電子橫移伺服LQR最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

聞霞 吳龍 晉芳偉

(三明學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院1,福建 三明 365004;三明機(jī)械CAD工程研究中心2,福建 三明 365000)

電子橫移伺服LQR最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

聞霞1,2吳龍1,2晉芳偉1,2

(三明學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院1,福建 三明 365004;三明機(jī)械CAD工程研究中心2,福建 三明 365000)

為了提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度和動(dòng)態(tài)性能,將LQR最優(yōu)控制算法應(yīng)用于高速經(jīng)編機(jī)電子橫移伺服控制系統(tǒng)。建立了伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間模型,引入了一類具有指數(shù)衰減度的二次型函數(shù)作為系統(tǒng)性能指標(biāo)。仿真結(jié)果表明,所提出的電子橫移伺服LQR最優(yōu)控制算法易于工程實(shí)現(xiàn),保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,具有良好的頻響特性,改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,實(shí)現(xiàn)了無靜差高精度控制。

電子橫移 伺服系統(tǒng) 線性二次調(diào)節(jié)器 最優(yōu)控制 PID

0 引言

目前,帶有電子橫移系統(tǒng)的經(jīng)編機(jī)能夠?qū)崿F(xiàn)高檔、復(fù)雜、小批量的產(chǎn)品生產(chǎn),優(yōu)勢明顯[1]。進(jìn)入21世紀(jì),在電子送經(jīng)系統(tǒng)成為當(dāng)前國產(chǎn)經(jīng)編機(jī)標(biāo)準(zhǔn)配置之后[2],進(jìn)一步開發(fā)電子橫移系統(tǒng)成為我國新一代經(jīng)編數(shù)控技術(shù)的必然發(fā)展趨勢。

近年來,在經(jīng)編機(jī)電子橫移系統(tǒng)的研究方面,國內(nèi)已取得一些研究成果。文獻(xiàn)[3]～[5]探討了經(jīng)編電子橫移系統(tǒng)原理,建立了動(dòng)力學(xué)模型,提出了硬件設(shè)計(jì)方案。文獻(xiàn)[6]～[7]研究了采用直線伺服電機(jī)直驅(qū)橫移機(jī)構(gòu)的方法。

針對高速經(jīng)編機(jī)電子梳櫛橫移的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),采用改進(jìn)PID算法相關(guān)的文獻(xiàn)有[8]～[10]。

當(dāng)前文獻(xiàn)中所設(shè)計(jì)的基于PID的控制算法,已經(jīng)無法滿足經(jīng)編伺服系統(tǒng)對系統(tǒng)穩(wěn)定性、魯棒性、高響應(yīng)速度和高跟蹤精度等系統(tǒng)性能指標(biāo)的苛刻要求。本文給出了電子橫移伺服線性二次調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator,LQR)最優(yōu)控制算法,并通過仿真分析驗(yàn)證了算法的有效性。

1 經(jīng)編機(jī)電子橫移系統(tǒng)工作原理

由于直線伺服系統(tǒng)價(jià)格高昂,目前經(jīng)編機(jī)電子橫移系統(tǒng)主要采用旋轉(zhuǎn)型交流伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)梳櫛橫移機(jī)構(gòu)。該系統(tǒng)一般主要由上位機(jī)、主控系統(tǒng)、伺服系統(tǒng)、機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)和梳櫛五部分構(gòu)成,其原理如圖1所示。

上位機(jī)一般由工控機(jī)和觸摸屏構(gòu)成,主要實(shí)現(xiàn)人機(jī)交互、生產(chǎn)過程監(jiān)控、產(chǎn)品數(shù)據(jù)存儲、網(wǎng)絡(luò)管理、工藝參數(shù)修改和花型文件加載等功能。主控系統(tǒng)可由PLC或DSP、運(yùn)動(dòng)控制卡等組成,主要功能包括與上位機(jī)通信、接收經(jīng)編機(jī)主軸信號以及計(jì)算并向伺服驅(qū)動(dòng)器發(fā)送橫移控制信號。伺服系統(tǒng)由伺服驅(qū)動(dòng)器、伺服電機(jī)組成,用于驅(qū)動(dòng)梳櫛。機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)主要由同步帶傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、滾珠絲桿組成:同步帶傳動(dòng)機(jī)構(gòu)用于將伺服電機(jī)連接到滾珠絲桿,滾珠絲桿能將伺服電機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)化為直線運(yùn)動(dòng),使梳櫛進(jìn)行有規(guī)律的往復(fù)、間歇式運(yùn)動(dòng)[11]。

2 伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

伺服系統(tǒng)是用來精確地跟隨或復(fù)現(xiàn)某個(gè)過程的反饋控制系統(tǒng),又稱隨動(dòng)系統(tǒng)。在很多情況下,伺服系統(tǒng)專指被控制量(系統(tǒng)的輸出量)是機(jī)械位移或位移速度、加速度的反饋控制系統(tǒng),其作用是使輸出的機(jī)械位移(或轉(zhuǎn)角)準(zhǔn)確地跟蹤輸入的位移(或轉(zhuǎn)角)[12]。本文考慮采用結(jié)構(gòu)如圖2所示的交流伺服系統(tǒng)。

圖2 伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Structure of servo system

圖2中:u為輸入控制信號;ω為電機(jī)角速度;φ為輸出信號(旋轉(zhuǎn)角度);伺服電機(jī)慣量J=11.37 Nms2;系統(tǒng)增益K0=136.44 Nms。

2.1 伺服系統(tǒng)開環(huán)頻域分析

式中:T為時(shí)間常數(shù)。

因?yàn)殚_環(huán)系統(tǒng)G0(s)為I型,閉環(huán)系統(tǒng)G1(j0)=1,根據(jù)帶寬定義:

由圖2可知,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:

進(jìn)而可求出系統(tǒng)開環(huán)截止頻率ωc=0.996 rad/s,相角裕度γ=85.3°。由于開環(huán)截止頻率過低,所以我們希望通過設(shè)計(jì)控制器,提高系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率。本文假定設(shè)計(jì)目標(biāo)為(5～6)rad/s。

2.2 伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

為了設(shè)計(jì)伺服系統(tǒng)的LQR控制器,需要進(jìn)一步寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。設(shè)x1=ω,y=x2=φ,x=[x1x2]T,代入?yún)?shù)J=11.37 Nms2,K0=136.44 Nms,則圖2可轉(zhuǎn)化為如圖3所示的變量圖。

圖3 伺服系統(tǒng)狀態(tài)變量圖Fig.3 State vector diagram of servo system

根據(jù)圖3得到伺服系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為:

3 線性二次型最優(yōu)控制器(LQR)設(shè)計(jì)

3.1 LQR控制原理

對于線性時(shí)不變系統(tǒng),可用下面一組方程來描述:

設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型(A,B,C,D)已知,如果希望這樣一個(gè)系統(tǒng)能夠滿足某種最優(yōu)的要求,最簡單的方法是引入線性二次型最優(yōu)控制指標(biāo),即設(shè)計(jì)一個(gè)輸入u(t),使得J最小。

式中:tf為控制作用的終止時(shí)間;S為控制系統(tǒng)終值的某種約束;Q和R分別為對狀態(tài)變量和控制變量的加權(quán)矩陣。

一般情況下,假定Q和R這兩個(gè)矩陣是定常矩陣。為了使J最小,首先構(gòu)造一個(gè)Hamilton函數(shù):

若輸入信號沒有任何約束,則目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值可以通過求解H矩陣對u的導(dǎo)數(shù)所構(gòu)成的方程得出:

從而可以解出最優(yōu)控制信號為:

式中:λ(t)=-P(t)x(t);P(t)為對稱矩陣,它是Riccati方程的解。

令tf趨于無窮,則P(t)趨于一個(gè)常值矩陣,P(t)的一階導(dǎo)數(shù)趨于零,上述微分方程可簡化為:

上式被稱為代數(shù)Riccati方程,其求解就比較容易。因?yàn)樵摲匠潭际蔷仃囘\(yùn)算,用Matlab實(shí)現(xiàn)起來也比較容易。我們設(shè)計(jì)u*(t)=-Kx(t)的狀態(tài)反饋,可得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程,其可表示為:[(A-BK),B, (C-DK),D]。

3.2 LQR控制器的實(shí)現(xiàn)

在本例中,原經(jīng)編伺服系統(tǒng)有一個(gè)極值點(diǎn)為0,屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。我們設(shè)計(jì)最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定且有指定的指數(shù)衰減度,使最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)具有期望的指數(shù)穩(wěn)定性。在這種控制策略中,系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均位于s平面s=-α的左側(cè),其中α＞0。此時(shí)性能指標(biāo)函數(shù)描述為:

等價(jià)的Riccati代數(shù)方程為:P(A+αI)+(A+αI)TP+Q-PBR-1BTP=0。新的最優(yōu)控制策略為u*(t)= -R-1×BTPx(t)。利用Matlab函數(shù)[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R,N)可求得最優(yōu)反饋矩陣K。該算法的目的是在一定的性能指標(biāo)下,使系統(tǒng)的控制效果最佳,即利用最少的控制能量,來達(dá)到最小的狀態(tài)誤差。將K= [k1k2]代入到伺服系統(tǒng)(4)中,期望能保證系統(tǒng)穩(wěn)定,并使得性能指標(biāo)(12)最小。設(shè)r為參考輸入,Kp為開環(huán)增益,加入反饋K=[k1k2]后伺服系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖如圖4所示。

圖4 基于狀態(tài)反饋的伺服系統(tǒng)狀態(tài)變量圖Fig.4 State vector diagram of the servo system based on state feedback

設(shè)計(jì)LQR控制器的關(guān)鍵是選擇加權(quán)矩陣Q和R。在實(shí)際系統(tǒng)允許的情況下,Q選擇得越大,系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間越短;而同樣減小R,系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間也就越短。目前確定加權(quán)矩陣Q和R的普遍方法是采用試湊的方法。該方法的基本原理是:首先進(jìn)行分析初步選取Q和R,通過Matlab仿真判斷其是否符合設(shè)計(jì)要求。如果符合要求,則停止仿真。下面是試湊法的幾個(gè)一般原則。

①Q(mào)、R都應(yīng)是對稱矩陣,Q為正半定矩陣,R為正定矩陣。

②通常選用Q和R為對角線矩陣。實(shí)際應(yīng)用中,通常將R值固定,然后改變Q的數(shù)值,最優(yōu)控制的確定通常在經(jīng)過仿真或?qū)嶋H比較后得到。當(dāng)控制輸入只有一個(gè)時(shí),R成為一個(gè)標(biāo)量數(shù)。

③Q的選擇不唯一。這表明當(dāng)?shù)玫降目刂破飨嗤瑫r(shí),可以有多種Q值的選擇,其中總有一個(gè)對角線形式的Q。

④一般情況下,如果希望輸入信號小,則選擇較大的R矩陣,這樣可以迫使輸入信號變小;否則目標(biāo)函數(shù)將增大,不能達(dá)到最優(yōu)的要求。

通過判斷,系統(tǒng)(4)能觀能控,因此可以設(shè)計(jì)二次型最優(yōu)調(diào)節(jié)器,并且使得閉環(huán)后的系統(tǒng)穩(wěn)定。在設(shè)計(jì)前,首先對Matlab中專門求解連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制問題的函數(shù)lqr( )說明如下:lqr( )的調(diào)用格式為[K, P,E]=lqr(A,B,Q,R,N)。輸入?yún)?shù)中,A為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,B為輸入矩陣,Q為給定的半正定矩陣,R為給定的正的實(shí)對稱矩陣,N為性能指標(biāo)中交叉乘積項(xiàng)的加權(quán)系數(shù)矩陣。返回參數(shù)中,K表示最優(yōu)反饋矩陣,P是Riccati方程P′+PA+ATP+Q-PBR-1BTP=0的解,E則是A-BK的特征值。

4 仿真結(jié)果分析

先將初始權(quán)矩陣設(shè)定為R=1、Q=diag(q1,q2)=diag(1,1),當(dāng)運(yùn)行程序后,得到校正前與校正后天線系統(tǒng)開環(huán)bode圖和階躍響應(yīng)曲線,如圖5和圖6所示。校正后系統(tǒng)響應(yīng)速度變差,并且穩(wěn)態(tài)誤差很大,需要進(jìn)一步調(diào)節(jié)權(quán)矩陣Q(一般保持R不變)和增大開環(huán)增益Kp來優(yōu)化系統(tǒng)。

當(dāng)R=1時(shí),調(diào)節(jié)權(quán)陣Q=diag(q1,q2)中的兩個(gè)權(quán)系數(shù)q1和q2。在調(diào)試中我們發(fā)現(xiàn)q2對系統(tǒng)起到了積分作用,有助于消除靜差,q1對系統(tǒng)起到了微分作用,有助于提高系統(tǒng)響應(yīng)速度。經(jīng)過試湊,使q1=q2=0.001,將開環(huán)增益設(shè)為6時(shí),系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能較好,截止頻率提高到5.46 rad/s,相角裕度為65.9°,精度高、無靜差。響應(yīng)曲線如圖7和圖8所示。最優(yōu)反饋矩陣為K=[0.003 1 0.031 6]。

圖5 校正前后系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線[R=1,Q=diag(1,1)]Fig.5 Logarithmic frequency characteristic curves of open-loop system before and after correction[R=1,Q=diag(1,1)]

圖6 校正前后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線[R=1,Q=diag(1,1),增益Kp=6]Fig.6 Step response curves of system before and after correction [R=1,Q=diag(1,1),Gain Kp=6]

圖7 校正前后系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線[R=1,Q=diag(0.001,0.001)]Fig.7 Logarithmic frequency characteristic curves of open-loop system before and after correction [R=1,Q=diag(0.001,0.001)]

圖8 校正前后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線(R=1,Q=diag(0.001,0.001),增益K″p=6)Fig.8 Step response curves of system before and after correction [R=1,Q=diag(0.001,0.001),Gain K″p=6]

5 結(jié)束語

本文介紹了經(jīng)編電子橫移系統(tǒng)的工作原理,分析了伺服控制系統(tǒng)模型的頻域特性并建立了其狀態(tài)空間描述。

針對高速經(jīng)編機(jī)的特點(diǎn),為了提高伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和跟隨精度,提出了基于LQR的經(jīng)編電子橫移伺服最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)方法。通過仿真算例驗(yàn)證了所提方法的有效性和正確性。

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Design of the Electronic Shogging Servo LQR Optimal Controller

In order to improve steady precision and dynamic performance of the system,the LQR optimal control algorithm is used in the electronic shogging servo control system of the high speed warp knitting machine.The state space model of servo system is established and the quadratic form function with exponential decay rate is introduced as the systematic performance index.The results of simulation show that the proposed electronic shogging servo LQR optimal control algorithm is easy for engineering implementation,and ensures the stability and better frequency response of the system,improves the dynamic characteristics of the system,and realizes high precision control without static error.

Electronic shogging Servo system Linear quadratic regulator(LQR) Optimal control PID

TP271+.4

A

福建省科技廳高校產(chǎn)學(xué)合作科技重大基金資助項(xiàng)目(編號:2011H6023、2012H6018)。

修改稿收到日期:2014-01-20。

聞霞(1980-),女,2007年畢業(yè)于新疆大學(xué)機(jī)械制造及其自動(dòng)化專業(yè),獲碩士學(xué)位,講師;主要從事機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化方面的研究。