一類三維動(dòng)力系統(tǒng)的分岔及混沌分析

張宇功，范學(xué)良，王碧軒

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

一類三維動(dòng)力系統(tǒng)的分岔及混沌分析

張宇功，范學(xué)良，王碧軒

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

對(duì)一類三維非線性混沌金融系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特征分析，得到了模型方程的三個(gè)平衡點(diǎn)，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了討論．通過數(shù)值仿真得到了系統(tǒng)的分岔圖及Lyapunov指數(shù)圖，進(jìn)而分析了參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性及分岔的影響．該研究對(duì)理解各種金融政策的杠桿原理有參考意義．

金融系統(tǒng)；穩(wěn)定性；分岔；混沌；Lyapunov指數(shù)；數(shù)值仿真

社會(huì)經(jīng)濟(jì)在運(yùn)行過程中具有不穩(wěn)定性和復(fù)雜性，有時(shí)外界條件的微小變化都會(huì)引起整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)蕩．在社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，由于非線性因素的相互作用，各種問題日趨復(fù)雜化，系統(tǒng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)也呈現(xiàn)出多樣性和復(fù)雜性[1-2]．金融系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，金融危機(jī)是該系統(tǒng)產(chǎn)生的一種混沌現(xiàn)象．進(jìn)入20世紀(jì)90年代以來，世界性金融危機(jī)不斷爆發(fā)，面對(duì)金融危機(jī)時(shí), 各國政府都會(huì)采取諸如財(cái)經(jīng)政策或金融政策等宏觀調(diào)控手段來進(jìn)行調(diào)控，以使其金融市場(chǎng)恢復(fù)正常的經(jīng)濟(jì)秩序，但干預(yù)的有效性十分有限[3-4]．金融系統(tǒng)的不穩(wěn)定性和復(fù)雜性使精確的經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)受到很大限制，合理的預(yù)期行為也變得復(fù)雜起來[5-6]，因此，有必要對(duì)這類復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行系統(tǒng)的研究．通過研究系統(tǒng)周期解的失穩(wěn)、分岔、倍周期分岔、各分岔點(diǎn)值的位置及復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)人混沌的道路等，可以揭示復(fù)雜現(xiàn)象發(fā)生的原因，對(duì)復(fù)雜連續(xù)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分析、預(yù)測(cè)與控制有指導(dǎo)意義。本文以一類三維非線性的混沌金融系統(tǒng)為研究對(duì)象，根據(jù)模型方程得到了系統(tǒng)的三個(gè)平衡點(diǎn)，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；通過數(shù)值仿真得到了系統(tǒng)的分岔圖及Lyapunov指數(shù)圖，進(jìn)而分析了參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性及分岔的影響，對(duì)理解各種金融政策的杠桿原理有參考作用．

1 系統(tǒng)模型

文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]中建立了一個(gè)由生產(chǎn)子塊、貨幣證券子塊和勞動(dòng)力子塊所組成的三維混沌金融系統(tǒng)模型[9]：

式中，x表示利率，y表示投資需求，z表示價(jià)格指數(shù)，a為儲(chǔ)蓄量，b為投資成本，c為商品需求彈性．

通過穩(wěn)定性理論研究的方法，令系統(tǒng)（1）的左邊微分項(xiàng)為零，可得：

2 數(shù)值仿真

取參數(shù)a=0.9，b=0.2，c=1.2，初值分別取(3,1,5)和(3.1,1.1,5.1)，利用Matlab軟件進(jìn)行仿真，可得金融動(dòng)力系統(tǒng)（1）的時(shí)間響應(yīng)圖，見圖1．

圖1 初值分別為 (3, 1, 5) 和 (3.1, 1.1, 5.1) 時(shí)系統(tǒng) (1) 的時(shí)間響應(yīng)圖 (a = 0.9, b = 0.2, c = 1.2)

從圖1可以看出，若系統(tǒng)初始條件有微小差異，隨著時(shí)間的延長，圖中兩條重合的曲線會(huì)逐漸變成兩條分開的曲線，這說明三維動(dòng)力系統(tǒng)的混沌行為越來越突出．通過系統(tǒng)的相圖（見圖2）也可以看出，隨著時(shí)間延長，系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象也越發(fā)明顯．通過系統(tǒng)在x-z平面的投影相圖及龐加萊截面圖（見圖3）也可以看出系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象．

圖2 初值為 (3, 1, 5) 時(shí)系統(tǒng) (1) 的相圖 (a = 0.9, b = 0.2, c = 1.2)

圖3 初值為 (3, 1, 5) 時(shí)系統(tǒng) (1 )的投影相圖及龐加萊截面圖 (a = 0.9, b = 0.2, c = 1.2)

下面將通過系統(tǒng)的相圖來研究系統(tǒng)中儲(chǔ)蓄量a對(duì)系統(tǒng)的影響．令b=0.2，c=1.2，初值取(3,1,5)，a取不同值時(shí)系統(tǒng)的相圖見圖4．

圖4 初值為 (3, 1, 5), a取不同值時(shí)系統(tǒng) (1) 的相圖

由圖4可知，a越小，系統(tǒng)的波動(dòng)性越大，a過于小時(shí)還會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的局面，但a也不能太大，否則，將會(huì)使經(jīng)濟(jì)缺乏活力．

Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要定量指標(biāo)，它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率．我們知道穩(wěn)定系統(tǒng)的相軌線相應(yīng)于趨向某個(gè)平衡點(diǎn)，如果越來越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，就可能出現(xiàn)分岔及混沌現(xiàn)象．判斷一個(gè)非線性系統(tǒng)是否存在混沌運(yùn)動(dòng)，可以計(jì)算它的Lyapunov指數(shù)λ是否為正值，因?yàn)橐粋€(gè)正的Lyapunov指數(shù)意味著在系統(tǒng)相空間中，無論初始兩條軌線的間距多么小，其差別都會(huì)隨著時(shí)間的演化而成指數(shù)率的增加以致達(dá)到無法預(yù)測(cè)，這就是混沌現(xiàn)象．

下面用Lyapunov指數(shù)圖譜及分岔圖來刻畫系統(tǒng)出現(xiàn)分岔及混沌現(xiàn)象的發(fā)生．當(dāng)a=0.9，b=0.2，初值為(3,1,5)時(shí)，需求彈性即參數(shù)c對(duì)系統(tǒng)的影響見圖5和圖6．由圖5和圖6可知，系統(tǒng)在c=0.86時(shí)進(jìn)入混沌現(xiàn)象，在c=1.313時(shí)由混沌現(xiàn)象進(jìn)入三周期運(yùn)動(dòng)，在c=1.59時(shí)從三周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，在c=1.92時(shí)從混沌現(xiàn)象又進(jìn)入一周期運(yùn)動(dòng)．

圖5 初值為(3, 1, 5)時(shí)系統(tǒng)(1)的分岔圖(a = 0.9, b = 0.2)

圖6 初值為(3, 1, 5)時(shí)系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)圖(a = 0.9, b = 0.2)

3 結(jié) 語

從上述理論分析及數(shù)值模擬結(jié)果可知，系統(tǒng)中各參數(shù)不合適的組合是引起經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的根源，它有可能使系統(tǒng)趨向混沌而失控，也有可能使系統(tǒng)陷于停滯僵化的狀態(tài)．因此，無論在嚴(yán)重的通貨膨脹時(shí)期，還是在經(jīng)濟(jì)蕭條時(shí)期，轉(zhuǎn)換機(jī)制、調(diào)整結(jié)構(gòu)，永遠(yuǎn)是金融系統(tǒng)改革的首要任務(wù)．本文的理論分析及數(shù)值可為決策機(jī)構(gòu)提供調(diào)控的理論依據(jù)，具有一定的實(shí)際意義．

[1] Lerc M, Coullet P, Tirapegui E. Lorenz bifurcation: instabilities in quasireversible systems [J]. Physical Review Letters, 1999, 19(11): 3820-3823.

[2] Sengupta J K, Sfeir R E. Nonlinear dynamics in foreign exchange markets [J]. International Journal of Systems Science, 1998, 29(11): 1213-1224.

[3] Brunella M, Miari M. Topological equivalence of a place vector filed with its principal past defined through Newton polyhedral [J]. Journal of Differential Equations, 1990, 85(6): 338-366.

[4] China A, Llibre. Algebraic and topological classification of the homogeneous cubic vector field in the place [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1990, 47(4): 420-448.

[5] ?mer Morgül. Necessary condition for observer-based chaos synchronization [J]. Physical Review Letters, 1999, 82(9): 77-80.

[6] 楊小京. 一類平面齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)的局部相圖[J]. 系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué), 1999, 19(4): l50-156.

[7] 馬海軍, 陳予恕. 一類金融系統(tǒng)分岔混沌拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與全局復(fù)雜性研究: I [J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué), 2001, 22(11): 1119-1128.

[8] 馬海軍, 陳予恕. 一類金融系統(tǒng)分岔混沌拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與全局復(fù)雜性研: II [J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué), 2001, 22(11): 1236-1241.

[9] 黃登仕, 李后強(qiáng). 非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論和方法[M]. 成都: 四川大學(xué)出版社, 1993: 55-60.

Analysis on Bifurcation and Chaos For A-Class Three-Dimensional Dynamical System

ZHANG Yugong, FAN Xueliang, WANG Bixuan
(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

The paper gives three equilibrium points of the model equation and probes into its stability through the analysis on the dynamical characteristics of a-class three-dimensional nonlinear chaotic financial systems. Meanwhile, the bifurcation diagrams and Lyapunov exponent graphs are simulated by Matlab and then the impact on stability and bifurcation of the system is analyzed based on different parameters. This research provides certain significance to understanding the lever principle of the various financial policies.

Financial System; Stability; Bifurcation; Chaos; Lyapunov Exponent; Numerical Simulation

O193

A

1674-3563(2014)04-0032-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.04.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-11-26

張宇功(1987- )，男，甘肅蘭州人，碩士研究生，研究方向：運(yùn)籌學(xué)與控制論