過圓頂點(diǎn)v＝的小球做平拋運(yùn)動嗎

何勇 高文清

（新疆兵團(tuán)二中 新疆烏魯木齊 830002）

短文薈萃

何勇 高文清

（新疆兵團(tuán)二中 新疆烏魯木齊 830002）

【例題】半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，頂部有一小物塊質(zhì)量為m，如圖1所示．今給小物塊一個水平初速度，則物塊將

A．沿球而滑至M點(diǎn)

B．先沿球面滑至某點(diǎn)N再離開球面做斜下拋運(yùn)動

C．按半徑大于R的新圓弧軌道運(yùn)動

D．立即離開半圓球做平拋運(yùn)動

圖1

分析：這道題是對圓周運(yùn)動最高點(diǎn)速度v0＝的考查．可以分析出，物塊在最高點(diǎn)當(dāng)v0＝時，只受重力，對圓球無壓力，故可以認(rèn)為物塊將做平拋運(yùn)動．但是，再仔細(xì)想想這其中似乎有一定的問題：會不會物塊此時不受壓力，此后會與軌道有擠壓呢？或者，物塊先做一段平拋運(yùn)動，隨后再沿圓面滑下呢？物塊究竟做什么運(yùn)動呢？現(xiàn)對物塊的運(yùn)動進(jìn)行如下分析．

方法1：利用函數(shù)方法求證

建立坐標(biāo)系，用平拋運(yùn)動和曲線運(yùn)動軌跡的函數(shù)方程，證明物塊運(yùn)動軌跡（拋物線）與圓弧無交點(diǎn)（頂點(diǎn)除外）．

證明：以O(shè)點(diǎn)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．圓的軌跡方程

圖2

若兩運(yùn)動軌跡有交點(diǎn)，則有y1＝y(tǒng)2，即

可以推出x＝0．

所以，兩軌跡只于初始點(diǎn)拋物線和圓有交點(diǎn)，即小球在圓頂部v0＝時做平拋運(yùn)動至落地．

方法2：比較水平位移求證

選取任意相同水平高度，比較“平拋運(yùn)動的水平位移總大于圓周運(yùn)動的水平位移”．

證明：選取任意相同水平高度，設(shè)圓上A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的連線OA與x軸的夾角為θ，如圖3所示．

圖3

由小物塊做平拋運(yùn)動，可得

由圓上的A點(diǎn)的幾何關(guān)系，可得

所以，小球離開半圓球頂部后做平拋運(yùn)動至落地．

2014- 03- 12）