例談2011版課標中核心概念“模型思想”的培養(yǎng)

吳士根

數(shù)學課程標準（2011版）在課程設計思路中指出：“……在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結(jié)果的同時，重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體會以實際情景中抽象出數(shù)學問題、構(gòu)建數(shù)學模型、尋求結(jié)果，解決問題的過程”.建模思想是2011版課標新提出來的一個核心概念，修訂版課標把“模型思想”作為核心概念理由是：其一，模型思想是一種基本數(shù)學思想；其二，模型思想及相應的建?；顒优c很多課程目標密切相關(guān)（如數(shù)感、符號意識、幾何直觀、發(fā)現(xiàn)、提出問題能力、數(shù)學應用意識、改善數(shù)學學習方式等等）；其三，模型思想本身就滲透于各課程內(nèi)容領(lǐng)域中，突出模型思想有利于更好地理解、掌握所學內(nèi)容；其四，數(shù)學建模已是高中數(shù)學課程的學習內(nèi)容，義務教育階段提出建模思想亦能更好與高中課程銜接.為落實課標精神，在教學中更好地在對學生進行建模思想的培養(yǎng)，在此談點膚淺認識。

一、創(chuàng)設問題情境，滲透數(shù)學建模

“問題情境——建立模型——求解驗證”的數(shù)學活動過程，體現(xiàn)了《標準》中模型思想的基本要求，也有利于學生在過程中理解、掌握有關(guān)知識、技能、積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟模型思想的本質(zhì).這一過程更有利于學生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題、培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.

現(xiàn)行的義務教育課程標準教科書中，時常能遇到一些創(chuàng)設有關(guān)知識情境的問題，這些問題大多數(shù)可以結(jié)合數(shù)學思想、數(shù)學方法進行教學.在這個教學過程中進行數(shù)學建模思想的滲透，不僅可以使學生體會到數(shù)學并非只是一門抽象的學科，而且可以使學生感覺到利用數(shù)學建模的思想結(jié)合數(shù)學方法解決實際問題的妙處，進而對數(shù)學產(chǎn)生更大的興趣.

案例1義務教育教科書（2012版）浙教版七年級（上）“有理數(shù)的加法法則”的教學中如何滲透數(shù)學建模思想.

“有理數(shù)的加法”這一節(jié)的第一部分就是學習有理數(shù)的加法法則，課本是按提出問題……進行實驗……探索、概括的步驟來得出法則的.在實際教學中老師可以根據(jù)學生生活經(jīng)驗創(chuàng)設這樣的情境：先給學生提出問題“一位同學在一條東西向的路上，先走了20米，又走了30米，能否確定他現(xiàn)在位于原來位置的哪個方向，與原來位置相距多少？”，然后讓學生回答出這個問題的答案.（結(jié)果在實際教學中我發(fā)現(xiàn)學生所回答的答案中包括了全部可能的答案，這時我趁勢提問回答出答案的同學是如何想出來的，并把他們的回答一一寫在黑板上，用1、2、3、4……來區(qū)分出不同的分類情況.）在學生回答完之后，就可以順勢介紹數(shù)學建模的數(shù)學思想和分類討論的數(shù)學方法，并結(jié)合這個問題介紹數(shù)學建模的一般步驟：首先，由問題的意思可以知道求兩次運動的總結(jié)果，是用加法來解答；然后對這個問題進行適當?shù)募僭O：①先向東走，再向東走；②先向東走，再向西走；③先向西走，再向東走；④先向西走，再向西走；接下來根據(jù)四種假設的條件規(guī)定向東為正，向西為負，列出算式分別進行計算，根據(jù)實際意思求出這個問題的結(jié)果.最后引導學生觀察上述四個算式，歸納出有理數(shù)的加法法則.這樣一來，不僅可以使學生學習有理數(shù)的加法法則，理解有理數(shù)的加法法則，而且在這個過程中也使學生學習到了分類討論的數(shù)學方法，并且對數(shù)學建模有了一個初步的印象，為今后進一步學習數(shù)學建模打下了良好的基礎(chǔ).利用課本知識的教學，在學生學習知識的過程中滲透數(shù)學建模的思想，能夠使學生初步體會數(shù)學建模的思想，了解數(shù)學建模的一般步驟，進而培養(yǎng)學生用數(shù)學建模的思想來處理實際中的某些問題，提高解決這些問題的能力，促進數(shù)學素質(zhì)的提高.

二、挖掘教材內(nèi)容，強化數(shù)學建模

數(shù)學建模思想作為一種重要的數(shù)學思想方法，普遍滲透在初中數(shù)學教材的各個知識板塊當中，其中方程、函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識內(nèi)容中較為常見，教學時教師要善于發(fā)掘，巧妙設計，讓學生在學習活動中通過不斷地經(jīng)歷、體會、感悟、內(nèi)化、提升，最終形成思想方法.

案例2建立函數(shù)模型：其賓館有50個房間供旅客居住，當每個房間的定價為每天180元時，房間會全部住滿，當每個房間的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑，如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用，房價定為多少時，賓館的利潤最大？

分析：利潤、房價和客房開住數(shù)量三者存在函數(shù)關(guān)系，若設每個房間在原價的基礎(chǔ)上增加X元（X>0，且X為10的倍數(shù)），則客房每天可開住（50-〖SX（〗x〖〗10〖SX）〗）間，用y表示當天利潤，可構(gòu)建函數(shù)為：

y=（50-〖SX（〗x〖〗10〖SX）〗）（180+X-20），即y=-〖SX（〗1〖〗10〖SX）〗（X-170）2+10890

由二次函數(shù)知識可知，該函數(shù)存在最大值，當X=170時，函數(shù)最大值y=10890.所以，當房價定為：180+170=350（元）時，賓館的利潤最大（10890元）.

函數(shù)關(guān)系是普遍存在的，所呈現(xiàn)的函數(shù)關(guān)系也并非都是二次的.因此建立目標函數(shù)模型的應用十分廣泛.

三、注重數(shù)學實驗，體驗數(shù)學建模

2011版《課標》指出：“……學生的學習應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”.這里所說的數(shù)學實驗是指為獲得某種數(shù)學理論，探求或驗證某個數(shù)學猜想、解決某類問題、運用一定的物質(zhì)技術(shù)手段，在特殊的環(huán)境中進行的一種數(shù)學實踐活動.學生在這種實踐活動中，通過觀察、操作、實踐、試驗等活動，自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、驗證問題，總結(jié)新結(jié)論的過程.數(shù)學實驗顯然是一種學習方式，這種學習方式，不是讓學生被動地接受教材上或教師講授的現(xiàn)成結(jié)論，而是讓學生從自己已有的“數(shù)學經(jīng)驗”出發(fā)，通過動手、動腦去獲得新的數(shù)學經(jīng)驗，逐步構(gòu)建并完善、發(fā)展自己的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).實踐證明，進行實驗教學可以幫助學生加深對所學知識的理解，體驗到知識被探究發(fā)現(xiàn)的過程；概括有關(guān)的數(shù)學知識；獲得重要數(shù)學定理，發(fā)現(xiàn)和驗證數(shù)學規(guī)律.

案例3客車和貨車分別在兩條平行的鐵軌上行駛，客車長150米，貨車長250米，如果兩車相向而行，那么從兩車車頭相遇到車尾離開共需10秒鐘；如果客車從后面追貨車，那么從客車車頭追上貨車車尾到客車車尾離開貨車車頭共需1分40秒.求兩車的速度.

本題由于兩車同時在運動，且有相向與同向兩種運動方式，學生的思維容易混亂，教學時可以就地取材，讓學生拿出計算器和文具盒，模擬兩車的行駛方向進行實驗操作，借助摸擬實驗，學生就容易發(fā)現(xiàn)（方程模型）：相向行駛時，客車行駛的路程與貨車行駛的路程之和等于兩車車身長之和；同向行駛時，客車行駛的路程減去貨車行駛的路程等于兩車車身長之和.這時問題就迎刃而解了.

數(shù)學實驗可以使學生逐步掌握數(shù)學研究的規(guī)律，培養(yǎng)學生用數(shù)學觀點、方法觀察事物，從而提高他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.通過實驗活動，學生能親身感悟解決問題、應對困難的思想和方法，可以逐漸形成正確思考與實踐的經(jīng)驗.數(shù)學實驗既是一種有效的學習方式，也是引導學生建立數(shù)學模型的一種常用方法，我們在教學中應結(jié)合具體的教學內(nèi)容，鼓勵學生進行實驗操作，引導學生在操作過程中發(fā)現(xiàn)知識，掌握知識，并發(fā)展他們的思維能力、理解能力，創(chuàng)造能力和用數(shù)學建模能力.

四、探求解題規(guī)律，感悟數(shù)學建模

解題是數(shù)學中一個極有生命力，極富獨創(chuàng)性和充滿詩情畫意的工作，數(shù)學離不開解題，波利亞在《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》中認為：“中學數(shù)學教學的首要任務就在于加強解題訓練”.解題在數(shù)學學習中有著不容置疑的重要性.在平時的教學過程中，我們要善于引導學生將所學內(nèi)容整理歸納出類型和方法，并把類型、方法和范例作為整體來積累，經(jīng)過加工提煉，得出有長久保存價值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——數(shù)學模型.數(shù)學模型實質(zhì)是一個數(shù)學問題在剔除天關(guān)信息后的本質(zhì)結(jié)構(gòu).當遇到一個新問題時，我們辨認它屬于哪一類基本模型，聯(lián)想起一個已知解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應的方法來加以解決，這就是數(shù)學模型的解題策略.

案例4基本圖形的模型：