基于皮亞杰理論下的高中數(shù)學概念教學

錢有成

作為一個活動的理論、建構(gòu)的理論、發(fā)展的理論，皮亞杰認知發(fā)展理論深刻地描述了認知發(fā)生、發(fā)展的過程，分析了影響認知發(fā)展的因素和促進認知發(fā)展的動力。它揭示了人類認識世界、發(fā)展認知的心理機制，為教育教學研究提供了豐厚的心理學基礎。同時，從皮亞杰對認知發(fā)生、發(fā)展的生動分析中，我們看到，皮亞杰認知發(fā)展理論用建構(gòu)的觀點探討認知的發(fā)展，尤其強調(diào)活動在認知發(fā)展和知識建構(gòu)中的作用。本文以《三角函數(shù)的周期性》教學為例談談高中數(shù)學概念教學。

一、提供積累，感知概念

從認知出發(fā)，人概念是圖式存在于人的大腦中，我們通過實例進行激活抽象，使學生獲得感知。

在“三角函數(shù)的周期性”教學時，可先設計以下方式引入課題：

情境1：從2013年12月份的日歷上可以看出，12月9日是周一，再過7天，16日還是周一，再過7天，23日還是周一……

情境2：單位圓上的點轉(zhuǎn)動一圈以后回到了原來的位置。

問題：你能舉出數(shù)學中某些現(xiàn)象重復出現(xiàn)的例子嗎？

學生可以根據(jù)前階段學習的誘導公式的特點，回答出三角函數(shù)，三角函數(shù)線。

問題：我們以正弦函數(shù)為例，怎樣解釋這種周而復始的現(xiàn)象呢？

學生1：sin30°=sin150°。這個回答是筆者沒有預想到的。

課堂上，學生的深思頓悟、靈機一動，節(jié)外生枝和思維的遇阻、疏忽大意等等，都可能催生出一個個鮮活的教學資源，為創(chuàng)設智慧、高效課堂帶來可能。為學生的學習創(chuàng)設了預知不得，欲罷不忍的學習情境，激發(fā)了學生的探究積極性，課堂氣氛又活躍了起來。

學生2：當角α的終邊轉(zhuǎn)動2π，就會重合，三角函數(shù)值也相等。

這是學生從形的角度刻畫了三角函數(shù)的“周而復始”的現(xiàn)象，筆者繼續(xù)追問：把你這句話用表達式寫出來是什么樣的呢？

學生2：sin（x+2π）=sinx。

這樣我們就很自然的聯(lián)想到之前學習的三角函數(shù)的誘導公式，讓學生很輕松愉悅地接受了正弦函數(shù)的周期現(xiàn)象，也為接下來推導余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期作鋪墊。

二、同化順應，概括概念

在數(shù)學概念教學中，我們通過比較分析、抽象概括等同化順應活動，讓學生獲得對數(shù)學概念的認同。

如：“三角函數(shù)周期性”概念教學中，如果某函數(shù)f（x）每間隔2個單位，函數(shù)值重復再現(xiàn)，如何用符號語言表示？引導學生得出f（x+2）=f（x）。

追問：如果某函數(shù)f（x）每間隔7個單位，函數(shù)值重復再現(xiàn)，如何表示？

引導學生得出f（x+7）=f（x）。

教師通過前面特殊情況的分析，逐漸引導學生感受“周而復始”的特征，從而慢慢引入數(shù)學概念。

三、提供變式，抽象本質(zhì)

隨著學生對概念的不斷積累，我們將概念進行不斷深化，抽象出精確的形式。在“三角函數(shù)的周期性”教學時：是不是只有三角函數(shù)才有周期性？我們是否可以給一般的周期性函數(shù)下一個定義呢？

該問題的設置意圖，要求學生能從現(xiàn)有的材料中概括出本質(zhì)特征，并把本質(zhì)特征用精當?shù)臄?shù)學語言加以描述。概括是數(shù)學概念形成的重要過程，所以教學設計中必須為學生的概括做好鋪墊。這個環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點也是難點。教師不能急于求成，要傾聽學生的心聲，要營造民主、平等、寬容的課堂教學氣氛，把握學生的解惑需求，對于學生的回答，要及時加以辨別，作出正確的判斷，并因勢利導，給學生探究的時間和空間，這樣會使后面的教學更深入，更有價值。

定義中關(guān)鍵詞有哪些？這些關(guān)鍵詞你感覺熟悉嗎？之前的學習中哪里遇見過？

設計意圖是為了讓學生更深入理解定義的內(nèi)涵，把握判斷函數(shù)周期性的關(guān)鍵，并聯(lián)系之前學過的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，更好地理解周期性的定義。這個環(huán)節(jié)把握的程度可以從接下來課件中判斷函數(shù)是否為周期函數(shù)反映出來。

思考：y=3是周期函數(shù)嗎？

學生的反映并沒有預想的好，問題出在了哪里？是概念理解不清，還是符號不能準確轉(zhuǎn)換？筆者課后作了學生調(diào)查，結(jié)果顯示，學生不能把y=3和f（x）=3聯(lián)系起來，更找不出f（x+T）=f（x）中的T的值，感覺不存在。該問題的設計意圖是想說明不是所有函數(shù)都有最小正周期，但是反映出來的是學生對函數(shù)概念的不理解。給我們留了思考，函數(shù)的概念教學是否到位呢？學生不能真正透徹理解函數(shù)的概念，個人覺得這是教學中的失敗。但是很多問題不是一兩節(jié)課能解決的，如果再次講授這節(jié)課，這個環(huán)節(jié)肯定刪除。

四、深化運用，鞏固概念

我們只有把數(shù)學概念和生活實踐聯(lián)系起來，才能運用發(fā)展數(shù)學，體現(xiàn)數(shù)學的永恒價值，這節(jié)概念課配備了如下的例題：

[例1]若鐘擺的高度h（mm）與時間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系如下圖所示。

（1）求該函數(shù)的周期；

（2）求t=10s時鐘擺的高度。

師組織學生圍繞以下問題展開討論：

問題1：周期函數(shù)的圖像具有什么特征？

問題2：能否根據(jù)周期性找到t=10s時鐘擺的高度？

[例2]求函數(shù)y=cos2x的周期。

思考：自編一道三角函數(shù)題，請同座位思考是否為周期函數(shù)？若是周期函數(shù)，周期是多少？若不是周期函數(shù)，請說明理由。

該問題的設計意圖是想讓學生能夠感受到自己是課堂的主人，是學習活動中自由的“生命體”。但是由于學生的層次比較低，這個環(huán)節(jié)在具體實施過程中很難推進，不能體現(xiàn)有效性，給的3分鐘的時間不能完成布置的任務，筆者表示很遺憾。這個環(huán)節(jié)的不成功，使得接下來的y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常數(shù)，A≠0，ω>0）的周期的概括和推導就不能順利的進行。當然，課堂教學過程本身就是一個“精心預設”與“動態(tài)生成”和諧統(tǒng)一的過程。備課首先應該先備學生，教師應熟悉學生的認知水平和學習的薄弱之處，要換位思考，真正從學生的角度審視問題。針對這個問題，筆者認為，概念的教學是一個值得繼續(xù)探究的過程，是要貫穿在平時的教學過程中，潛移默化地去發(fā)展學生的思維的過程，是一個長遠的過程。如果再上一次，我想把這個問題改成例題，直接改為：求下列函數(shù)的周期：

（1）

（2）

（3）

（4）y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常數(shù)，A≠0，ω>0）

這樣的改動，和原先的問題設置相比，顯然教師的主動性高于學生。

總之，概念教學是數(shù)學“雙基”教學的重要組成部分，學好數(shù)學概念是學習數(shù)學知識的重要前提，學生對數(shù)學概念掌握與理解的程度，直接影響到其它數(shù)學知識的學習。

【參考文獻】

[1] 皮亞杰. 發(fā)生認識論原理[M]. 商務印書館，1996.

[2] 張奠宙. 數(shù)學教育研究導引[M]. 江蘇教育出版社，1998.

（作者單位：江蘇省興化市楚水實驗學校）