高等代數(shù)課程教學(xué)體現(xiàn)“師范性”的思考——從幾個(gè)初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的高觀點(diǎn)分析談起*

陳建華

（揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002）

高等代數(shù)課程教學(xué)體現(xiàn)“師范性”的思考
——從幾個(gè)初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的高觀點(diǎn)分析談起*

陳建華

（揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002）

我國(guó)數(shù)學(xué)教育中，大學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)教育的“雙脫節(jié)”現(xiàn)象依然存在.在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，開(kāi)展初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的高觀點(diǎn)分析，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)踐中掌握初、高等數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，體會(huì)它們?cè)诜椒ê退枷肷系呢炌?，培養(yǎng)“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”意識(shí)是解決該問(wèn)題的一條行之有效的途徑。

師范性;高觀點(diǎn);初等數(shù)學(xué);高等代數(shù)

1 研究緣起

1904年，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊因（F.C.Klein）指出大學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)教育的“雙脫節(jié)”現(xiàn)象:大學(xué)生感到他們正在學(xué)的東西和中學(xué)學(xué)過(guò)的無(wú)關(guān)，而當(dāng)他們到中學(xué)任教時(shí)，大學(xué)所學(xué)的用不上，大學(xué)所學(xué)的內(nèi)容就只存在于美好的記憶中［1］.1989年，在克萊因的名著《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》被翻譯成中文出版時(shí)，吳大任先生指出:我國(guó)的數(shù)學(xué)教育依然存在“雙脫節(jié)”現(xiàn)象.

21世紀(jì)，隨著數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，“雙脫節(jié)”現(xiàn)象產(chǎn)生的問(wèn)題更加突出:多數(shù)中學(xué)數(shù)學(xué)老師對(duì)高等數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容遺忘甚多，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的內(nèi)容陌生;運(yùn)用高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)方法解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)缺乏，“高觀點(diǎn)”統(tǒng)率全局的能力有待提高.如何提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及教育素養(yǎng)，以適應(yīng)數(shù)學(xué)課程改革的需求，成了中學(xué)數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)過(guò)程中面臨的一個(gè)重要問(wèn)題.下面通過(guò)幾個(gè)案例，說(shuō)明改進(jìn)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)師范生專(zhuān)業(yè)課課堂教學(xué)，努力體現(xiàn)“師范性”，發(fā)揮職前教育的主陣地的堡壘作用，是一條行之有效的途徑.

2 幾個(gè)案例

關(guān)于大學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)在中學(xué)教學(xué)中是否用得上的問(wèn)題，單墫教授指出:所謂“完全用不上”，并非真正用不上，而只是沒(méi)有能很好地將大學(xué)知識(shí)與中學(xué)問(wèn)題有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)［2］.我們來(lái)看一道初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題.

2.1 一道初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

【競(jìng)賽題】甲、乙、丙三種貨物，若購(gòu)甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元，若購(gòu)甲4件、乙10件、丙1件，共需4.20元，問(wèn)若購(gòu)甲、乙、丙各1件，需要多少元?

【解析】設(shè)甲、乙、丙三種貨物的價(jià)格分別為每件x，y，z元，則有方程組

以上分析，不難得到.但不同知識(shí)層次人，對(duì)本題的理解應(yīng)該有不同的深度，且應(yīng)該在解題方法，解題速度等方面得到體現(xiàn).

方法1:觀察方程組系數(shù)，（1）乘以3減去（2）乘以2，獲得解答

這種解法的獲得具有很大的偶然性（因?yàn)閤，y，z的系數(shù)全為1，容易湊出來(lái)），對(duì)初中學(xué)生來(lái)說(shuō)還需要一定的觀察能力，才能獲得問(wèn)題解決.

方法2:

得通解

這里解法是對(duì)線(xiàn)性方程組的增廣矩陣作初等行變換求解，是一種程序性的工作，幾乎不用任何“智力”，當(dāng)然，解答過(guò)程中需要對(duì)方程組有無(wú)窮多組解有較好的把握，即能夠從通解中找到求解問(wèn)題的特解上來(lái).優(yōu)秀的師范生不僅應(yīng)該能夠求出問(wèn)題的解，還應(yīng)該有變化問(wèn)題不同問(wèn)法（通解范圍內(nèi)的購(gòu)買(mǎi)可能組合）的能力.

作為數(shù)學(xué)教師，對(duì)該題應(yīng)該有更深刻的理解.實(shí)際上，兩個(gè)方程的系數(shù)對(duì)應(yīng)著兩個(gè)向量

待求量x+y+z對(duì)應(yīng)另一個(gè)向量β =（1，1，1），由于β =3α1－ 2α2，所以，

在解題中，教師應(yīng)該能從數(shù)學(xué)思想（這里是表示的思想）上把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì).比如是否能夠思考問(wèn)題:購(gòu)甲2件、乙3件、丙5件，共需多少元?該題能解答嗎?說(shuō)明理由.

事實(shí)上，一個(gè)稱(chēng)職的數(shù)學(xué)教師應(yīng)該掌握數(shù)學(xué)的各種概念、方法及其發(fā)展過(guò)程，了解數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過(guò).如何讓師范專(zhuān)業(yè)學(xué)生深刻體會(huì)所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，真正理解初、高等數(shù)學(xué)知識(shí)間的這種聯(lián)系，上述案例的分析過(guò)程提示我們，大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（如高等代數(shù)課程等）中，應(yīng)該設(shè)法通過(guò)一些初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的背景介紹，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)踐中體會(huì).這里再?gòu)摹案叩取币暯强匆坏乐攸c(diǎn)高中入學(xué)（提前單招）考試題.

已知:

試求16a1+25a2+36a3+49a4+64a5+81a6+100a7的值.

【分析】如果以“初等”的方法思考該題，需要“技巧”加“運(yùn)氣”.但從向量的線(xiàn)性關(guān)系的角度思考該問(wèn)題，思路就很明確，事實(shí)上，我們可以考慮

β =（16，25，36，49，64，81，100）如何由向量組

線(xiàn)性表示入手.這是高等代數(shù)課程的基本思想.進(jìn)一步，一定需要考慮七維向量 α1，α2，α3，β 嗎?實(shí)際上，由于向量組

線(xiàn)性無(wú)關(guān)，只要解線(xiàn)性方程組x?α1+y?α2+z?α3=?β即可，其中?β=（16，25，36），結(jié)論是?β=?α1－3?α2+3?α3.這里的道理就是向量組的性質(zhì):“短無(wú)關(guān)，則長(zhǎng)無(wú)關(guān)”.在此基礎(chǔ)上，再回歸初等方法:采用待定系數(shù)法，思考n2，（n+1）2，（n+2）2與（n+3）2之間的關(guān)系.

2.2 一個(gè)初等數(shù)學(xué)公式

初等數(shù)學(xué)中的一些常用公式，也是我們幫助學(xué)生聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)知識(shí)的良好材料.比如:對(duì)數(shù)換底.

【背景】在n維線(xiàn)性空間V中，n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量ε1，ε2，…，εn稱(chēng)為V的一組基.ε'1，ε'2，…，ε'n是V的另一組基，它們的關(guān)系描述為:

其中

矩陣A稱(chēng)為由基ε1，ε2，…，εn到ε'1，ε'2，…，ε'n的過(guò)渡矩陣，它是一個(gè)可逆矩陣.

設(shè) ξ是V中任一向量，因此ξ可以被基ε1，ε2，…，εn唯一線(xiàn)性表出:

或

其中系數(shù)x1，x2，…，xn稱(chēng)為ξ在基ε1，ε2，…，εn下的坐標(biāo).如果 ξ在 ε'1，ε'2，…，ε'n下的坐標(biāo)為

則有 X=AX'或 X'=A－1X.

【公式解讀】我們?cè)谝粋€(gè)具體地線(xiàn)性空間中分析對(duì)數(shù)換底公式.設(shè)R為實(shí)數(shù)域，V=R+為全體正實(shí)數(shù)組成的集合，定義R+中的兩個(gè)元素的加法運(yùn)算“⊕”為:

定義R中元素與R+中元素的數(shù)乘運(yùn)算“○”為

則（R+，⊕，○，R）作成一個(gè)向量空間，零向量為1，R+中任意不等于1的數(shù)都可以做基向量.這是高等代數(shù)課程中線(xiàn)性空間的一個(gè)典型例子.

取 a，b，c∈R+，a≠1，b≠1，作為R+的基向量，a到b的過(guò)渡矩陣為 k，則（b）=（a）（k），即 b=k○a=ak，或 k=logab.現(xiàn)在我們考察正實(shí)數(shù)c在兩組基a，b下的坐標(biāo):

那么坐標(biāo)的關(guān)系:

即為對(duì)數(shù)換底公式.

觀察上述分析，圍繞一個(gè)“底”字:比較對(duì)數(shù)的“底”與空間的“基”;弄清楚一個(gè)“換”字:改變對(duì)數(shù)的底與線(xiàn)性變換空間的基，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透其中.

如果想在高等代數(shù)課程教學(xué)中體現(xiàn)“師范性”，備課和講課中就有許多有關(guān)滲透的工作要做.對(duì)于課本中已經(jīng)有的內(nèi)容，只有通過(guò)鉆研教材，才能發(fā)現(xiàn)其深刻含義，從而在講課時(shí)用淺顯簡(jiǎn)明的語(yǔ)言揭示其精神實(shí)質(zhì).教學(xué)實(shí)踐告訴我們，講解高觀點(diǎn)時(shí)，只能用精心選擇的三言?xún)烧Z(yǔ)講清思想，點(diǎn)到為止，不能求全求細(xì).否則，如果超越學(xué)生水平，會(huì)讓學(xué)生越聽(tīng)越糊涂.

高等代數(shù)中這種表示的思想，在初等數(shù)學(xué)解題中，還有一種僅限于形式的運(yùn)用.對(duì)于教師理清問(wèn)題是否有益.且看下面的例子.

【96年高考題】設(shè) a，b，c為實(shí)數(shù)，

當(dāng) －1≤x≤1時(shí)，有|f（x）|＜1，證明:當(dāng) －1≤x≤1時(shí)，|g（x）|≤ 2.

【分析】雖然問(wèn)題不難，但由于已知條件中量多，關(guān)系表達(dá)繁瑣，給順利表達(dá)帶來(lái)困難.利用代數(shù)表示的思想，從“高觀點(diǎn)”視角，可以在 －1≤x≤1中選取三個(gè)點(diǎn)－1，0，1，由題設(shè)得

將 f（－ 1），f（0），f（1）作為“基”，用它來(lái)表示 a，b，c，則有

則上述式子可表達(dá)為

右乘矩陣A的逆，得

所以，當(dāng) －1≤x≤1時(shí)，有

其中

由于當(dāng) －1≤x≤1時(shí)，有 |f（x）|＜1，故

事實(shí)上，大學(xué)生從高等數(shù)學(xué)的諸多課程中學(xué)到了許多知識(shí)和方法，接受了很重要的思想，但在回到中學(xué)教學(xué)時(shí)往往被忽視了.所以，在我們的教學(xué)中就應(yīng)該著眼于彌補(bǔ)這些缺陷，揭示初、高等數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，指出它們的共性，給學(xué)生以示范.

2.3 一段大學(xué)課堂教學(xué)片段

在高等代數(shù)課程教學(xué)中，筆者在文獻(xiàn)［5］基礎(chǔ)上，改編文章中例題，在我校2011級(jí)，上了一節(jié)教學(xué)研究課，下面是教學(xué)片斷:

【教學(xué)片段】

師:我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的相關(guān)理論，請(qǐng)思考下列問(wèn)題，給出你的解答.

（呈現(xiàn)問(wèn)題）:設(shè)α，β∈R，

求α+β.

（五分鐘后）

生1:令m= α －1，n= β －1，有

則

又因?yàn)?/p>

所以

師:請(qǐng)談?wù)勀愕乃悸?

生1:我是以立方和的因式分解為切入點(diǎn)，觀察到已知等式右邊出現(xiàn)的是相反數(shù)，取兩式求和.

師:好，思路很清楚，這里用到多項(xiàng)式的因式分解.能利用多項(xiàng)式函數(shù)的觀點(diǎn)給出不同的解法嗎?

生2:令f（x）=x3+2011x，則f（x）是奇函數(shù)，因?yàn)?/p>

從而有

又因?yàn)閒（x）導(dǎo)數(shù)f'（x）=3x2+2011＞0，即f（x）是單調(diào)增函數(shù)，故有

師:很好，令f（x）=x3+2011x（板書(shū)），我們使用的工具“新”了，借助于函數(shù)的單調(diào)性，省去了因式分解和

等解題環(huán)節(jié).如果考慮多項(xiàng)式f（x）=x3+2011x+1呢?（板書(shū)）

生3:老師，如果設(shè)f（x）=x3+2011x+1，則有

所以α－1，1－β∈R為實(shí)數(shù)根，而f（x）單調(diào)，故實(shí)根唯一，因此有

師:請(qǐng)你回顧你的思考過(guò)程，告訴大家你用了多項(xiàng)式理論中的哪些結(jié)論?

生3:代數(shù)基本定理和因式分解定理.

代數(shù)基本定理:每個(gè)次數(shù)大于等于1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上至少有一個(gè)根.

實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理:實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)根成對(duì)出現(xiàn).

師:好，很好.我們的解法三，觀點(diǎn)更高，過(guò)程也越簡(jiǎn)單.從中是否發(fā)現(xiàn)一些初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，無(wú)時(shí)無(wú)刻不蘊(yùn)含著高觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)思想與解題研究方法.

（令我驚訝的是，筆者根據(jù)文獻(xiàn)［5］給出的教學(xué)預(yù)設(shè)，在幾分鐘里學(xué)生快速生成，而且竟然幾乎完全一致.在感嘆同學(xué)的智慧和集體力量的同時(shí)，筆者“急中生智”提出下列問(wèn)題）

師:德國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊因曾說(shuō)過(guò)，“只有在完全不是初等數(shù)學(xué)的理論體系中，才能深刻地理解初等數(shù)學(xué)［4］”，請(qǐng)大家從剛才的三種解法中，談?wù)勀銓?duì)克萊因這句話(huà)的體會(huì).

……

師:能根據(jù)已有的高等代的數(shù)知識(shí)，再舉一個(gè)類(lèi)似例子嗎?

……

作為知識(shí)擁有者和傳授者的教師本身，問(wèn)題的掌握不可能僅局限于中學(xué)那種膚淺的理解層次，而應(yīng)該在可研究的問(wèn)題上從高觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)史的發(fā)展角度去剖析教材與數(shù)學(xué)問(wèn)題，高處著眼，低處入手，深入淺出的對(duì)其進(jìn)行探究和挖掘內(nèi)涵，溝通基本概念間的相互聯(lián)系，揭示問(wèn)題的本質(zhì)含義.［5］

3 啟示與建議

100年前，克萊因針對(duì)數(shù)學(xué)教師的職后培訓(xùn)，曾倡導(dǎo)開(kāi)展“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”研究.他告誡人們:數(shù)學(xué)教育的改革不能采取保守的、舊式的態(tài)度，數(shù)學(xué)教育工作者的頭腦中應(yīng)始終保持著近代的、新的數(shù)學(xué)的進(jìn)步、新教育的進(jìn)展，來(lái)改造初等數(shù)學(xué).隨著社會(huì)對(duì)教師的要求逐漸從量過(guò)渡到質(zhì)，教師的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)越來(lái)越被重視，培養(yǎng)高質(zhì)量的師范生成了高師院校面臨的重要課題.

數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)知識(shí)是優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的核心基礎(chǔ)，解題技能更是中學(xué)數(shù)學(xué)教師的專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)的標(biāo)志.張奠宙先生在品評(píng)張景中院士的“第三代微積分”時(shí)說(shuō):多角度地考察，多元化地思考微積分，應(yīng)該成為新時(shí)代教師的數(shù)學(xué)修養(yǎng)［6］.對(duì)于數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)師范生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求，借用國(guó)學(xué)大師王國(guó)維對(duì)詩(shī)詞的觀點(diǎn)，“入乎其內(nèi)，故能寫(xiě)之.出乎其外，故能觀之.”中學(xué)數(shù)學(xué)解題多半使用某些策略，講究邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，以步步推進(jìn)的方式尋求解答，這是入乎其內(nèi).對(duì)初等數(shù)學(xué)的理論體系、文化淵源、歷史足跡和關(guān)系結(jié)構(gòu)的理解，又需要從高觀點(diǎn)審視，這是出乎其外.師范教育是未來(lái)教師的職前教育，我們的教學(xué)更應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)師范生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).大學(xué)數(shù)學(xué)課堂是實(shí)施高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”研究的理想“場(chǎng)所”.

［1］菲利克斯.克萊因著，舒湘芹等譯.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)［M］.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

［2］單墫.解題研究［M］.上海:上海教育出版社，2007.

［3］郭聿琦，王正攀，劉國(guó)新.談?wù)劇案哂^點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”—以基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)為例［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2011（1）:3－7.

［4］克菜因·M.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯.古今數(shù)學(xué)思想［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1980.

［5］張紅，孫立坤，李昌勇.高觀點(diǎn)下初等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教師MPCK的優(yōu)化案例剖析［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（7）:22－25.

［6］張奠宙.努力掌握微積分思想的精髓—初等數(shù)學(xué)里的微積分讀后感［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2010（02）:8.

Thinking on Normal of Advanced Algebra Course Teaching——Starting from the High Point Analysis of Several Elementary Mathematics Problems

CHEN Jian－h(huán)ua
（School of Mathematics Science，Yangzhou University;Jiangsu 225002）

In the mathematics education in our country，there still exists‘double hiatus’phenomenon in the University and middle school mathematics education.Carrying out the elementary mathematics problems with high point analysis in mathematics classroom teaching in university is an effective way to solve the problem.In this way，students could grasp the relation of elementary and advanced mathematics knowledge，realize the connection within them in methods and thoughts and develop the consciousness of‘elementary mathematics in high point’.

normal;high point;elementary mathematics;advanced algebra

G642.0

A

1004－1869（2014）02－0078－04

10.13388/j.cnki.ysajs.2014.02.022

2014－04－12

本文獲得揚(yáng)州大學(xué)線(xiàn)性代數(shù)精品課程和教改課題“基于教學(xué)理解的線(xiàn)性代數(shù)課程教學(xué)實(shí)踐”資助，課題編號(hào):YZUJX2012－46B

陳建華（1963－），男，江蘇如皋人，副教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事代數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)教育研究。