一類非線性拋物型方程反問(wèn)題的中心差分正則化算法

張海麗，葛美寶，徐定華

（1.同濟(jì)大學(xué)浙江學(xué)院，浙江嘉興314000；2.浙江理工大學(xué)，a.科學(xué)與藝術(shù)學(xué)院；b.理學(xué)院，杭州310018）

一類非線性拋物型方程反問(wèn)題的中心差分正則化算法

張海麗1，葛美寶2a，徐定華2b

（1.同濟(jì)大學(xué)浙江學(xué)院，浙江嘉興314000；2.浙江理工大學(xué)，a.科學(xué)與藝術(shù)學(xué)院；b.理學(xué)院，杭州310018）

大量線性與非線性拋物型方程反問(wèn)題以各種不同形式出現(xiàn)在不同應(yīng)用背景下，這類方程的研究有重要的應(yīng)用價(jià)值，但是非線性拋物型方程反問(wèn)題存在不適定性，文中利用半中心差分法思想設(shè)計(jì)了穩(wěn)定的數(shù)值算法求解反問(wèn)題，研究了一類半線性拋物型方程逆時(shí)反問(wèn)題的數(shù)值算法并進(jìn)行數(shù)值模擬。數(shù)值模擬結(jié)果與精確解相吻合，說(shuō)明了算法的有效性。

非線性拋物型；反問(wèn)題；半中心差分；數(shù)值模擬；爆破時(shí)間

0 引 言

本文研究非線性拋物型方程的混合問(wèn)題：

若給定源項(xiàng)f（·）、邊界條件和初始條件s（t），l（t），h（x），定解問(wèn)題（1）的求解稱為正問(wèn)題。根據(jù)拋物方程理論，在適當(dāng)條件下，上述問(wèn)題的解存在且唯一。若已知測(cè)量數(shù)據(jù)g（x）≡u(píng)（x，T）｜x∈［0，1］決定u（x，t），0＜x＜1，0≤t＜T的值，該問(wèn)題稱為逆時(shí)反問(wèn)題。這類反問(wèn)題有著非常重要的應(yīng)用價(jià)值，引起了國(guó)內(nèi)外反問(wèn)題研究者的廣泛關(guān)注和研究［1-7］。文獻(xiàn)［4］利用中心差分法求解了一類含有源項(xiàng)的熱傳導(dǎo)方程的逆時(shí)反問(wèn)題，結(jié)果表明數(shù)值解與精確解反演良好。本文利用文獻(xiàn)［5］中提到的中心差分方法進(jìn)行了數(shù)值模擬，模擬結(jié)果表明了該方法的有效性。對(duì)于上述問(wèn)題，由于g（x）是有誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)，即使對(duì)于g（x）的微小誤差也會(huì)引起解u（x，t）發(fā)生巨大變化。于是本文利用半中心差分正則化方法［5］的思想將此問(wèn)題進(jìn)行處理。

1 中心差分正則化方法

通過(guò)中心差分代替uxx，于是方程（2）近似變形為

利用二階中心差分，在xi處用差商的形式代替微分wxx，則（3）變形為

又由方程（2）中的邊界條件可得出：

這時(shí)，方程（4）加上初始條件就會(huì)得到如下形式：

該問(wèn)題是個(gè)帶有初始條件的非線性的常微分方程組，通常情況可利用龍格庫(kù)塔方法進(jìn)行數(shù)值求解。但是根據(jù)三對(duì)角矩陣特征值的計(jì)算公式可知，上面矩陣A的特征值為（正整數(shù)集）。于是可知方程（5）的數(shù)值求解方法是不穩(wěn)定的。故作變換：

其中a＞0為壓縮因子。公式（4）變成為如下形式

類似可得

2 數(shù)值模擬

2.1 正問(wèn)題的模擬

考慮下面的正問(wèn)題：

令x1=0，xi=（i-1）h，i=2，…2n，x2n+1=0，，其中，空間步長(zhǎng)h=，時(shí)間步長(zhǎng)τ=。經(jīng)過(guò)剖分離散，這時(shí)顯式的差分格式為：當(dāng)滿足步長(zhǎng)比，該差分顯格式具有穩(wěn)定性。先將空間與時(shí)間經(jīng)過(guò)剖分，獲得網(wǎng)格m=101

圖1 正問(wèn)題的精確解

圖2 正問(wèn)題的數(shù)值解

圖3 T=0.01的精確解與數(shù)值解

圖4 精確解與數(shù)值解的誤差

2.2 逆時(shí)反問(wèn)題的模擬

通過(guò)中心差分正則化方法可進(jìn)行逆時(shí)的反演，并結(jié)合上面算例正問(wèn)題的模擬結(jié)果進(jìn)行比較。采用終值時(shí)刻去反演初始時(shí)刻，即由u（x，T）的測(cè)量數(shù)據(jù)去反演u（x，0）時(shí)刻的值。

仍采用以上剖分，選擇空間步長(zhǎng)h=0.1和m=100。發(fā)現(xiàn)取b=4.6算法結(jié)果相對(duì)比較好，這也與矩陣穩(wěn)定性的分析結(jié)果相吻合。數(shù)值模擬結(jié)果如圖5和圖6所示（實(shí)線代表精確解，星線代表數(shù)值解）。行、n=11列數(shù)據(jù)。此時(shí)正問(wèn)題的精確解與數(shù)值解如圖1和2。

選擇時(shí)間的最后一行的數(shù)據(jù)，即g（x）=u（x，T=0.01）時(shí)的精確解和數(shù)值解進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)數(shù)值解與精確解之間的誤差很小。模擬結(jié)果如圖3和4所示（實(shí)線代表精確解，星線代表數(shù)值解）。

圖5 精確解與數(shù)值解

圖6 精確解與反演解的絕對(duì)誤差（T=0.001的情形）

如果分別取n=11和m=50，發(fā)現(xiàn)取b=2結(jié)果比較好，見(jiàn)圖7和圖8中的數(shù)值解與精確解非常吻合。

圖7 精確解與數(shù)值解

圖8 精確解與數(shù)值解的絕對(duì)誤差（T=0.000 1的情形）

3 結(jié) 論

本文利用了半中心差分的正則化方法對(duì)一維半線性拋物型方程的反問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬，結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性。算例中終值時(shí)刻T取值較小，這與正問(wèn)題的解爆破時(shí)間有關(guān)系，這是由于隨著時(shí)間增加，方程解發(fā)生了爆破，結(jié)果見(jiàn)圖9-圖12。故終值時(shí)刻T的取值不宜太大，否則會(huì)發(fā)生爆破。這也正是在實(shí)際計(jì)算中要求合理地選擇探測(cè)數(shù)據(jù)獲取時(shí)間的原因（取樣時(shí)刻T）。

圖9 T=0.03時(shí)刻的溫度分布

圖10 T=0.04時(shí)刻的溫度分布

圖11 T=0.042時(shí)刻的溫度分布

圖12 T=0.042 7時(shí)刻的溫度分布

本文空間步長(zhǎng)選取非常關(guān)鍵，它起到正則化參數(shù)的作用。同時(shí)參數(shù)b的選取也是很重要的，它對(duì)數(shù)值結(jié)果的穩(wěn)定性有影響。關(guān)于此算法的理論證明和分析，下一步將繼續(xù)進(jìn)行研究。

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Central Difference Regularization Algorithm for a Kind of lnverse Problems of Nonlinear Parabolic Equations

ZHANG Hai-li1，GE Mei-bao2a，XU Ding-hua2b
（1.Tongji Zhejiang College，Jiaxing 314000，China；2.Zhejiang Sci-Tech University，a.School of Science and Art；b.School of Sciences，Hangzhou 310018，China）

A large number of inverse problems of linear and nonlinear parabolic equations occur in different application contexts in various forms.It is extremely important to study on these equations，but inverse problems of nonlinear parabolic equations are ill-posed.This paper uses semi-discrete central difference method to design a stable numerical algorithm to solve inverse problems，studies a kind of numerical algorithm to solve inverse problems of semi-linear parabolic equations，and conducts numerical simulation. Results of numerical simulation are consistent with exact solutions，indicating that this algorithm is effective.

nonlinear parabolic；inverse problems；semi-discrete central difference；numerical simulation；blow up time

O175.26

A

（責(zé)任編輯：李啟正）

1673-3851（2014）03-0320-05

2012-12-19

國(guó)家自然科學(xué)基金（NSFC11071221、NSFC10561001）；浙江理工大學(xué)科研基金（KY2012015）

張海麗（1982-），女，河北張家口人，助教，碩士，從事數(shù)學(xué)物理方程反問(wèn)題的研究。