中學(xué)數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)及理解與解題過程的認(rèn)知建構(gòu)

梅海蓉

（山東省墾利實驗中學(xué) 山東 東營 257500）

中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)系統(tǒng)和網(wǎng)絡(luò)，在理解的基礎(chǔ)上形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。隨著中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入進(jìn)行，在數(shù)學(xué)的教學(xué)方法上要探索問題情境的創(chuàng)設(shè)及其有效性的評價，并為開展創(chuàng)新教育打下良好的基礎(chǔ)?！度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)要從學(xué)生原有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實際，向?qū)W生提供從事數(shù)學(xué)活動的機會，通過創(chuàng)設(shè)問題情境來激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望。

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是連接中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條紐帶和橋梁，中學(xué)數(shù)學(xué)的思想、方法和相聯(lián)系的內(nèi)容可以在高等數(shù)學(xué)中保留下來。中學(xué)數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容包括代數(shù)以及幾何中的概念、公式和定理等，以及這些基礎(chǔ)知識折射出來的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)知識包括表層知識和深層知識，表層知識指的是數(shù)學(xué)的基本知識和技能，深層知識則是指數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，深層知識駕馭和引領(lǐng)表層知識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的真正靈魂。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的建構(gòu)性學(xué)習(xí)是對數(shù)學(xué)知識形成一種達(dá)到理解的理性的訴求，這里的理解過程實際上也是一種數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)反復(fù)建構(gòu)的過程，而中學(xué)數(shù)學(xué)解題的認(rèn)知過程則是一種更高級的知識建構(gòu)的學(xué)習(xí)過程。

一、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)知及建構(gòu)性探究活動

中學(xué)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行教學(xué)一般有兩個階段。第一階段，首先由教師提供知識框架來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)新知識，學(xué)生在教師幫助下進(jìn)行模仿學(xué)習(xí)，這種模仿是智力上的自覺模仿，不是無意義的機械模仿。第二階段，學(xué)生把模仿學(xué)習(xí)的結(jié)果遷移到其他類似的問題情境中，并將技能內(nèi)化為自身的能力。因此，以學(xué)生為中心的數(shù)學(xué)教學(xué)改革的重點在于教師是否知道每個學(xué)生是在從事有實質(zhì)價值的模仿性學(xué)習(xí)，還是在從事無意義的簡單學(xué)習(xí)，以及教師需要做哪些指導(dǎo)才能促進(jìn)每一個學(xué)生數(shù)學(xué)技能的提高。

在數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)知過程中，數(shù)學(xué)教師首先要深刻了解和把握所教年級的教學(xué)目標(biāo)，因為這些描述的目標(biāo)基本反映了多數(shù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，而且是由相關(guān)學(xué)科的專家根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平研究確立的。例如，初中生的數(shù)學(xué)抽象思維水平和高中生不同，初中年級數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)就不同于高中數(shù)學(xué)的目標(biāo)。[1]數(shù)學(xué)教師要為學(xué)生設(shè)置分層次遞進(jìn)的教學(xué)目標(biāo)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展不能采取一刀切的統(tǒng)一評價標(biāo)準(zhǔn)。通常情況下，數(shù)學(xué)課堂往往成為教師和一部分優(yōu)等生的課堂，數(shù)學(xué)教學(xué)行動的參加者往往是教師和少數(shù)優(yōu)等生，大部分學(xué)生往往成為數(shù)學(xué)課堂上的旁觀者，這種教學(xué)現(xiàn)象的出現(xiàn)非常不利于課程教學(xué)效果的提高。為了更好地進(jìn)行差異性的教學(xué)，數(shù)學(xué)教師需要了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識的生長點，確立關(guān)于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維形式的模型，從層次上區(qū)分學(xué)生，特別是要為學(xué)習(xí)困難的學(xué)生提供更多和細(xì)致的教學(xué)幫助，引導(dǎo)其掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師一般要針對幾十名正在學(xué)習(xí)的學(xué)生，為他們提供有價值的教學(xué)援助，而現(xiàn)實情況是學(xué)生與學(xué)生的差別較大，每個人有不同的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思考習(xí)慣，因此在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識上也會有很大的區(qū)別。數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)性探究活動指的是學(xué)生學(xué)完一個章節(jié)后，自主地去建立一個內(nèi)容豐富的知識網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，通過總結(jié)提煉數(shù)學(xué)的思想和方法，歸納出解題的規(guī)律和思路。這樣的建構(gòu)性探究活動對于學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和組建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是十分必要的。通常來講，教師往往片面認(rèn)識學(xué)生的建構(gòu)學(xué)習(xí)能力，這在一定情況下是有好處的，因為教師只能采取某幾種教學(xué)方式，對不同的年級提出不同的要求，這樣會較為容易有效地實施教學(xué)，并逐步增加學(xué)習(xí)中的創(chuàng)造性內(nèi)容。

二、創(chuàng)設(shè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題情境

根據(jù)命題等價理論，如果原命題成立，則其逆否命題一定成立，但其逆命題卻不一定成立。使用這種命題等價的數(shù)學(xué)思想和方法，可以從不同的方向來論證或轉(zhuǎn)化命題的方式，也可以加強認(rèn)識和理解命題的意義。為解決一些數(shù)學(xué)命題問題，在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)更多有效的問題情境可以激發(fā)學(xué)生們主動的認(rèn)知參與、情感參與和行為參與意識，培養(yǎng)學(xué)生的興趣意識和數(shù)學(xué)思維能力。數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)就是指數(shù)學(xué)教師以某個具體的教學(xué)情境為載體，致力于把數(shù)學(xué)思想和方法融合于這個具體的教學(xué)情境中，從而幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)抽象性思維上的困惑，分析和解決數(shù)學(xué)上的疑難問題。因此，真正能夠啟迪學(xué)生思維的問題情境就是將數(shù)學(xué)上的一些枯燥問題巧妙地貫穿于設(shè)定的具體情境中，而具體的情境又能包含數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容，學(xué)生就可以通過這些問題情境進(jìn)行數(shù)學(xué)意義上的觀察、判斷和總結(jié)，從而最終解決數(shù)學(xué)的問題。

數(shù)學(xué)這門學(xué)科實際上是解釋世界的一種語言類工具，是對自然語言的一種補充和提高，可以完善信息的交流和存儲。數(shù)學(xué)知識主要是指數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則等數(shù)學(xué)規(guī)則。數(shù)學(xué)這門學(xué)科的語言包括文字、語句和一些邏輯符號等，其中，邏輯符號可以幫助人們提升數(shù)學(xué)思維，正因為此，中學(xué)數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)要教會學(xué)生怎樣使用數(shù)學(xué)符號、理清數(shù)學(xué)符號語言的語法特點等。數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生包括生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)自身的邏輯體系發(fā)展兩個方面，通常來講，來自學(xué)習(xí)者以往經(jīng)驗的數(shù)學(xué)相關(guān)知識和實際生活的關(guān)系更加緊密，如果我們能創(chuàng)設(shè)一些合適的數(shù)學(xué)問題情境，結(jié)合實際來還原這些數(shù)學(xué)知識的真實生命，就能更好地激發(fā)學(xué)生的求知欲，并讓學(xué)生通過自我活動和思考將這些知識建構(gòu)起來。舉個例子，初等數(shù)學(xué)中在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的概念”時，問題情境的創(chuàng)設(shè)可以提出：如果一共有2個蘋果和3個面包，需要給2個小孩平均分開，怎樣用數(shù)學(xué)的概念表示呢？2個蘋果每個小孩分得1個，整數(shù)的概念很清晰。3個面包每人分得1個后，還剩1個怎么辦呢？每人只能再分得半個，“半個”用數(shù)學(xué)表示就是分?jǐn)?shù)的概念。這種問題情境真實地還原了生活中數(shù)學(xué)上“分?jǐn)?shù)”的一種用途，即當(dāng)不能用整數(shù)來表示某種數(shù)學(xué)結(jié)果的時候，就可以用分?jǐn)?shù)來表示。

我們知道，方程是建立已知和未知之間數(shù)量關(guān)系的一種思想方法，中學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)學(xué)就是以方程這個概念為線索開展描述的，解方程的教學(xué)實踐和效果關(guān)系到學(xué)生對有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理和運算規(guī)則等的理解程度，解方程也是破解數(shù)學(xué)上應(yīng)用題型的一種主要方式。從數(shù)到式、列代數(shù)式、以字母表示數(shù)、求代數(shù)式值和解方程的降次消元等，都反映了一種化歸的數(shù)學(xué)思想和方法?；瘹w的轉(zhuǎn)換方法可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)技能和探究發(fā)現(xiàn)能力，化歸也能建立起一種對立面之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系，整個中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)在一定意義就是貫徹化歸的辯證思想的教學(xué)。中學(xué)數(shù)學(xué)教師要教會學(xué)生分析、滲透和化解對立面，充分利用特殊化、一般化等方法實現(xiàn)化歸，運用辯證思維的規(guī)律來調(diào)控數(shù)學(xué)思維活動。如果我們能創(chuàng)設(shè)生動有趣的數(shù)學(xué)問題情境，將數(shù)學(xué)技能的獲得融入這些快樂的情境之中，那么將有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基本技能。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果要使學(xué)生真正感悟數(shù)學(xué)知識和培養(yǎng)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新能力，并理解數(shù)學(xué)的理性精髓，就應(yīng)該讓學(xué)生積累豐富的數(shù)學(xué)活動的親身經(jīng)驗，這些經(jīng)驗包括學(xué)生在數(shù)學(xué)有關(guān)活動中形成的情緒體驗、感性知識和應(yīng)用意識等。情緒體驗是指學(xué)生對于數(shù)學(xué)的一些好奇和興趣、活動中獲得的成功的感受、對數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性體驗以及對數(shù)學(xué)的審美感覺等[2]；感性知識是指一些學(xué)生針對個人的過程性知識；應(yīng)用意識則包括勇于實踐數(shù)學(xué)知識的信念、通過數(shù)學(xué)提出和解決問題的意識以及數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識等。因此，為了能激發(fā)學(xué)生的真實需要和活動的積極性，在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)一些蘊含數(shù)學(xué)意義的真實活潑的情境就是非常必要的一項任務(wù)。情境應(yīng)建立在學(xué)生已熟悉的知識經(jīng)驗和生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，可以方便學(xué)生輕松入門，進(jìn)而可以激發(fā)學(xué)生去思考和探索新的問題。例如，在教學(xué)統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖的概念時，可以創(chuàng)設(shè)這樣的問題情境：教師在教學(xué)中先讓學(xué)生收集和整理數(shù)據(jù)，寫出中國近10年的國民經(jīng)濟(jì)增長的統(tǒng)計表和條形統(tǒng)計圖，然后，教師展示這些數(shù)據(jù)的折線統(tǒng)計圖，提出思考問題。學(xué)生則通過觀察、判斷和比較3種統(tǒng)計方式的不同特點，理解通過折線統(tǒng)計圖可以看出數(shù)據(jù)的變化趨勢，特別是可以直觀地預(yù)測數(shù)據(jù)今后的發(fā)展勢頭，這對國家制定合理的政策意義重大。借助類似這樣的問題情境，學(xué)生深刻感悟到了統(tǒng)計的數(shù)學(xué)思想。在整個教學(xué)環(huán)節(jié)中，提出合理的數(shù)學(xué)問題是教學(xué)的前提，創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)問題情境是教學(xué)的關(guān)鍵，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析和應(yīng)用能力是根本目的。作為數(shù)學(xué)教師，要根據(jù)不同地域、不同水平的學(xué)生及不同的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)造一些個性鮮明的數(shù)學(xué)問題情境，并善于總結(jié)和積累，建立情境教學(xué)的資源庫。

三、數(shù)學(xué)問題的理解與解題的認(rèn)知過程

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其他學(xué)科學(xué)習(xí)的一個最大區(qū)別就是雖然你能把相關(guān)數(shù)學(xué)知識點背得很熟，但卻往往不能應(yīng)用這些知識解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題，這通常是因為沒有理解數(shù)學(xué)知識，或沒有建立組織良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化和網(wǎng)絡(luò)化，一個數(shù)學(xué)的概念或者定理如果被理解了，它就成為學(xué)習(xí)者的內(nèi)部認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)內(nèi)容的一部分，而理解的程度則是由學(xué)習(xí)者聯(lián)想的范圍和聯(lián)想的深度決定的。因此，數(shù)學(xué)理解可以認(rèn)為就是學(xué)生在頭腦中形成一種網(wǎng)絡(luò)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而不是記住一些他人灌輸?shù)?、零散的知識碎片，因為機械的零碎知識是不能用于解決實際問題的。數(shù)學(xué)理解實質(zhì)上是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的建構(gòu)性活動，其形成的機制是重新組織，即學(xué)習(xí)者需要依照自己原來的知識和經(jīng)驗，通過與環(huán)境之間的相互交流，積極地建構(gòu)當(dāng)前信息具有的含義，也就是一個新知識的建構(gòu)與新知識理解的進(jìn)程，即生成了新的意義。按照皮亞杰的認(rèn)知理論，在數(shù)學(xué)理解的過程中，同化和順應(yīng)是新的和老的經(jīng)驗相互影響的兩種基本方式。同化方式就是學(xué)生將最新學(xué)習(xí)的知識歸入和合并到原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)之中，也就是說，學(xué)生是以舊的知識和經(jīng)驗來理解新接受的信息，即同化到了已經(jīng)確立的認(rèn)知系統(tǒng)中，假如輸入的信息與現(xiàn)有的認(rèn)知系統(tǒng)不吻合，就要對以前的數(shù)學(xué)認(rèn)知系統(tǒng)進(jìn)行整合或重組，從而建立起一個新的認(rèn)知系統(tǒng)，并形成一種新的平衡狀態(tài)，這樣的一個過程就叫作順應(yīng)。[3]

中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程具有持續(xù)性和積累性，在已有的知識和經(jīng)驗基礎(chǔ)上去再學(xué)習(xí)才能獲取新知識。學(xué)生以前的認(rèn)知系統(tǒng)和知識結(jié)構(gòu)對新的學(xué)習(xí)過程會帶來一定的影響，而新知識的獲取過程也會改造學(xué)生以前的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，擴(kuò)展以前的知識經(jīng)驗，提升以前的知識和技能水平，這就是所謂的知識的遷移。中學(xué)數(shù)學(xué)教師不必要教給學(xué)生全部的知識和技能，但需要教會和培養(yǎng)學(xué)生獲取新知識、克服困難的一種遷移能力。這里，數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)可以理解為在學(xué)習(xí)者的頭腦中生成數(shù)學(xué)知識的一種表現(xiàn)方式，不但包括原理性和陳述性的知識，而且包括行動性、過程性的知識以及蘊含其中的一些數(shù)學(xué)觀念。學(xué)生依照已有知識結(jié)構(gòu)將新的知識系統(tǒng)地組織起來，組成一個聯(lián)系密切的新的知識網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，從另一個角度講就是一個重新建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的過程。由此說來，建構(gòu)是數(shù)學(xué)知識遷移的基礎(chǔ)，學(xué)生個體獨立建構(gòu)的知識之間可以相互滲透和融合；結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移是數(shù)學(xué)知識遷移的實質(zhì)，知識的結(jié)構(gòu)化程度影響著遷移的范圍；數(shù)學(xué)知識遷移的實現(xiàn)方式是聯(lián)系和聯(lián)想，解決新出現(xiàn)的問題的唯一方法是善于從面對的問題中聯(lián)想到網(wǎng)絡(luò)中的其他相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識和能力。[4]

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，僅僅依靠機械地套用現(xiàn)有的概念、算法、定理和公式，并不能解決所有問題，需要首先重新識別問題，采取過濾和篩選的方法，跟蹤不斷轉(zhuǎn)換的問題空間，選用有關(guān)的定理、公式和算法等解決策略，經(jīng)過重新建構(gòu)和整合，最后找到問題的答案。通常來講，中學(xué)數(shù)學(xué)解題的認(rèn)知過程如圖1所示。

中學(xué)數(shù)學(xué)的解題過程中，對于不同的數(shù)學(xué)問題情境，學(xué)生需要重新調(diào)整、組合或者打破原先的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才可以深刻理解和認(rèn)識數(shù)學(xué)問題中所包含的元素的復(fù)雜關(guān)系，從而識別多個不同類型問題的實質(zhì)性區(qū)別。所以，中學(xué)數(shù)學(xué)的解題過程既可以攝取和運用已有的知識與技能，也可以建構(gòu)性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的新知識。這是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的創(chuàng)新行為，可以積累策略性知識、程序性知識和過程性知識的經(jīng)驗，從而建構(gòu)起一種運作自如的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)解題活動也是一個雙向建構(gòu)的學(xué)習(xí)過程，一是有助于學(xué)生建構(gòu)一些全新的問題情境，二是可以強化原有知識和經(jīng)驗的整合和應(yīng)用，進(jìn)行復(fù)習(xí)、鞏固和提煉，從而對原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整和補充。[5]

圖1 數(shù)學(xué)解題的認(rèn)知過程

綜上所述，數(shù)學(xué)思想和方法本質(zhì)上是指物質(zhì)世界的空間方式和定量關(guān)系映射到人的意識形態(tài)之中，通過思維加工形成的一種工具。通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，教學(xué)中不同程度地滲透了模型、變換、集合、極限、函數(shù)、類比、對應(yīng)等數(shù)學(xué)思想和方法。數(shù)學(xué)問題情境是學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的有效載體，能夠靈活而生動地去駕馭和運用已學(xué)會的數(shù)學(xué)知識和方法，深化數(shù)學(xué)認(rèn)知的建構(gòu)和理解，并完成數(shù)學(xué)的解題過程，最終體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想的理性之美。[6]▲

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