例談超級(jí)畫板在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用*

◆侯小華 宮凡玉

作者：侯小華，魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院講師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育信息技術(shù)與教師教育；宮凡玉，魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院全日制教育碩士（264025）。

數(shù)學(xué)具有的抽象性特點(diǎn)決定了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要面對(duì)更多的理解和認(rèn)知困難。將信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)則有可能在一定程度上降低這種困難。這種可能性的實(shí)現(xiàn)取決于教師所選擇的信息技術(shù)種類。雖然美國(guó)2005—2007年的一項(xiàng)調(diào)查研究得出“信息技術(shù)無(wú)助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)”的結(jié)論[1]，但是之所以會(huì)有這種結(jié)論，很有可能是在信息技術(shù)工具的選擇和應(yīng)用上出現(xiàn)偏差，尤其是沒(méi)有深入考慮數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性。超級(jí)畫板作為一款我國(guó)自主開發(fā)設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)幾何軟件，具有許多“各行各業(yè)都能用的普適信息技術(shù)”和“各學(xué)科都能用的普適教育技術(shù)”所缺少的數(shù)學(xué)學(xué)科性。

本文以超級(jí)畫板為例，通過(guò)幾個(gè)例子，談一下服務(wù)學(xué)科教學(xué)的信息技術(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值。

1 提供直觀感知，優(yōu)化知識(shí)形成

要化解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)抽象性所造成的學(xué)習(xí)困難，將抽象內(nèi)容直觀化無(wú)疑是一個(gè)好的方法。數(shù)學(xué)的思想方法都是經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家的歸納概括抽象而成，教材中呈現(xiàn)的都是最終的結(jié)果，體現(xiàn)的是一種“冰冷的美麗”。數(shù)學(xué)教師的教學(xué)所要做的就應(yīng)該是創(chuàng)造條件，讓學(xué)生再次經(jīng)歷知識(shí)（包含數(shù)學(xué)的思想和方法）的形成，以此促成學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的“火熱的思考”。

如在教學(xué)全等三角形時(shí)，通常教師是首先給出一些圖片讓學(xué)生觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)如果將它們疊在一起它們就能重合，從而得出結(jié)論：兩個(gè)能夠完全重合的圖形稱為全等圖形。以上教學(xué)設(shè)計(jì)的實(shí)施并沒(méi)有對(duì)學(xué)生理解全等圖形的概念有不利的影響，但學(xué)生失去一個(gè)了解圖形能夠重合的變化過(guò)程，即缺少了過(guò)程性體驗(yàn)，也不利于后續(xù)形成有效的“數(shù)學(xué)化”。

圖1

如圖1 所示，使用超級(jí)畫板軟件制作的課件可以“化靜為動(dòng)”，通過(guò)對(duì)“平移”“旋轉(zhuǎn)”“折疊”等變換過(guò)程的觀察，學(xué)生“看”到兩個(gè)圖形能夠重合。這里通過(guò)讓圖形自己說(shuō)話，讓學(xué)生通過(guò)自己的觀察、討論、總結(jié)來(lái)得到結(jié)論，往往要比觀察靜止圖片的效果更好。此外，通過(guò)超級(jí)畫板軟件的直觀演示，有利于學(xué)生深入理解全等圖形的本質(zhì)特征，并為今后學(xué)習(xí)全等圖形的證明打下良好基礎(chǔ)。

教師應(yīng)該在全等三角形的教學(xué)中有意識(shí)地滲透“對(duì)應(yīng)”的思想。而“對(duì)應(yīng)”是一個(gè)比較抽象的概念，學(xué)生往往難以一步到位地完全理解和掌握。這種情況下，教師就可以充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，制作課件幫助學(xué)生理解這一概念。圖2 是為介紹“對(duì)應(yīng)”而設(shè)計(jì)的一個(gè)課件片段。教師點(diǎn)擊動(dòng)畫按鈕就可以使綠色的三角形慢慢移動(dòng)到藍(lán)色三角形的位置，從而在動(dòng)態(tài)演示中幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)什么是“對(duì)應(yīng)”。除了動(dòng)畫演示外，還可以通過(guò)拖動(dòng)變量尺的滑條慢慢呈現(xiàn)變化過(guò)程，有意識(shí)地提示學(xué)生分別從邊、角等方面進(jìn)行觀察總結(jié)，進(jìn)而思考得到結(jié)論。以此體現(xiàn)新課程所倡導(dǎo)的讓學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程性體驗(yàn)的理念和要求。

再比如，初一的學(xué)生在遇到判斷“前面帶負(fù)號(hào)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)嗎”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，由于在小學(xué)階段遇到的主要是具體的數(shù)，而到了初中開始出現(xiàn)用字母表示數(shù)，過(guò)去的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和思維水平的局限導(dǎo)致部分學(xué)生在判斷時(shí)出錯(cuò)。為了化解這個(gè)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，數(shù)學(xué)教師可以使用超級(jí)畫板制作“-a 一定是負(fù)數(shù)嗎”的課件，如圖3 所示。首先測(cè)量出數(shù)軸上的任意一點(diǎn)a 的橫坐標(biāo)，修改測(cè)量文本的顯示為紅色的“a= ”，然后作出數(shù)軸上與這個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)-a并測(cè)量其橫坐標(biāo)，再修改測(cè)量文本顯示綠色的為“-a= ”。當(dāng)拖動(dòng)紅色的點(diǎn)a 不斷改變其值時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)a 與-a 的關(guān)系，從而讓學(xué)生理解了“-”的意義，也讓他們了解到a 代表的數(shù)可能是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零，應(yīng)該分類考慮[2]。

圖2

圖3

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要特別重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，而且數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)在每一堂課和每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究解決中。在解決上面“前面帶負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)”問(wèn)題時(shí)就體現(xiàn)了分類討論的思想。但是，學(xué)生對(duì)這一思想的認(rèn)識(shí)可能需要不斷地深化。因此，課后還可將問(wèn)題進(jìn)行延伸，讓學(xué)生自主探索a 與1/a、a 與2a 之間的大小關(guān)系。這樣既鞏固了知識(shí)和思想方法的掌握，又培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題探究意識(shí)和能力。

中學(xué)數(shù)學(xué)里有些內(nèi)容在過(guò)去是說(shuō)不清的，如一張紙對(duì)折30 次后有多厚？這個(gè)問(wèn)題很多時(shí)候被用來(lái)讓學(xué)生受到震撼，以此說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)的局限性。但230具體有多大，許多人并不了解。實(shí)際上這個(gè)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)的指數(shù)增長(zhǎng)問(wèn)題，它的很重要的一個(gè)意義在于幫助學(xué)生理解指數(shù)的爆炸性增長(zhǎng)。沒(méi)有計(jì)算機(jī)工具，人們可以用估算的方式得到近似數(shù)，但是使用超級(jí)畫板，中學(xué)數(shù)學(xué)中面對(duì)的一切計(jì)算問(wèn)題就都不再是問(wèn)題了。與此問(wèn)題相關(guān)的是比較31000和10003的大小。圖4 所示是在超級(jí)畫板中分別計(jì)算的31000和10003的結(jié)果。運(yùn)算結(jié)果的呈現(xiàn)，學(xué)生可以立馬從觀察結(jié)果上領(lǐng)會(huì)“爆炸性”的意義，誰(shuí)大誰(shuí)小也顯而易見(jiàn)。

圖4

2 顯示變化，消除疑惑

現(xiàn)實(shí)中，不僅是學(xué)生，一些中學(xué)數(shù)學(xué)教師也對(duì)數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題心存疑惑。這些問(wèn)題的形成有的與教材的編寫有關(guān)，如中學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多規(guī)定，弄清這些規(guī)定的合理性并不是簡(jiǎn)單的事情。另一方面，有些問(wèn)題與數(shù)學(xué)教學(xué)的工具有關(guān)。

如初中學(xué)習(xí)繪制二次函數(shù)圖像時(shí)，為什么在描出五點(diǎn)后用“光滑的曲線”將這些點(diǎn)連接起來(lái)？如果利用直線段連接就無(wú)法做出二次函數(shù)的圖形嗎？由于二次函數(shù)圖像是由無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)組成的，而這無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)組成的圖像事實(shí)上是一條光滑的曲線拋物線，所以在五點(diǎn)作圖時(shí)要用光滑的曲線連接。這里應(yīng)該是先有“二次函數(shù)的圖像是光滑的拋物線”，然后才有“用光滑曲線連接五個(gè)點(diǎn)”。傳統(tǒng)教室里，教師用黑板、粉筆授課時(shí)用光滑曲線連接的合理性正在于此，而不是一個(gè)必須的規(guī)定。

圖5

其實(shí)只要描點(diǎn)足夠多，即使用直線段連接仍然可以做出二次函數(shù)的比較準(zhǔn)確的圖像。圖5、圖6 所示課件可用來(lái)說(shuō)明“用光滑曲線連接”的合理性和正確性。圖5 是在（-3，3）區(qū)間上描9 個(gè)點(diǎn)后用直線段連接這些點(diǎn)作出的y=x2圖像，圖6 則是（-3，3）區(qū)間上描100 個(gè)點(diǎn)后用直線段連接這些點(diǎn)作出的y=x2圖像。從兩個(gè)圖像中一方面可以看出描點(diǎn)數(shù)的多少對(duì)函數(shù)圖像準(zhǔn)確性的影響，另一方面也可以看到哪怕是點(diǎn)之間用直線段連接，只要描點(diǎn)足夠多，一樣可以做出“準(zhǔn)確”的二次函數(shù)圖像，從而幫助學(xué)生加深對(duì)“函數(shù)圖像實(shí)際上是點(diǎn)的集合”的認(rèn)識(shí)。

圖6

3 模擬實(shí)驗(yàn)，深化理解

概率是典型的源于生活和經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)意識(shí)，幫助學(xué)生理解偶然性和必然性的關(guān)系。中學(xué)數(shù)學(xué)教材中列舉了轉(zhuǎn)盤和蒲豐投針實(shí)驗(yàn)。這些內(nèi)容緊密聯(lián)系生活情境，無(wú)論是對(duì)于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還是幫助他們加深對(duì)概率的認(rèn)識(shí)，都有幫助。利用信息技術(shù)制作課件模擬這些實(shí)驗(yàn)，不僅可以將需要反復(fù)操作的實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單化，而且能夠多次重復(fù)。通過(guò)增加實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)還能使實(shí)驗(yàn)結(jié)果更趨穩(wěn)定和準(zhǔn)確。

利用超級(jí)畫板來(lái)模擬概率實(shí)驗(yàn)具有方便靈活的優(yōu)點(diǎn)。比如在轉(zhuǎn)盤實(shí)驗(yàn)的課件中（圖7），除了在實(shí)驗(yàn)時(shí)可以讓指針隨機(jī)停止以外，還可以通過(guò)修改相關(guān)參數(shù)來(lái)調(diào)整指針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，而常規(guī)情況下用硬紙板制成的教具很難實(shí)現(xiàn)這個(gè)效果。通過(guò)建立動(dòng)畫和統(tǒng)計(jì)表格的關(guān)聯(lián)，超級(jí)畫板在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中還能夠自動(dòng)記錄下實(shí)驗(yàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)。如圖8 是超級(jí)畫板資源庫(kù)中的投針試驗(yàn)課件，通過(guò)這個(gè)課件可以找到π 的近似值。

圖7

圖8

通過(guò)上面超級(jí)畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)應(yīng)用案例，不難發(fā)現(xiàn)合理使用信息技術(shù)可以有效地提高教學(xué)效率，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，化解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的疑惑，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式和學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

信息技術(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)整合的途徑和方法是多樣的，其效果也是某些傳統(tǒng)教學(xué)手段難以比擬的。教師應(yīng)在發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)優(yōu)勢(shì)的前提下，積極探索信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的有效整合，以求提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率。

[1]張景中,彭翕成.數(shù)學(xué)教育技術(shù)[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2]李傳中,左傳波.超級(jí)畫板范例教程[M].北京:科學(xué)出版社,2004.