圓周的基本群的一個注記

趙正波

（渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西渭南 714099）

圓周的基本群的一個注記

趙正波

（渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西渭南 714099）

文章改進(jìn)了圓周上道路提升引理的證明，并給出對道路提升求法的改進(jìn)，該方法有普遍的適用性，可以用此方法求得每一個道路的提升，增強了對圓周的基本群概念的直觀認(rèn)識，把道路提升由存在提升到可求階段.

拓?fù)?；拓?fù)淙?；道路；圓周；基本群

基本群是拓?fù)淇臻g中一個常見的拓?fù)湫再|(zhì).用基本群可通過區(qū)分拓?fù)淇臻g的單連通和復(fù)連通性來研究拓?fù)淇臻g的性質(zhì).一般的點集拓?fù)浣滩娜缥墨I(xiàn)［1］等對單連通的概念只是作了介紹，對于基本群的進(jìn)一步討論是在代數(shù)拓?fù)渲羞M(jìn)行［1-2］.在基本群的介紹中首先是關(guān)于單連通性的平凡群，再就是最簡單的非平凡群整數(shù)加群，其對應(yīng)的最簡單的拓?fù)淇臻g就是圓周.在圓周的基本群討論中，其核心的工具是道路提升.下面我們通過對道路提升引理的證明進(jìn)行改進(jìn)，簡化道路提升的求法，并且可以使得一個具體的圓周上的回路的道路提升的求法變得可以操作.

先介紹相關(guān)的一些基本概念，對于未介紹的一些拓?fù)涓拍?，參閱文獻(xiàn)［1-3］等，并且由于數(shù)理邏輯的發(fā)展［4］，我們可以把一些證明的原理和過程用命題化的標(biāo)準(zhǔn)，使得討論過程更加清晰.

1 圓周的拓?fù)淙?/h2>

定義1 設(shè)（G，·）是一個群，也是一個拓?fù)淇臻g，并且映射p：G×G→G，p（x，y）=x·y和映射r：G→G，r（x）=x-1都是連續(xù)的，其中p是對于任何（x，y）∈G×G；r是對于任意的x∈G，則稱（G，·）是一個拓?fù)淙海?/p>

例如，實數(shù)加群是一個拓?fù)淙海畧A周（S1，·）是一個拓?fù)淙海渲羞\算·為復(fù)數(shù)的乘法，即對于任何的x =（x1，x2），y=（y1，y2）∈S1，x·y=（x1y1-x2y2，x1y2+x2y1）．

單位元為（1，0）=（cos2kπ，sin2kπ）.

引理1［1］指數(shù)映射ex：R→S1，ex（t）=（cos2πt，sin2πt）=ei2πt滿足：

（1）映射ex是一個連續(xù)滿射，并且是從（R，+）到（S1，·）的一個同態(tài)；

（2）設(shè)t1，t2∈R，則ex（t1）=ex（t2）當(dāng)且僅當(dāng)t1-t2∈Z；

2 圓周的道路提升

3 圓周的基本群

圓周上可以由不同的方法構(gòu)造道路提升，但是它們又是唯一的，文獻(xiàn)［1］等中有下面的討論給予說明.并且由唯一的道路提升可以定義道路的映射度.并由定理3保證基本群是同倫不變量.

從上面的比較可以看出，用分段求圓周的道路提升映射明顯比把道路進(jìn)行壓縮使其在一一對應(yīng)的范圍內(nèi)求道路提升映射更簡單和易于操作.對于道路族的提升引理的證明過程中道路提升映射的構(gòu)造也有類似的方法，改進(jìn)圓周的基本群的討論中的關(guān)鍵提升映射的構(gòu)造，從理論的證明和實際可操作的構(gòu)造都大大的簡化.

［1］熊金城.點集拓?fù)渲v義［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］尤承業(yè).基礎(chǔ)拓?fù)渲v義［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1997.

［3］梁基華，蔣繼光.拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［4］王國俊.數(shù)理邏輯引論與歸結(jié)原理［M］.第2版.北京：科學(xué)出版社，2006.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

Note to the Fundamental Group of Circle

ZHAO Zheng-bo
（School of Mathematics and Information Science，Weinan Normal University，Weinan 714099，China）

It has improved the proof of the lifting lemma of path on circle，by giving some examples of path on circle，which strengthening the comprehension of fundamental group directly.It has also given out the calculus methods of a fundamental group.

topology；topological group；path；circle；fundamental group

O189.1

A

1009-5128（2014）19-0014-03

2014-07-03

陜西省重點扶持學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)科基金資助項目：模糊謂詞演算系統(tǒng)的研究（14SXZD006）；渭南師范學(xué)院研究生專項科研項目：參數(shù)Kleene邏輯系統(tǒng)研究（08YKZ033）

趙正波（1966—），男，陜西華縣人，渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師，理學(xué)碩士，主要從事非經(jīng)典邏輯研究.