矩約束模型的最優(yōu)矩條件選取方法

胡 毅，王美今，汪壽陽

（1.中國科學(xué)院大學(xué)管理學(xué)院，北京100190；2.中山大學(xué)嶺南學(xué)院，廣東廣州 510275；3.中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京 100190）

矩約束模型的最優(yōu)矩條件選取方法

胡 毅1，王美今2，汪壽陽3

（1.中國科學(xué)院大學(xué)管理學(xué)院，北京100190；2.中山大學(xué)嶺南學(xué)院，廣東廣州 510275；3.中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京 100190）

大量經(jīng)濟(jì)、金融以及企業(yè)管理等領(lǐng)域研究對(duì)象的行為特征可以通過矩約束模型來刻畫。然而，該模型中參數(shù)的估計(jì)對(duì)矩條件的選取非常敏感。如何選取最優(yōu)的矩條件，進(jìn)而得到更準(zhǔn)確的參數(shù)估計(jì)和更精確的統(tǒng)計(jì)推斷，是實(shí)證研究面臨的重要問題。本文從估計(jì)量均方誤差（MSE）最小的角度，研究了一般矩約束模型兩步有效廣義矩（GMM）估計(jì)的最優(yōu)矩條件選取方法。首先，利用迭代的方法，推導(dǎo)出兩步有效GMM估計(jì)的高階MSE，然后通過Nagar分解，求出了兩步有效GMM估計(jì)量的近似MSE。接著，基于近似MSE表達(dá)式，給出了兩步有效GMM估計(jì)矩條件選取準(zhǔn)則的一般理論，即定義了最優(yōu)的矩條件，提出了兩步有效GMM估計(jì)的最優(yōu)矩條件選取準(zhǔn)則，并證明了選取準(zhǔn)則的漸近有效性。模擬結(jié)果表明，本文提出的矩條件選取方法能夠很好地改善兩步有效GMM估計(jì)量的有限樣本表現(xiàn)，降低估計(jì)量的有效樣本偏差。本研究為實(shí)證研究中面臨的矩條件選擇問題提供了理論依據(jù)。

矩約束模型；GMM估計(jì)；高階MSE；近似MSE；選取準(zhǔn)則

1 引言

矩約束模型被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、金融以及企業(yè)管理等領(lǐng)域的實(shí)證研究。例如，經(jīng)濟(jì)分析中常用的線性回歸模型、金融領(lǐng)域著名的資產(chǎn)定價(jià)模型以及企業(yè)管理中最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)模型等均可看作為矩約束模型。該模型的參數(shù)通常采用廣義矩方法（GMM）估計(jì)。從Hansen［1］提出GMM以來，該方法逐漸成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本估計(jì)方法。Hansen也因此而獲得2013年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。然而，盡管在相當(dāng)一般的正則性條件下，GMM有著非常好的漸近性質(zhì)，但是它的有限樣本表現(xiàn)卻不盡如人意。同極大似然估計(jì)（MLE）一樣，GMM沒有精確分布，實(shí)證中，通常利用GMM估計(jì)量的漸近分布來近似其有限樣本分布，進(jìn)而進(jìn)行推斷。然而，大量研究表明，基于這種近似做出的推斷的精度比較低，如Hansen和Singleton［2］的消費(fèi)資產(chǎn)定價(jià)模型，Holtz，Newey和Rosen［3］的動(dòng)態(tài)面板模型，Angrist和Krueger［4］自然實(shí)驗(yàn)的例子等等。通常，有兩個(gè)方面的原因會(huì)影響GMM估計(jì)量的有限樣本性質(zhì)：一是多矩條件（many moments）的應(yīng)用；二是弱識(shí)別矩條件（weak identification moments）的存在。

為了解決上述問題，近年來，GMM估計(jì)已經(jīng)由傳統(tǒng)的漸近理論發(fā)展到多漸近理論（many asymptotic）、弱漸近理論（weak asymptotic）以及同時(shí)考慮多和弱的漸近理論（many weak asymptotic）［5-7］。另一個(gè)改善GMM估計(jì)量的有限樣本的方法是對(duì)矩條件進(jìn)行選取?？紤]到矩條件的數(shù)目的增多會(huì)增大GMM估計(jì)量的漸近有效性，但同時(shí)也會(huì)加大估計(jì)量的有限樣本偏差。因此可以考慮尋找到一組矩條件，使得估計(jì)量的偏差和方差之和最小，也即使得估計(jì)量的均方誤差（MSE）最小。

Andrews［8］首次提出GMM中基于正交性條件的矩條件選取準(zhǔn)則（MSC），并給出了MSC的一致性證明。該文考慮研究者面臨著一組矩條件，其中一部分矩條件是正確的，另外一部分矩條件是錯(cuò)誤的。MSC的目的就是一致地選出正確的矩條件。

Hall，Inoue，Jana和Shin［9］則是從信息的角度來考慮矩條件的選擇。通常認(rèn)為，總體矩條件包含待估參數(shù)的信息，因此，所選取的矩條件應(yīng)該盡可能的反應(yīng)估計(jì)和推斷所需的信息。該文指出，GMM估計(jì)量極限分布的熵（entropy）可以用來度量總體矩條件中包含信息的大小。在此基礎(chǔ)上，他們提出了基于熵的矩條件選取準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則能一致地選出相關(guān)的矩條件，稱為相關(guān)的矩條件選取準(zhǔn)則（RMSC）。和MSC不同的是，RMSC旨在改善參數(shù)估計(jì)值方差陣的精度。

Donald，Imbens和Newey［10］研究了條件矩約束模型中矩條件的選取，該文將Donald和Newey［11］的研究結(jié)論推廣到異方差的情形。與Donald和Newey［11］的研究思路類似，該文首先根據(jù)條件矩約束模型構(gòu)建無條件的矩條件，然后對(duì)無條件的矩條件進(jìn)行兩步GMM估計(jì)，再根據(jù)高階漸近理論對(duì)兩步GMM估計(jì)量進(jìn)行分解，由分解結(jié)果求出估計(jì)量的線性組合的近似MSE。實(shí)際計(jì)算中，最小化該近似MSE的一致估計(jì)量可以得到最優(yōu)的矩條件數(shù)目。與Andrews［8］的研究出發(fā)點(diǎn)不同，該文是在矩條件外生性滿足的條件下，選出最優(yōu)數(shù)目的矩條件來最小化GMM估計(jì)量的近似MSE。相比Hall等［9］，該文不但考慮了估計(jì)量的方差，還考慮了估計(jì)量的偏差。但是該文還有以下兩點(diǎn)值得改進(jìn)的地方。第一，和Donald和Newey［11］的選取準(zhǔn)則類似，該文的選取準(zhǔn)則也依賴于一個(gè)未知的向量，但是該未知向量如何確定，文中并沒有明述。第二，該文假定了研究者對(duì)矩條件的強(qiáng)弱有著先驗(yàn)信息，可以對(duì)矩條件的強(qiáng)弱進(jìn)行排序，但是實(shí)證研究中這一假定并不能確保滿足。

本文在Donald等［10］研究的基礎(chǔ)上，做了如下拓展：第一，研究了一般的矩約束模型下兩步有效GMM估計(jì)量的高階展開，相比條件矩約束模型，一般的矩約束模型非線性程度更高，處理更復(fù)雜，結(jié)論也更一般。第二，選取準(zhǔn)則直接通過對(duì)估計(jì)量的近似MSE求跡構(gòu)造，因而不依賴于未知向量的選取。第三，不必事先假定矩條件的強(qiáng)弱并進(jìn)行排序。根據(jù)Andrews［8］的思想，利用一個(gè)選擇向量進(jìn)行矩條件的選取。

2 模型設(shè)定

大量經(jīng)濟(jì)和金融模型可用總體矩條件的形式來表示，這種矩條件通常是數(shù)據(jù)與參數(shù)的非線性函數(shù)?？紤]如下總體矩條件：

其中，z為kz維隨機(jī)向量，β0為p維系數(shù)向量，g（·）為L維的向量，且L≥p。

假定1 β0∈B，B是有界閉集。

假定2 {zi，i=1，2，…，n｝是相互獨(dú)立的隨機(jī)向量序列。

假定3 （識(shí)別條件）E［g（zi，β）］=0當(dāng)且僅當(dāng)β=β0。

假定1和3是關(guān)于GMM估計(jì)的經(jīng)典假設(shè)，是證明GMM估計(jì)漸近性質(zhì)的必要條件。假定2相對(duì)于傳統(tǒng)的平穩(wěn)遍歷性條件有進(jìn)一步約束，要求觀測(cè)值之間相關(guān)獨(dú)立，這主要是為了簡化后文選取準(zhǔn)則的計(jì)算。雖然這里要求了獨(dú)立性假定，但是沒有要求同分布，允許異方差的存在。對(duì)于大多數(shù)截面數(shù)據(jù)來說，該假設(shè)是合理的。

根據(jù)Hansen［1］，在假定1-假定3下，一致且服從漸近正態(tài)分布。大量模擬研究表明的有限樣本表現(xiàn)并不盡如人意，Newey和Smith［12］指出的有限樣本偏差會(huì)隨著矩條件數(shù)目的增多而變大。本文接下來通過高階漸近理論推導(dǎo)出的 MSE，并以此為基礎(chǔ)給出GMM估計(jì)的矩條件選取方法，進(jìn)而改善GMM估計(jì)的有效樣本表現(xiàn)。

3 GMM估計(jì)量的高階MSE與近似MSE

本部分推導(dǎo)GMM估計(jì)量高階MSE的過程借鑒了Ristone，Srivastava和Ullah［13］的研究思路。即利用迭代的方法，逐步將估計(jì)量的低階展開代入估計(jì)量的高階展開，最后求出估計(jì)量的高階展開式，進(jìn)而求出求高階MSE。與胡毅和王美今［14］線性IV估計(jì)不同的地方在于非線性模型下，GMM估計(jì)無法求出顯示解，因此其高階MSE的推導(dǎo)過程與最終表達(dá)式更為復(fù)雜。為方便后文論述，首先定義一些接下來常用的符號(hào)。

為了對(duì)GMM估計(jì)量進(jìn)行高階展開，進(jìn)一步給出下述針對(duì)矩條件的假設(shè)條件。

假定4 在β0的某個(gè)鄰域，gi至少3階連續(xù)可微，且E（‖?rgi，j‖2）＜∞，其中r=0，1，2，3，i =1，2，…，j=1，…，L。

假定5 在β0的某個(gè)鄰域，‖?rgi，j（β）-?rgi，j（β0）‖≤‖β-β0‖Mi，j，其中E（Mi，j）＜∞，r=0，1，2，3，j=1，…，L，i=1，2，…。

假定4是矩條件可以進(jìn)行高階Taylor展開的必要條件；假定5也是文獻(xiàn)中常見的針對(duì)矩條件的假設(shè)條件，類似假定可見Rilstone等［13］、Donald、Imbens和Newey［15］、Anatolyev［16］、Bao和Ullah［17］以及Donald等［10］，其目的是為了控制Taylor展開的余項(xiàng)；假定6是技術(shù)假設(shè)，該假定可以大大簡化高階展開式，參見Alvarez和Arellano［18］、Donald等［10］以及Okui［19］等；假定7是進(jìn)一步的識(shí)別條件；假定8是高階展開中常用的一種處理方法，目的是為了控制高階展開后的余項(xiàng)［15］。

優(yōu)化問題（2）的一階條件為：τ1+τ2=3，τ1、τ2為非負(fù)整數(shù)，j=1，…，L，k= 1，…，p，r=1，…，L，i=1，2…。

本文考慮的模型設(shè)定允許矩條件的個(gè)數(shù)大于參數(shù)的個(gè)數(shù)，即存在過度識(shí)別的情形。此時(shí)若直接對(duì)矩條件進(jìn)行Taylor展開，對(duì)于展開后的式子，一階項(xiàng)為L×p的矩陣，無法通過求逆獲得估計(jì)量的表達(dá)式。為了解決這一問題，本文采用Newey和Smith［12］的 方 法，定 義 輔 助 向 量=-，上述一階條件可以等價(jià)為：

對(duì)于該式，參數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)均為K。對(duì)上式在θ0=（β′0，0′）′處進(jìn)行二階Taylor展開，可以得到：

其中，Σ=Φ-1-Φ-1Γ0Ω-1Γ0′Φ-1，Ω= Γ0′Φ-1Γ0，Tβ=Op（L/n），Rβ=op（L2/n3/2），Tλ=Op（ζ（L）L/n），Rλ=。

其中，h=Op（1），=== Op（ζ（L）L/n），Zh=op（L2/n）。

根據(jù)定理1的分解，進(jìn)一步可以得到GMM的高階MSE表達(dá)式。

定理2給出了一般的矩約束模型的高階MSE表達(dá)式，從該式可以看出，該MSE依賴于Ξ，而Ξ又依賴于更為具體的模型設(shè)定。求解具體模型的MSE過程可以利用Nagar［21］近似的思想，即對(duì)于估計(jì)量，若=Z）=R+S+T，且有，則的近似MSE（n倍）可以近似為R+S。

4 矩條件選取準(zhǔn)則的構(gòu)建

采用一個(gè)L維的列向量c來選取矩條件，c的取值為0或1，若cj=1，表示gi的j個(gè)矩條件被選出，反之，則不被選出。令gi（c）表示選出的矩條件，則｜c(diǎn)｜=c′c為選出的矩條件個(gè)數(shù)。定義可行的矩條件選擇向量集為C={c｜c(diǎn)i=0或1，｜c(diǎn)｜≥p，c∈RL，j∈N｝。根據(jù)gi（c）求出的β0的GMM估計(jì)量記為，對(duì)應(yīng)的高階MSE為：

其中，Ω（c）和Ξ（c）分別表示，利用選出的矩條件求得的Ω和Ξ。

AMSE（c）=Ω（c）-1+Ω（c）-1Ξ（c）Ω（c）-1

以AMSE（c）作為模型選取的標(biāo)準(zhǔn)。具體比較時(shí)，采用 AMSE（c）的對(duì)角線元素和，即tr{AMSE（c）｝作為比較對(duì)象。定義：

為最優(yōu)的矩條件選取向量，也稱為理論的矩條件選取向量。

AMSE（c）中涉及的變量均為參數(shù)的真實(shí)值。實(shí)際應(yīng)用中，利用這些參數(shù)的一致估計(jì)量來代替。定義：

可行的矩條件選取向量由下式給出：

這也即本文提出的矩條件選取準(zhǔn)則。

為了證明^c的漸近有效性，進(jìn)進(jìn)一步給出如下識(shí)別條件。

假定9 （識(shí)別條件）c0是唯一存在的。

根據(jù)胡毅和王美今［14］，可以證明下面定理成立。

定理3 （選取準(zhǔn)則的漸近有效性）對(duì)于（2）式定義的GMM估計(jì)量，若假定1-假定9成立，則當(dāng)n→∞時(shí)：

即由選擇準(zhǔn)則（13）選出的矩條件在近似MSE的意義下是最優(yōu)的。

接下來通過Monte Carlo模擬，考察提出的矩條件選取準(zhǔn)則的有限樣本表現(xiàn)。

5 模擬分析

本節(jié)的模擬部分包括三個(gè)方面的內(nèi)容。第一，考察理論的矩條件選取準(zhǔn)則的有限樣本表現(xiàn)，即考察通過理論矩條件的選取后，對(duì)GMM估計(jì)量的有限樣本表現(xiàn)是否有所改善；第二考察可行的矩條件選取準(zhǔn)則的有效樣本表現(xiàn)；第三，考察矩條件選取準(zhǔn)則本身的有限樣本表現(xiàn)。

5.1 模擬設(shè)計(jì)

模擬設(shè)計(jì)類似于胡毅和王美今［14］，即考慮結(jié)構(gòu)方程同時(shí)存在一個(gè)內(nèi)生變量與一個(gè)外生變量的情形，但放松了同方差的假定。

DGP設(shè)定如下：

其中，Z1i為d3維的外部工具變量，d=d3+1為全部工具變量（矩條件）個(gè)數(shù)，c為d3維選擇向量。

具體模擬時(shí)，各個(gè)參數(shù)的設(shè)定分別為：n∈{500，1000｝，d3=20，γ0=0.1，δ0=0.2。σεv= {0.1，0.5，0.9｝，σεv可以用來控制模型內(nèi)生性的強(qiáng)弱，σεv的值越大，模型的內(nèi)生性問題越嚴(yán)重。第一階段回歸的擬合優(yōu)度可以用來控制工具變量（矩條件）整體的強(qiáng)弱，根據(jù)Hahn和Hausman［21］，第一階段回歸的理論擬合優(yōu)度為，設(shè)定∈{0.1，0.3｝，的值越小，表明所用的工具變量越弱，此時(shí)對(duì)應(yīng)的矩條件也越弱。此外，由的表達(dá)式，可以看出，π1越大，越大，因此，π1的系數(shù)大小可以體現(xiàn)工具變量（矩條件）的重要程度。另外，φ（Z）用來控制模型的異質(zhì)性，考慮兩種函數(shù)形式。其一是φ（Z）=，即考慮異方差的情形；其二是φ（Z）=1，模型退化胡毅和王美今［14］考慮的同質(zhì)的情形。

對(duì)于參數(shù)π1的設(shè)定，令π12=0.05；對(duì)于外部工具變量的系數(shù)π11，則考慮如下兩個(gè)模型：

模型A：系數(shù)遞減

模型B：π11向量前五個(gè)元素的值相等，后面元素的值為0。根據(jù)的公式，即：

相比較而言，模型B對(duì)工具變量（矩條件）的強(qiáng)弱有更好的區(qū)分度。最后，模擬重復(fù)次數(shù)為1000。參數(shù)一旦給定，在重復(fù)模擬中不再改變。

5.2 模擬結(jié)果分析

首先，考察不同參數(shù)設(shè)定下，β0=（γ0，δ0）′的估計(jì)量的有限樣本表現(xiàn)。本文采用四種方法估計(jì)β0，分別是最小二乘估計(jì)（OLS）、利用全部工具變量（矩條件）的兩步GMM估計(jì)（GMM-all）、利用可行的矩條件選取準(zhǔn)則選出的矩條件進(jìn)行的兩步GMM估計(jì)（GMM-sel）以及利用真實(shí)的矩條件選取向量選出的矩條件進(jìn)行的兩步GMM估計(jì)（GMM-opt）。對(duì)于每個(gè)估計(jì)，分別計(jì)算其偏差的中位數(shù)（Med.Bias）、絕對(duì)偏差的中位數(shù)（Med.AD）以及四分位數(shù)間距（Dec.Rge）；前兩個(gè)指標(biāo)可以用來刻畫估計(jì)量的偏差程度，后一個(gè)指標(biāo)刻畫估計(jì)量分布的變異程度。對(duì)比這些估計(jì)量，可以考察矩條件的選取準(zhǔn)則對(duì)GMM估計(jì)量的有限樣本性質(zhì)的改善情況。模擬結(jié)果見表1。n=1000以及模型B的結(jié)論類似，為節(jié)省篇幅，結(jié)果備索。

表1給出了擾動(dòng)項(xiàng)異方差時(shí)，模型A在樣本容量為500下的結(jié)果。在模型A的設(shè)定下，第一階段回歸模型的外部工具變量的回歸系數(shù)逐漸遞減，意味著由這些工具變量構(gòu)造的矩條件的重要程度也逐漸減弱。從表1我們可以得到以下結(jié)論：（1）幾乎在所有設(shè)定下，GMM-opt有著最小的偏差與絕對(duì)偏差。在模型的內(nèi)生性問題很弱并不嚴(yán)重的情形，即σεv=0.1時(shí)，經(jīng)過矩條件選取后的GMM估計(jì)量與利用全部矩條件的GMM估計(jì)量在偏差上并沒有明顯改善，從后面的選取個(gè)數(shù)的分析可以看出，此時(shí)選取準(zhǔn)則基本選出了全部的矩條件，因此GMM-opt與GMM-all的結(jié)果很接近。但是值得注意的是，此時(shí)GMM-all的表現(xiàn)本身已經(jīng)較好，從表中可以看出，=0.1時(shí)GMM-all的偏差不到內(nèi)生性問題嚴(yán)重時(shí)（σεv=0.5）的十分之一，因此可供改善的空間并不大。當(dāng)模型的內(nèi)生性問題變得嚴(yán)重時(shí)，選取準(zhǔn)則的優(yōu)勢(shì)便很明顯地體現(xiàn)出來，GMM-opt的偏差只有GMM-all的二分之一或是更少。（2）GMM-sel的偏差與絕對(duì)偏差介于GMM-all與GMM-opt之間，且當(dāng)模型的內(nèi)生性問題變得嚴(yán)重或是第一階段回歸的擬合優(yōu)度變大時(shí)，GMM-sel的偏差與絕對(duì)偏差相對(duì)于GMM-all越來越小，且越來越接近GMM-opt的偏差與絕對(duì)偏差。這意味著本文提出的可行的矩條件選取準(zhǔn)則表現(xiàn)良好，可以有效地減小兩步GMM估計(jì)量的偏差。（3）從OLS到GMM-opt，四分位數(shù)間距Dec.Rge的值有逐漸增大的趨勢(shì)，驗(yàn)證了選取過程是一個(gè)偏差和方差相互權(quán)衡的過程。但是GMM-opt與GMM-all相比，Dec.Rge增加的也并不是太多。（4）隨著工具變量與內(nèi)生解釋變量的相關(guān)性變強(qiáng)，所有估計(jì)量的偏差都顯著變?。欢S著模型內(nèi)生性問題變得嚴(yán)重，所有估計(jì)量的偏差都變大，但相比之下，GMM-opt與GMM-sel的偏差變大幅度要遠(yuǎn)小于OLS與GMM-all偏差變大的幅度。這進(jìn)一步體現(xiàn)了本文提出的矩條件選取方法的優(yōu)勢(shì)所在。（5）與胡毅和王美今［14］的模擬結(jié)果類似，結(jié)構(gòu)方程的外生解釋變量的偏差在所有設(shè)定情形下均很小，幾乎不受內(nèi)生性問題的影響。

接著考察定理3的表現(xiàn)，也即選取準(zhǔn)則本身的有限樣本表現(xiàn)。根據(jù)定理3，選取準(zhǔn)則的漸近有效性要求tr［AMSE］/tr［AMSE（c0）］以概率為1趨于1，有限樣本下，該值越趨近于1越好。定義Ratio=tr［AMSE）］/tr［AMSE（c0）］，對(duì)于給定的參數(shù)設(shè)定，每次模擬時(shí)計(jì)算Ratio的值。表2給出了1000次模擬中，Ratio的四分之一分位數(shù)（LQ）、中位數(shù)（Med）以及四分之三分位數(shù)（UQ）。從表3可以看出，在所有設(shè)定中，Ratio的Med均非常接近于理論值1，且根據(jù)LQ與UQ的值可以看出，Ratio的變異程度很小。這表明本文提出的矩條件選取準(zhǔn)則本身的有限樣本表現(xiàn)非常良好。

最后，本文還考察了各種參數(shù)設(shè)定下，1000次模擬中，分別利用矩條件選取準(zhǔn)則和最優(yōu)的矩條件選取向量選出的矩條件個(gè)數(shù)的中位數(shù)（見表3）。結(jié)果表明：當(dāng)模型的內(nèi)生性問題不嚴(yán)重時(shí)，無論是模型A還是模型B，選取準(zhǔn)則和最優(yōu)的矩條件選取向量幾乎都選出了全部的矩條件，這與胡毅和王美今［14］IV的情形有所不同。主要原因是模型的內(nèi)生性并不嚴(yán)重時(shí)，增加矩條件的數(shù)目并不會(huì)使得估計(jì)量的偏差變得很大，但是會(huì)顯著的減小估計(jì)量的方差，綜合來看，增加矩條件的數(shù)目會(huì)改善估計(jì)量的MSE性質(zhì)。當(dāng)模型內(nèi)生性問題變得嚴(yán)重時(shí)，利用矩條件選取準(zhǔn)則和最優(yōu)矩條件選取向量選出的矩條件數(shù)目均為全部矩條件的三分之一或是更少，兩者的數(shù)目也非常接近。這說明了兩點(diǎn)：一是在模型存在內(nèi)生性問題時(shí)，矩條件選取的必要性；二是進(jìn)一步的印證了定理3的結(jié)論。從表3的模型B還可以看出，當(dāng)模型的內(nèi)生性問題相當(dāng)嚴(yán)重時(shí)（σεv=0.9），利用矩條件選取準(zhǔn)則和最優(yōu)矩條件選取向量均只選出了五個(gè)有效的矩條件，這也進(jìn)一步的表明本文選取方法的有效性。

表1 模型A，n=500，d3=20

表2 Ratio=tr[AMSE（c_hat）]/tr[AMSE（c0）]

表3 選擇準(zhǔn)則選出矩條件個(gè)數(shù)的中位數(shù)，d3=20

6 結(jié)語

本文對(duì)一般的矩約束模型的兩步GMM估計(jì)量進(jìn)行高階Taylor展開，進(jìn)而通過迭代的方法，求出兩步GMM估計(jì)量的高階MSE和近似MSE表達(dá)式。利用該近似MSE表達(dá)式，首先給出了兩步GMM估計(jì)量矩條件選取的一般方法，并證明了該方法的漸近有效性。然后，通過一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)存在異方差且?guī)в袃?nèi)生解釋變量的回歸模型，利用Monte Caro模擬考察了各種參數(shù)設(shè)定下，本文提出的選取準(zhǔn)則的有限樣本表現(xiàn)。模擬結(jié)果表明：提出的最優(yōu)矩條件選取向量以及可行的矩條件選取準(zhǔn)則均可以大幅降低傳統(tǒng)的兩步GMM估計(jì)量的有限樣本偏差。這一研究為實(shí)證研究中面臨的矩條件選取問題提供了理論依據(jù)。

本文的矩條件選取準(zhǔn)則并不依賴于對(duì)矩條件重要程度的排序。實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)矩條件數(shù)目比較少時(shí)（少于10個(gè)），可以利用枚舉法來尋找最優(yōu)的矩條件選取向量；當(dāng)矩條件數(shù)目較大時(shí)，則可以考慮通過模擬退火算法來實(shí)現(xiàn)［22］。

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Choosing the Optimal Moments in Moment Restriction Models

HU Yi1，WANG Mei-jin2，WANG Shou-yang3
（1.School of Management，University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China；2.Lingnan College，Sun Yat-sen University，Guangzhou 510275，China；3.Academy of Mathematics and Systems Science，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China）

Many behavior characteristics in the area of economics，finance and business management can be depicted by moment restriction models.Nevertheless，the parameters estimation in these models is sensitive to the selection of moments.How to choose the optimal moments，and then get more accurate parameter estimation and statistical inference is a crucial problem in empirical research.A method is proposed in this paper to select moments for two-step generalized method of moments（GMM）estimators in moment restriction models with many moments.The basic idea of this method is choosing moments such that the MSE of the GMM estimator is smallest.Firstly，iterative techniques are used to derive the higher order mean squared error（MSE）for two-step GMM，and obtain the approximate MSE for the estimators using Nagar decomposition.Then the optimal selection criterion is proposed and the asymptotic efficiency is shown.Monte Carlo simulations indicate that the proposed selection criterion could improve the finite sample properties of two-step GMM，and reduce the finite sample bias of two-step GMM，significantly.This research provides a theoretical basis for selection of moments in empirical studies.

moment restriction models；generalized method of moments；higher order MSE；approximate MSE；selection criterion

F224.0

A

1003-207（2014）07-0026-08

2013-07-16；

2014-02-18

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71301160）；中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2012M520420）

胡毅（1985-），男（漢族），湖北荊州人，中國科學(xué)院大學(xué)管理學(xué)院，講師，研究方向：計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型及其在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用.