(wèn)題結(jié)論或解題方向。其思維模式是：猜想—修正—猜想。

例3 已知1a+1b+1c，abc≠0，求證1a3+1b3+1c3=1（a+b+c）3.

分析 本題的關(guān)鍵在于利用已知條件，而其中a、b、c是抽象的字母，為此，不妨用具體的數(shù)字來(lái)代替.

令a=1，b=2，則11+12+1c=11+2+c，得c=-1，-2.令a=3，b=4，則可得c=-3，-4.由此產(chǎn)生猜想：滿(mǎn)足已知條件1a+1b+1c=1a+b+c（abc≠0）的a、b、c中，至少兩個(gè)互為相反數(shù).同時(shí)，上述試驗(yàn)還給我們提供了猜想的方法是：把a(bǔ)、b看做已知數(shù)，解關(guān)于c的方1a+1b+1c=1a+b+c?？傻胏=-a或-b.此時(shí)不僅猜想被證實(shí)，整個(gè)題目也因猜想的證實(shí)而迎刃而解.更重要的是：在題設(shè)的條件下，要證的等式可推廣為：1a2n+1+1b2n+1+1c2n+1=1（a+b+c）2n+1（n∈N）.

4.結(jié)論

以上幾種是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最常用的猜想，綜上諸例，我們足以看出，猜想是解題過(guò)程中經(jīng)常需要的一種想象形式，它對(duì)于學(xué)生深層次挖掘教材，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，拓展解題思路，獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)直覺(jué)思維和創(chuàng)造思維至關(guān)重要。引導(dǎo)學(xué)生探索、猜想，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想方法的一條有效途徑，是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識(shí)的重要手段。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生去大膽地猜想結(jié)論、猜想規(guī)律，大膽地猜想解法，然后再去驗(yàn)證，使學(xué)生在不斷地猜想和驗(yàn)證過(guò)程中，掌握和豐富數(shù)學(xué)知識(shí)。

當(dāng)然，猜想也有局限性，特別是低年級(jí)學(xué)生，容易不加思索地亂猜，這就需要教師正確地引導(dǎo)，逐步培養(yǎng)他們?cè)诖竽懖孪氲耐瑫r(shí)，養(yǎng)成驗(yàn)證的習(xí)慣。所以，在教學(xué)中還必須讓學(xué)生明確以下兩點(diǎn)：第一，這些猜想有時(shí)是不能截然劃分的；第二，數(shù)學(xué)猜想的結(jié)果不一定是正確的，它的正確性要經(jīng)過(guò)邏輯論證。

總之，掌握數(shù)學(xué)猜想的規(guī)律和方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)予以加強(qiáng)的一項(xiàng)重要工作，它不僅可以提高學(xué)生的理解力，更有助于學(xué)生思維的發(fā)展和創(chuàng)造能力的提高。

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