善用模型思想提升解題能力

吳士根

解題是數(shù)學(xué)中一個(gè)極有生命力，極富獨(dú)創(chuàng)性和充滿詩(shī)情畫意的工作，數(shù)學(xué)離不開解題，波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中認(rèn)為：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就在于加強(qiáng)解題訓(xùn)練”。解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著不容置疑的重要性。在幾何教學(xué)中，有許多圖形需要學(xué)生熟練掌握，這些圖形即包括定義、定理的代表圖形，也包括在幾何中經(jīng)常遇到的圖形，以及由一個(gè)實(shí)際問題抽象為用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的數(shù)學(xué)問題，這些圖形或數(shù)學(xué)問題我們都稱之為數(shù)學(xué)模型。在平時(shí)的教學(xué)過程中，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容整理歸納出類型和方法，并把類型、方法和范例作為整體來積累，經(jīng)過加工提煉，得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型（數(shù)學(xué)模型）。當(dāng)遇到一個(gè)幾何圖形問題時(shí)，我們能辨認(rèn)它屬于哪一類基本模型，或是由哪些基本模型復(fù)合而成。以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來加以解決，這就是利用數(shù)學(xué)模型的解題策略。

基本圖形的模型一（“馬飲水”問題）

浙教2011版八上第50頁(yè)例2如圖1，直線l表示草原上的一條河流。一騎馬少年從A地出發(fā)，去河邊讓馬飲水不，然后返回位于B地的家中。他沿怎樣的路線行走，能使路程最短？作出這條最短路線。

分析如圖設(shè)P是直線上任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，BP。以直線l為對(duì)稱軸，作與線段AP成軸對(duì)稱的線段A/P，則AP+BP=A/P+BP。顯然，當(dāng)點(diǎn)A/，P，B同在一條直線上時(shí)，A/P+BP最短，即路程最短。（證明略）

應(yīng)用（2013年紹興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)誼學(xué)校九年級(jí)聯(lián)考中考模擬試卷）如圖2，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為20的菱形，且∠DAB=60°，P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，E在AB上，且AE=〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗AB，連PE，PB，問當(dāng)AP長(zhǎng)為多少時(shí)，PE+PB的值最小，并求這個(gè)最小值.

解析如圖3，過B（或E）作AC的對(duì)稱點(diǎn)，即為D，連結(jié)DE，線段DE的長(zhǎng)即為PB+PE的最小值（證明略）.∵ABCD為菱形，∠DAB=60°，AB=CD=BD=20，過D作AB的垂線DH，垂足為H，則BH=10，EH=5，DH=5〖KF（〗3〖KF）〗，∴DE=5〖KF（〗13〖KF）〗，又∵△APE∽△CPD，且AE：CD=1：4，∴AP=〖SX（〗1〖〗5〖SX）〗AC=〖SX（〗1〖〗5〖SX）〗×20〖KF（〗3〖KF）〗=4〖KF（〗3〖KF）〗.故當(dāng)AP=4〖KF（〗3〖KF）〗時(shí)，PE+PB的最小值為5〖KF（〗13〖KF）〗.

點(diǎn)評(píng)求平面內(nèi)兩線段之和有最小值問題，是學(xué)生較難掌握的一類題目，我們碰到的一般有二種情況：一是兩條線段在動(dòng)點(diǎn)所在的直線同側(cè)，求兩條線段和的最小值問題；二是兩條線段在動(dòng)點(diǎn)所在直線的異側(cè)，求兩條線段和的最小值問題.這兩種情況都是可以用同一種方法來解決，那就是”接起來，拉直找交點(diǎn)”.所用的定理是”兩點(diǎn)之間，線段最短”，因此，我們想到把幾條線段連接成兩點(diǎn)間的一條折線，當(dāng)這條折線拉直，變成兩點(diǎn)之間的線段時(shí)，必定是最短的時(shí)候.但是，如果題目中的動(dòng)點(diǎn)在指定的直線上運(yùn)動(dòng)，我們拉直后的線段，必須要和指定的直線有交點(diǎn)，如果沒有交點(diǎn)，就要進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移的方法主要方法有作對(duì)稱點(diǎn)進(jìn)行相等線段代換。

基本圖形的模型二（“最短距離”問題）

〖XC32.TIF〗

浙教2011版七上第172頁(yè)，作業(yè)題6：如圖4，直線l表示一段河道，點(diǎn)P表示集鎮(zhèn)，現(xiàn)要從河l向集鎮(zhèn)P引水，問沿怎樣的路線開挖水渠，才能使水渠的長(zhǎng)最短？本題可歸為一個(gè)數(shù)學(xué)模型“在直線上找一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線外一定點(diǎn)的距離最短”。

分析過P作直線l的垂線PD，垂足為D，則線段PD就是直線l外一點(diǎn)P到直線l的最短距離（垂線段最短）。

應(yīng)用（2013年紹興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)誼學(xué)校九年級(jí)聯(lián)考中考模擬試卷）如圖5，在矩形ABCD中，AB=10〖KF（〗3〖KF）〗，CB=10，P、Q分別是線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，問當(dāng)AP長(zhǎng)為多少時(shí)，PQ+PB的值最小，并求這個(gè)最小值。

解析作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B/，過B/作AB的垂線B/Q/，垂足為Q/。則PQ+PB的最小值就是BP/+P/Q/的值，即為B/Q/的值。（證明略）。∵AB=10〖KF（〗3〖KF）〗，

BC=10，∠ABC=90°，∴AC=20，∠CAB=30°，又∵∠ABE=90°，∴∠ABE=60°，BE=5〖KF（〗3〖KF）〗，BB/=10〖KF（〗3〖KF）〗，∴B/Q/=15，BQ/=5〖KF（〗3〖KF）〗，AQ/=5〖KF（〗3〖KF）〗，∴AP/=10?！喈?dāng)AP=10時(shí)，PQ+PB的值最小，最小值為15。

點(diǎn)評(píng)作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B/后，BP/+P/Q/的值就是B/Q/的值。B/點(diǎn)到AB的距離要最短，那么只能過B/作AB的垂線。垂線段B/Q/的值就是所求的最短距離PQ+PB的值。

〖XC33.TIF〗

基本圖形的模型三（“蜘蛛和蒼蠅”問題）。

浙教2004版八上第58頁(yè)3.2節(jié)節(jié)前是圖：杜登尼（Dudeney，1857-1930年）是19世紀(jì)英國(guó)知名的謎題創(chuàng)作者。“蜘蛛和蒼蠅”問題：在一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬、高分別為3米，2米，2米長(zhǎng)方體房間內(nèi)，一蜘蛛在一面的中間，離天花板0.1米處（A點(diǎn)），蒼蠅在對(duì)面墻的中間，離地面0.1米處（B點(diǎn)）（如圖6）.試問：蜘蛛去捉蒼蠅需要爬行的最短距離是多少？

解析把長(zhǎng)方體的側(cè)面展開后歸納起來可以分4種情況：

（1）如圖7，AB=0.1+3+1.9=5（cm）；（2）如圖8，AB=〖KF（〗1.82+52〖KF）〗=〖KF（〗28.24〖KF）〗≈5.314（m）。（3）如圖9，AB=〖KF（〗4.12+2.92〖KF）〗=〖KF（〗25.02〖KF）〗≈5.022（m）。

（4）如圖10，AB=〖KF（〗3.22+42〖KF）〗=〖KF（〗26.24〖KF）〗≈5.122（m）經(jīng)過比較，可知第一種情況的路徑最短.