磁電彈性圓環(huán)板屈曲問題的哈密頓體系方法

高慧霞，何文明

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035)

磁電彈性圓環(huán)板屈曲問題的哈密頓體系方法

高慧霞，何文明

(溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035)

運用哈密頓體系方法給出了磁電彈性圓環(huán)板屈曲問題的解析解，并對磁電彈性圓環(huán)板的純彎曲問題進行了分析．算例結(jié)果表明，采用哈密頓體系方法求解磁電彈性圓環(huán)板屈曲問題非常方便快捷．關鍵詞：磁電彈性圓環(huán)板；哈密頓體系方法；本征解

磁電彈性耦合材料是壓磁材料和壓電材料的復合體，是一種智能材料，它具有同時感知磁、電、力影響的能力，并且可以實現(xiàn)它們之間的相互轉(zhuǎn)化，即磁場或電場會導致其變形，而材料變形時也可以產(chǎn)生電場和磁場，這種獨特的機電和磁力轉(zhuǎn)換能力使得這種材料在工程中的應用十分廣泛．

文獻[1]采用調(diào)和函數(shù)的一些函數(shù)作線性組合，給出了磁電彈性圓環(huán)板的純彎曲問題的解析解，文獻[2]由控制方程出發(fā)，采用湊合法給出了磁電彈性旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的解析解，文獻[3]采用微分求積法和狀態(tài)空間法相結(jié)合的半解析數(shù)值方法對以上問題進行了求解，這些文獻所采用的方法都屬于湊合法，具有一定的局限性：求解過程中，由于是一類變量的求解，所以不可避免地會有高階偏微分方程出現(xiàn)；假設的使用只適應于一些簡單的機械模型，對于復雜局面很難給出合理的假設；所得的解是不完整的，只能近似地滿足邊界條件．

哈密頓體系方法不同于一類變量的求解——拉格朗日體系的解法，它是將原變量和對偶變量組成的狀態(tài)空間引入到彈性力學，然后再利用分離變量法，導出橫方向的本征問題，通過對各階重本征值解的約當型形式的分析進行求解，通過理性推導，逐步進行下去．哈密頓體系方法已應用到很多問題的研究中，文獻[4]給出了哈密頓體系下機電耦合問題的基本方程，文獻[5]、文獻[6]、文獻[7]分別講述了哈密頓體系方法在彈性圓板熱屈曲問題、粘彈性懸臂梁彎曲變形問題及功能梯度壓電板 / 管靜動力分析中的應用，但關于哈密頓體系方法在磁電彈性圓環(huán)板中的應用，目前還未見到相關文獻報道．本文將在磁電彈性圓環(huán)板屈曲問題中引入文獻[8]中的哈密頓體系方法，通過理性推導給出磁電彈性圓環(huán)板屈曲問題的解析解．

1 磁電彈性圓環(huán)板屈曲問題的基本方程

磁電材料極化后為橫觀各向同性材料，設極化方向為z軸方向，考慮磁電圓環(huán)板內(nèi)半徑為r0，外半徑為r1，厚為h，選取柱坐標(r,θ,z)，z軸沿板的厚度方向，坐標原點為板心，可得磁電彈性圓環(huán)板的軸對稱問題的基本方程，也就是磁電材料的本構(gòu)方程、幾何方程和平衡方程．

本構(gòu)方程為：

其中，σr、σθ、σz、τzr為應力，εr、εθ、εz、γzr為應變，c11、c12、c13、c33、c44為彈性系數(shù)，e31、e33、e15為壓電系數(shù)，d31、d33、d15為壓磁系數(shù)，λ11、λ33為介電系數(shù)，μ11、μ33為磁性系數(shù)，g11、g33為磁電系數(shù)，ur、uz為位移，Er、Ez為電場強度，Hr、Hz為磁場強度，φ為電勢，ψ為磁勢，Dr、Dz為電位移，Br、Bz為磁感應強度．

勢能可由如下積分表示，記作Π．

2 導入哈密頓系統(tǒng)

3 問題的零本征解

對方程（6）式采用分離變量法來求解，就可得到磁電彈性圓環(huán)板屈曲問題的解，即得到ur,．下面進行變量分離．令

因為有自由邊界的存在，原問題必然會存在零本征解，H的零本征值λ=0是很重要的，此時一定產(chǎn)生重根，并且會出現(xiàn)不同階數(shù)的約當型．本文將討論零本征解，下文會具體地將這些解找出來并賦予其物理意義．現(xiàn)在來尋求這些零本征解，即當λ=0時，方程為：

這組解的物理意義分別為：均勻力拉伸、均勻電場和均勻磁場．

下一步還應尋找更下一階的約當型．二階約當型的控制方程為：=，(i=1,2,3)，因為此方程的解不滿足問題的邊界條件，所以求解過程到此結(jié)束．以上的求解已表明，零本征解已全部找到，不會再有別的了，因此該約當型鏈到此中斷，即不存在更高階的約當型解．

4 哈密頓體系方法的應用

下面將以文獻[1]中具體的例子為例，來介紹哈密頓體系方法對該問題的求解過程．

文獻[1]中給出的純彎曲問題的邊界條件為：

對應的應力場分布結(jié)果為：

然后再代入到ur、uz、φ、ψ中才可以得到位移、電勢和磁勢的顯示表達式．

本文方法的求解過程如下.

通過對比可以發(fā)現(xiàn)哈密頓體系方法更為方便．

[1] 陳江瑛, 侯鵬飛, 丁皓江. 磁電彈性圓環(huán)板的三個解析解[J]. 寧波大學學報, 2002, 15(4): 18-21.

[2] 陳江瑛, 丁皓江, 侯鵬飛. 磁電彈性旋轉(zhuǎn)圓環(huán)(圓盤)的三維分析[J]. 浙江大學學報, 2003, 37(4): 440-444.

[3] 聶國雋, 仲政. 功能梯度磁電彈性圓板的三維動力特性分析[J]. 同濟大學學報, 2009, 37(6): 749-754.

[4] 邊文鳳, 孫芳, 王彪. 哈密頓體系下機電耦合問題的基本方程[J]. 計算力學學報, 2005, 22(4): 411-414.

[5] 徐新生, 邱文彪, 周震寰, 等. 哈密頓體系下的彈性圓板熱屈曲問題[J]. 大連理工大學學報, 2008, 48(1): 1-5.

[6] 張維祥, 邵興, 徐新生, 等. 粘彈性懸臂梁彎曲變形的哈密頓體系方法[J]. 蘭州理工大學學報, 2009, 35(3): 127-130.

[7] 代海濤, 程偉, 李明志. 哈密頓體系下功能梯度電板/管靜動力三維解[J]. 北京航空航天大學學報, 2008, 34(1): 104-107.

[8] 鐘萬勰. 彈性力學求解新體系[M]. 大連: 大連理工大學出版社, 1995: 102-116.

Hamiltonian System Approach to the Bending Problem of Magnetoelectricity Elastic Annular Plate

GAO Huixia, HE Wenming
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

The Hamiltonian system approach is used to propose an analytical solution to the blending problem of magnetoelectricity elastic annular plate, and the pure bending problem of the magnetoelectricity elastic annular plate is analyzed as well. Numerical results show that the Hamiltonian system approach to the problem is very convenient.

Magnetoelectric Elastic Annular Plate; Hamiltonian System Approach; Eigensolution

O24

A

1674-3563(2014)04-0017-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.04.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-09-28

高慧霞(1969- )，女，河南濮陽人，碩士研究生，研究方向：計算機數(shù)學與復雜系統(tǒng)控制