采用電磁軸承控制柔性轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速分布的建模和仿真分析

方 鵬，蔣科堅(jiān)

（浙江理工大學(xué)信息學(xué)院，杭州310018）

采用電磁軸承控制柔性轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速分布的建模和仿真分析

方 鵬，蔣科堅(jiān)

（浙江理工大學(xué)信息學(xué)院，杭州310018）

提出了采用電磁軸承支承柔性轉(zhuǎn)子，通過(guò)支承特性的調(diào)節(jié)，改變?nèi)嵝赞D(zhuǎn)子的各階臨界轉(zhuǎn)速的分布位置，使柔性轉(zhuǎn)子順利實(shí)現(xiàn)超臨界運(yùn)行。將電磁軸承支承特性建模融入到經(jīng)典轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的柔性轉(zhuǎn)子有限元建模理論中去，構(gòu)建了電磁軸承支承的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果表明：通過(guò)調(diào)節(jié)電磁軸承的等效剛度，可以明顯改變?nèi)嵝赞D(zhuǎn)子平動(dòng)和錐動(dòng)兩個(gè)剛體臨界轉(zhuǎn)速，而對(duì)一階彎曲和二階彎曲兩個(gè)彎曲臨界轉(zhuǎn)速影響不大。調(diào)節(jié)等效阻尼可明顯減小轉(zhuǎn)子過(guò)臨界時(shí)的振動(dòng)。

電磁軸承；柔性轉(zhuǎn)子；磁懸??；有限元；臨界轉(zhuǎn)速

0 引 言

旋轉(zhuǎn)機(jī)械是工程中常見(jiàn)的一類機(jī)械結(jié)構(gòu)，在石油、化工、能源、電力、航空航天等諸多領(lǐng)域都是至關(guān)重要的關(guān)鍵組成設(shè)備。高速、高旋轉(zhuǎn)精度和輕量化是旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)計(jì)追求的目標(biāo)，致使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由剛性轉(zhuǎn)子發(fā)展為柔性轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)。在轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中，一般認(rèn)為在考慮轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，如果轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)而造成的自身形變不能被忽略，該轉(zhuǎn)子可認(rèn)為是柔性轉(zhuǎn)子。另一種定義，當(dāng)轉(zhuǎn)子的運(yùn)行速度超過(guò)其一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速的70%，可認(rèn)為是柔性轉(zhuǎn)子。由于柔性轉(zhuǎn)子的自身強(qiáng)度相對(duì)較低，運(yùn)行時(shí)的形變和振動(dòng)十分突出。

主動(dòng)電磁軸承（active magnetic bearing，AMB，下文稱電磁軸承）用電磁力把轉(zhuǎn)子懸浮在固定位置，以得到與傳統(tǒng)機(jī)械軸承相類似的支承效果。電磁軸承不僅能提供轉(zhuǎn)子無(wú)接觸的懸浮支承力，更重要的是，電磁軸承可通過(guò)改變控制系統(tǒng)參數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)其支承特性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)的主動(dòng)控制。在目前的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)研究中，有關(guān)機(jī)械軸承彈性支承的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究已經(jīng)頗具規(guī)模，基本上形成了完整的理論體系和分析方法。電磁軸承作為一種新的軸承技術(shù)，為轉(zhuǎn)子支承和改善轉(zhuǎn)子振動(dòng)提出了新的研究?jī)?nèi)容。

在經(jīng)典轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中，對(duì)柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的分析方法主要有傳遞矩陣法和有限元法。傳遞矩陣法中階數(shù)不隨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自由度增大而增大，因而編程簡(jiǎn)單，運(yùn)算速度快，但傳遞矩陣法不易解決轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性問(wèn)題。有限元法是被公認(rèn)為比傳遞矩陣法更為精確的建模方法，但是，其計(jì)算矩陣的階數(shù)按轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)數(shù)量的增加而劇烈增長(zhǎng)，計(jì)算復(fù)雜度較大。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，有限元法的計(jì)算瓶頸得到很大緩解，在近幾十年來(lái)已經(jīng)成為柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)常用的分析工具。柔性轉(zhuǎn)子在不同轉(zhuǎn)速下表現(xiàn)出不同的模態(tài)振型，各個(gè)模態(tài)振型的轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)于柔性轉(zhuǎn)子的各階臨界轉(zhuǎn)速。轉(zhuǎn)子運(yùn)行在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)子共振，嚴(yán)重影響了轉(zhuǎn)子高速運(yùn)行的穩(wěn)定性，甚至造成事故。因此，如何使轉(zhuǎn)子安全地跨越臨界以及超臨界運(yùn)行，是柔性轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)研究的主要問(wèn)題之一。

柔性轉(zhuǎn)子作為轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)的重要內(nèi)容已有較長(zhǎng)的研究歷史，國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)較多。但是，有關(guān)電磁軸承支承的柔性轉(zhuǎn)子研究相對(duì)較少［1］。Arias等［2］為雙盤柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建立了有限元模型，每個(gè)單元視為歐拉梁結(jié)構(gòu)，進(jìn)行不平衡振動(dòng)的計(jì)算和控制。Tseng等［3］提出以影響系數(shù)法計(jì)算不平衡量，以卡爾曼濾波器實(shí)現(xiàn)測(cè)量噪聲消除的轉(zhuǎn)子實(shí)時(shí)動(dòng)平衡方案。李紅偉等［4］采用影響系數(shù)法和振型平衡法分別對(duì)轉(zhuǎn)子的剛性模態(tài)和前兩階撓性模態(tài)進(jìn)行了本機(jī)動(dòng)平衡。Kang等［5］采用基于影響系數(shù)法的自動(dòng)平衡方法，其中不平衡質(zhì)量修正用神經(jīng)PD控制。Dyer［6］指出用影響系數(shù)法對(duì)柔性轉(zhuǎn)子振動(dòng)進(jìn)行控制，不可能通過(guò)在轉(zhuǎn)子上有限數(shù)量的位置（節(jié)點(diǎn)）施加電磁力的方法徹底消除整個(gè)轉(zhuǎn)子（連續(xù)的無(wú)限數(shù)量的節(jié)點(diǎn)）的振動(dòng)。汪希平等［7］和周朝暾等［8］通過(guò)剛性轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)利用電磁軸承剛度變化可以敏感地調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子的剛體臨界轉(zhuǎn)速。謝振宇等［9］通過(guò)柔性轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的一階彎曲固有頻率值受電磁軸承控制參數(shù)變化影響很小。要使轉(zhuǎn)子的一階彎曲固有頻率避開(kāi)工作轉(zhuǎn)速，只能通過(guò)改變轉(zhuǎn)子的本身尺寸來(lái)實(shí)現(xiàn)。Xu（徐旸）等［10］開(kāi)展了基于電磁軸承的柔性轉(zhuǎn)子過(guò)彎曲臨界的實(shí)驗(yàn)，完成了10 MW高溫氣冷堆發(fā)電機(jī)磁軸承實(shí)驗(yàn)臺(tái)架的設(shè)計(jì)工作，轉(zhuǎn)子重3.5 t，長(zhǎng)4.6 m。

本文提出采用電磁軸承支承柔性轉(zhuǎn)子，通過(guò)調(diào)節(jié)支承的剛度阻尼，改變?nèi)嵝赞D(zhuǎn)子各階臨界轉(zhuǎn)速的分布位置，從而使轉(zhuǎn)子的運(yùn)行轉(zhuǎn)速始終避開(kāi)臨界轉(zhuǎn)速，最終達(dá)到抑制振動(dòng)的目的。為此，筆者將經(jīng)典轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)［11-12］中柔性轉(zhuǎn)子有限元建模理論與電磁軸承支承特性建模相結(jié)合，構(gòu)建了電磁軸承支承的柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型。通過(guò)仿真，分析電磁軸承等效剛度和等效阻尼的調(diào)整對(duì)柔性轉(zhuǎn)子前四階臨界轉(zhuǎn)速變化的影響規(guī)律。

1 電磁軸承電磁力建模

電磁軸承是用可控的電磁力把轉(zhuǎn)子懸浮在固定位置，如圖1所示。轉(zhuǎn)子位移分別由兩個(gè)垂直方向的位移傳感器檢測(cè)。如果轉(zhuǎn)子在受到擾動(dòng)后偏離其期望位置，此時(shí)由位移傳感器檢測(cè)出轉(zhuǎn)子的偏移位移，控制器根據(jù)相應(yīng)的控制策略產(chǎn)生控制信號(hào)，然后經(jīng)功率放大器產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)定子繞組的控制電流。電磁軸承定子繞組可以產(chǎn)生主動(dòng)電磁力，使得轉(zhuǎn)子返回到其原來(lái)位置，這樣便可以使轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)地穩(wěn)定懸浮在期望位置了。

圖1 電磁軸承原理

電磁軸承的電磁力經(jīng)線性化后可描述為位移剛度系數(shù)和電流剛度系數(shù)的線性函數(shù)［7］，如下：

式（1）中，ki，kx是電磁軸承電磁力線性化后的電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)。μ0=4π×10-7（H/m）為真空磁導(dǎo)率，A為磁路有效橫截面積，N為線圈匝數(shù)，i0為線圈偏置電流，Δi為控制電流，x0為電磁軸承的設(shè)計(jì)氣隙，Δx為轉(zhuǎn)子在坐標(biāo)方向的偏移位移。

電磁軸承的主動(dòng)控制能力體現(xiàn)在電磁力可根據(jù)轉(zhuǎn)子位移情況實(shí)時(shí)的調(diào)節(jié)，其控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的頻域方程形式為：

式（3）中，Re｛G（jω）｝和Im｛G（jω）｝分別表示控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)G（jω）的實(shí)部和虛部?？梢?jiàn)，只有在可以獲得電磁軸承控制傳遞函數(shù)的前提下，才能理論計(jì)算電磁軸承的等效剛度和等效阻尼。如采用PID控制的電磁軸承，其理想的傳遞函數(shù)為Kp+Ki/s+ Kds，其中Kp、Ki及Kd分別是控制器的P、I及D參數(shù)，那么其等效剛度和等效阻尼可表示為：

式（2）中，G（jω）為控制系統(tǒng)整體傳遞函數(shù)的頻域關(guān)系，一般包括位移傳感器、AD變換、控制器算法、DA變換、功率放大器等各控制環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的總和。

如果把電磁軸承的支承特性等效為一個(gè)機(jī)械軸承的剛度和阻尼，稱之為等效剛度 Ke和等效阻尼［7］，其表達(dá)式分別為：當(dāng)然，式（4）只是理想的PID控制，若考慮時(shí)滯，濾波降噪等實(shí)際情況，那么表達(dá)式要復(fù)雜得多。

2 電磁軸承支承的柔性轉(zhuǎn)子有限元建模

2.1 柔性轉(zhuǎn)子有限元建模簡(jiǎn)介

實(shí)際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)通常是由一些軸段、圓盤和軸承座等部件組成，是一個(gè)質(zhì)量連續(xù)分布的彈性系統(tǒng)，具有無(wú)窮多個(gè)自由度。有限元法的基本思想是將整個(gè)轉(zhuǎn)子按節(jié)點(diǎn)劃分為有限個(gè)單元，各單元彼此在節(jié)點(diǎn)處聯(lián)結(jié)，從而使一個(gè)質(zhì)量連續(xù)分布轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)，離散為有限個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)。轉(zhuǎn)子劃分的單元數(shù)目越多，其模型越精確，但計(jì)算量也大為增加。

因?yàn)槿嵝赞D(zhuǎn)子有限元建模作為轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析的常用工具，在大多數(shù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)教材中［11-12］都有十分詳細(xì)的敘述。本文限于篇幅，僅對(duì)其建模思想做簡(jiǎn)要敘述，以不破壞本文閱讀的可理解性。本文只對(duì)電磁軸承對(duì)柔性轉(zhuǎn)子的支承建模做詳細(xì)論述。

柔性轉(zhuǎn)子相鄰兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的軸段作為有限元分析的基本單元，稱之為彈性軸段單元，如圖2，其中左端面為第n節(jié)點(diǎn)，右端面為第n+1節(jié)點(diǎn)。每個(gè)軸段的空間坐標(biāo)可以用兩個(gè)端面的位移向量表示，稱為軸段的廣義坐標(biāo)。端面的位移向量可由端面軸心坐標(biāo)x及y和偏轉(zhuǎn)角θy及θx來(lái)表示，x和y方向分開(kāi)表示，

圖2 彈性軸段單元

有限元法的建模過(guò)程，先建立每個(gè)軸段單元的動(dòng)力學(xué)方程。在不考慮剪切和扭轉(zhuǎn)變形影響的條件下，一個(gè)彈性軸段單元在x和y兩個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)微分方程分別為：

式（6）中，ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，｛fx｝及｛fy｝分別為彈性軸段兩個(gè)端面節(jié)點(diǎn)處在x及y兩個(gè)方向上所受的作用力和力矩，如不平衡力等外力，稱為廣義外力矢量。［mx］、［dx］、［gx］、［kx］和［my］、［dy］、［gy］、［ky］分別為轉(zhuǎn)子在x和y兩個(gè)方向上的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣。對(duì)于單個(gè)軸段在一個(gè)坐標(biāo)方向內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程而言，這些矩陣都是4×4的矩陣，其元素由軸段的線密度、尺寸、彎曲剛度等參數(shù)決定。當(dāng)轉(zhuǎn)子為軸對(duì)稱時(shí)，x和y方向的矩陣相同。具體表達(dá)式由于篇幅較大，本文不詳細(xì)列出，可參見(jiàn)有關(guān)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)教材［11］。

根據(jù)有限元法，在列出每個(gè)軸段的運(yùn)動(dòng)方程后，依據(jù)相鄰軸段間的連接關(guān)系，各個(gè)軸段方程可整合為一個(gè)轉(zhuǎn)子整體的大矩陣運(yùn)動(dòng)方程，有：

式（7）中，｛F｝為廣義外力矢量，［M］、［K］、［D］和［G］分別為整合后的轉(zhuǎn)子的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣和陀螺矩陣，形式如下：

式（8）至式（10）中，小方塊表示對(duì)應(yīng)單個(gè)軸段的4×4的［m］、［g］及［k］矩陣。每個(gè)軸段的［m］、［g］及［k］矩陣按圖所示以對(duì)角線排列，并且在相鄰矩陣的2×2部分重疊相加。［M］、［K］和［G］矩陣的上半部分為x平面的運(yùn)動(dòng)方程，下半部分為y平面的運(yùn)動(dòng)方程?？梢?jiàn)，［M］、［K］和［G］矩陣是一個(gè)4N× 4N矩陣，即有限元法中的矩陣階次將以節(jié)點(diǎn)數(shù)4倍的2次方量級(jí)增長(zhǎng)。由于電磁軸承的轉(zhuǎn)子懸浮無(wú)接觸，內(nèi)阻尼為0，因此阻尼矩陣［D］為零矩陣。電磁軸承的等效阻尼以外阻尼的形式體現(xiàn)在電磁力中，下文將詳細(xì)敘述。在只有彈性軸段的情況下，［M］、［K］、［D］和［G］矩陣都是4N×4N階的對(duì)稱稀疏矩陣。

至此，柔性轉(zhuǎn)子有限元建模的基本框架已經(jīng)完成。對(duì)于柔性轉(zhuǎn)子的其他組成部件，如剛性圓盤，集中質(zhì)量點(diǎn)、軸承支承、不平衡力以及外力作用都是以在［M］、［K］、［D］和［G］稀疏矩陣中添加相應(yīng)元素項(xiàng)的形式來(lái)實(shí)現(xiàn)建模，因篇幅所限不一一敘述。本文下面詳細(xì)敘述柔性轉(zhuǎn)子的電磁軸承支承的建模。

2.2 柔性轉(zhuǎn)子的電磁軸承支承建模

最直觀的方法是可以把電磁軸承等效為機(jī)械軸承，即用等效剛度和等效阻尼表示，然后用傳統(tǒng)柔性轉(zhuǎn)子有限元建模中的軸承單元表示方法，根據(jù)軸承所在的節(jié)點(diǎn)，在剛度矩陣［K］和阻尼矩陣［D］中添加相應(yīng)的元素項(xiàng)。然而這并不是一個(gè)好方法，因?yàn)榈刃偠群偷刃ё枘岬挠?jì)算需要知道控制傳遞函數(shù)，而考慮實(shí)際因素的電磁軸承控制傳遞函數(shù)會(huì)非常復(fù)雜，難以計(jì)算。甚至，諸如模糊控制等智能控制策略根本無(wú)法歸納出一個(gè)傳遞函數(shù)表達(dá)式，所以無(wú)法計(jì)算等效剛度和等效阻尼。此法局限性太大。

因此，本文采取直接用電磁力建模的方法，基本思想是認(rèn)為電磁軸承支承就是轉(zhuǎn)子在相應(yīng)電磁軸承節(jié)點(diǎn)位置所受的外力。例如，當(dāng)節(jié)點(diǎn)a和節(jié)點(diǎn)b處各有一個(gè)電磁軸承的情況，在原轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程式（7）中，廣義外力矢量｛F｝需按下式疊加4個(gè)軸承電磁力項(xiàng)。

式（11）中，ki，ax，ki，ay，ki，bx，ki，by及kx，ax，kx，ay，kx，bx，kx，by分別表示在a及b節(jié)點(diǎn)上的兩個(gè)電磁軸承各個(gè)徑向自由度的電流剛度系數(shù)和位移剛度系數(shù)。Iax，Ibx，Iay及Iby表示在a節(jié)點(diǎn)及b節(jié)點(diǎn)上電磁軸承在4個(gè)自由度的控制電流。

式（11）采用的是線性電磁力的表示方法，也可根據(jù)模型精度需要，采用非線性電磁力的描述，也可疊加諸如振動(dòng)控制等附加力。此建模方法運(yùn)用較為靈活，不限制控制策略的表示形式，只要控制策略已知，就可以在仿真模型中實(shí)現(xiàn)。

3 算例介紹

目前，由于國(guó)內(nèi)對(duì)于完善的電磁軸承支承的柔性轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)平臺(tái)有待建設(shè)，本文將以英國(guó)Bath大學(xué)機(jī)械工程系Keogh教授實(shí)驗(yàn)室的電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為仿 真算 例［13-17］。該 電磁 軸承 實(shí)驗(yàn)臺(tái)經(jīng)過(guò)多年的動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)和研究，其各項(xiàng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)已被精確測(cè)定。本文的仿真數(shù)據(jù)和仿真結(jié)果可以從該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的實(shí)際數(shù)據(jù)中找到依據(jù)，以確保本文有關(guān)柔性轉(zhuǎn)子的理論分析和仿真結(jié)論的可信度。

如圖3為該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的基本結(jié)構(gòu)。它由一根均質(zhì)等直徑軸和4個(gè)剛性圓盤組成。軸長(zhǎng)度為1 930 mm，軸粗50 mm。4個(gè)剛性圓盤分別分布在軸的兩端和中間。圓盤外徑250 mm，圓盤寬30 mm，每個(gè)盤質(zhì)量10 kg。在轉(zhuǎn)子有限元分析中，把電磁軸承處的轉(zhuǎn)子軸頸部分也視為剛性圓盤，外徑200 mm，寬度80 mm。整個(gè)軸的總質(zhì)量約100 kg。仿真假設(shè)，轉(zhuǎn)子的不平衡質(zhì)量只集中在4個(gè)剛性圓盤上，而忽略其余部分的不平衡質(zhì)量。剛性圓盤的不平衡質(zhì)量可調(diào)節(jié)，將4個(gè)剛性圓盤的不平衡質(zhì)量的大小都設(shè)置為1 g·mm。兩個(gè)電磁軸承的氣隙均為1.2 mm，保護(hù)軸承氣隙0.75 mm。電磁軸承能提供最大1 500 N的提升力。電磁軸承工作在4.3 A的偏置電流下，位移剛度系數(shù)為2×106N/M，電流剛度系數(shù)為487 N/A。

圖3 柔性轉(zhuǎn)子算例的結(jié)構(gòu)和尺寸（8個(gè)節(jié)點(diǎn)）

4 等效剛度對(duì)柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各階臨界分布的影響

由等效剛度計(jì)算公式，選取不同的Kp參數(shù)，可分別得到0.2×106、0.4×106、0.8×106、1.0×106、2×106、3×106、5×106N/m 7個(gè)不同的等效剛度值。Kd參數(shù)統(tǒng)一取10，即對(duì)應(yīng)等效阻尼為4 800 N·s/m。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速范圍為0～600 rad/s。通過(guò)仿真，可得到在不同等效剛度條件下，轉(zhuǎn)子在右側(cè)電磁軸承y方向的振動(dòng)響應(yīng)曲線，共有7組。為了方便分析轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)隨支承剛度變化的規(guī)律，把7組振動(dòng)響應(yīng)曲線集中繪入圖4中?？梢?jiàn)，在0～600 rad/s的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)曲線上都出現(xiàn)了3或4個(gè)峰值。這些峰值所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速就是該剛度下轉(zhuǎn)子的各階臨界轉(zhuǎn)速的位置。

圖4 不同等效剛度下轉(zhuǎn)子的振動(dòng)響應(yīng)曲線的仿真結(jié)果

根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論，柔性轉(zhuǎn)子的模態(tài)振型和對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速由轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)和支承特性所確定。為了弄清圖4中各個(gè)轉(zhuǎn)子振動(dòng)峰值是否與轉(zhuǎn)子在此等效剛度下的臨界轉(zhuǎn)速值相吻合，以及各臨界轉(zhuǎn)速所對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型，利用本項(xiàng)目組開(kāi)發(fā)的柔性轉(zhuǎn)子分析軟件RotFE計(jì)算了該柔性轉(zhuǎn)子在同樣七組等效剛度條件下的前四階臨界轉(zhuǎn)速值，并繪制了其振型的三維圖。因限于篇幅，只繪出4組為例，如表1所示。

表1 RotFE得出的臨界轉(zhuǎn)速和其振型三維圖

由表1可知，柔性轉(zhuǎn)子的前四階臨界轉(zhuǎn)速的振型分別為錐形渦動(dòng)、平行渦動(dòng)、一階彎曲和二階彎曲。其中，錐形渦動(dòng)和平行渦動(dòng)為剛體臨界振型，一階和二階彎曲為柔性彎曲臨界振型。

在等效剛度較低時(shí)，轉(zhuǎn)子剛體臨界轉(zhuǎn)速均低于彎曲臨界轉(zhuǎn)速。然而，轉(zhuǎn)子的剛體臨界轉(zhuǎn)速對(duì)等效剛度的變化十分敏感。隨著等效剛度的增加，錐動(dòng)和平動(dòng)兩個(gè)臨界轉(zhuǎn)速的位置明顯地往高頻方向移動(dòng)。相比較，轉(zhuǎn)子的彎曲臨界轉(zhuǎn)速受支承剛度變化影響較小。

當(dāng)?shù)刃偠戎饾u升高，轉(zhuǎn)子的錐形和平行臨界轉(zhuǎn)速的位置也隨之升高。在等效剛度為2×106N/ m時(shí)，轉(zhuǎn)子的平行渦動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速超越了轉(zhuǎn)子的一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速，此時(shí)轉(zhuǎn)子自身有明顯的彎曲形變又帶有剛體平行渦動(dòng)振型的特點(diǎn)，稱其振型為“平行+彎曲”的綜合振型。在等效剛度為5×106N/m時(shí)，轉(zhuǎn)子的錐形渦動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速也超越了轉(zhuǎn)子的一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速。同樣，此時(shí)轉(zhuǎn)子自身已有明顯的彎曲形變又帶有剛體錐形渦動(dòng)振型的特點(diǎn)，稱其振型為“錐形+彎曲”的綜合振型。

為了比較圖4的振動(dòng)峰值數(shù)據(jù)和表1臨界轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)，把兩組數(shù)據(jù)一起繪制成圖5形式進(jìn)行比較?？梢?jiàn)，仿真所得的各階臨界轉(zhuǎn)速值和RotFE計(jì)算結(jié)果有很好的吻合，只是在0.2×106、0.4×106、0.8× 106、1.0×106N/m4個(gè)較小等效剛度的仿真測(cè)試中，觀測(cè)不到轉(zhuǎn)子平動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速的振動(dòng)峰值。分析其原因，可能是錐形渦動(dòng)臨界和平行渦動(dòng)臨界靠得太近，另外，在電磁軸承支承特性中的等效阻尼作用下，可能使振動(dòng)峰值不明顯。

圖5 仿真結(jié)果與RotFE計(jì)算結(jié)果的比較

5 等效阻尼對(duì)柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各階臨界分布的影響

由圖4可知，在高剛度5×106N/m條件下，轉(zhuǎn)子在前四階臨界轉(zhuǎn)速的振動(dòng)比低剛度時(shí)更強(qiáng)烈，峰值更清晰明顯。因此，在等效阻尼對(duì)轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速影響的仿真中，等效剛度值統(tǒng)一選取為5×106N/m。微分參數(shù)Kd分別取5、10、50、100，即對(duì)應(yīng)等效阻尼分別為2 400、4 800、24 000、48 000 N·s/m?？傻玫睫D(zhuǎn)子在不同等效阻尼條件下，右側(cè)電磁軸承y方向的振動(dòng)響應(yīng)曲線，并將4組振動(dòng)圖線集中繪入圖6中。

圖6 不同等效阻尼對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)響應(yīng)的影響

結(jié)果表明，等效阻尼的強(qiáng)弱不會(huì)明顯改變?nèi)嵝赞D(zhuǎn)子各階臨界轉(zhuǎn)速的位置，但增加等效阻尼，可以很好地抑制轉(zhuǎn)子振動(dòng)的峰值。當(dāng)阻尼較小時(shí)，各階臨界轉(zhuǎn)速位置的振動(dòng)峰值明顯。隨著阻尼的增大，臨界轉(zhuǎn)速的振動(dòng)峰值逐漸減小，一些臨界轉(zhuǎn)速位置的振動(dòng)峰值變得難以分辨。如當(dāng)?shù)刃ё枘酓e=48 000 N·s/m時(shí)，除了一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速有明顯峰值外，其余的臨界轉(zhuǎn)速峰值均被抑制。這也說(shuō)明一階彎曲臨界受等效阻尼的影響最小。但是，提高等效阻尼意味著控制系統(tǒng)的微分作用增強(qiáng)，會(huì)帶來(lái)放大系統(tǒng)噪聲的負(fù)面影響，反而不利于系統(tǒng)穩(wěn)定。在實(shí)際電磁軸承應(yīng)用中，等效阻尼的調(diào)節(jié)范圍有限。

6 結(jié) 論

本文提出采用電磁軸承支承柔性轉(zhuǎn)子，通過(guò)支承特性的調(diào)節(jié)，改變?nèi)嵝赞D(zhuǎn)子的各階臨界轉(zhuǎn)速的分布位置，使柔性轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速始終避開(kāi)臨界轉(zhuǎn)速，實(shí)現(xiàn)超臨界運(yùn)行的目的。本文對(duì)電磁軸承-柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的前四階臨界轉(zhuǎn)速隨等效剛度和等效阻尼變化的規(guī)律進(jìn)行了理論仿真，仿真結(jié)果表明：

a）轉(zhuǎn)子的剛體臨界轉(zhuǎn)速分布對(duì)支承等效剛度的變化較為敏感，隨支承等效剛度的增大，錐形臨界和平行臨界轉(zhuǎn)速明顯向高頻方向移動(dòng)。轉(zhuǎn)子一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速受支承剛度變化影響較小，幾乎不隨支承剛度的變化而變化。轉(zhuǎn)子二階臨界轉(zhuǎn)速隨支承剛度的調(diào)節(jié)有一定的變化，但無(wú)論是相對(duì)變化量還是絕對(duì)變化量都比剛性臨界小得多。

b）等效阻尼的變化不會(huì)明顯改變?nèi)嵝赞D(zhuǎn)子系統(tǒng)各階臨界轉(zhuǎn)速的位置。增加等效阻尼可以很好地抑制轉(zhuǎn)子振動(dòng)的峰值，對(duì)抑制振動(dòng)有益，但同時(shí)也會(huì)放大電磁軸承控制系統(tǒng)的噪聲，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定不利。

因此，可以通過(guò)調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼，來(lái)改變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)剛體臨界轉(zhuǎn)速，但對(duì)一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速位置的調(diào)節(jié)效果十分有限。對(duì)于亞臨界或超臨界工作的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，只能通過(guò)改變轉(zhuǎn)子本身的結(jié)構(gòu)，盡量使轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速。

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Modeling and Simulation Analysis of Controlling Distribution of Critical Speed of Flexible Rotor with Electromagnetic Bearing

FANGPeng，JIANG Ke-jian
（The School of Information Science and Technology，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

This paper proposes to use electromagnetic bearing to support flexible rotor and change the distribution location of critical speed of each order of flexible rotor through the adjustment of supporting characteristics，thus making flexible rotor realize supercritical operation smoothly，incorporates the modeling of supporting characteristics of electromagnetic bearing into the modeling theory of finite element of flexible rotor of classic rotor dynamics and establishes flexible rotor system model of electromagnetic bearing support for simulation.The simulation result shows that the adjustment of equivalent stiffness of electromagnetic bearing can significantly change translational and conical clinical speed of flexible rotor and has little influence on first-order and second-order bending critical speed.The adjustment of equivalent damping can significantly reduce the vibration of rotor when it passes the critical point.

electromagnetic bearing；flexible rotor；magnetic levitation；finite element；critical speed

TH133

A

（責(zé)任編輯：陳和榜）

1673-3851（2014）03-0221-07

2013-11-04

國(guó)家自然科學(xué)基金（11272288），中國(guó)博士后科學(xué)基金（2013M531452），浙江省自然科學(xué)基金（LY12E05027），浙江理工大學(xué)科研基金（1104827-Y）

方 鵬（1989-），男，碩士研究生，主要從事數(shù)字信號(hào)處理，磁懸浮控制方面的研究。

蔣科堅(jiān)，電子郵箱：jkjofzju@163.com