高水平數(shù)學(xué)教學(xué)到底該教什么

李 祎

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高水平數(shù)學(xué)教學(xué)到底該教什么

李 祎

（福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州 350108）

數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平的高低，首當(dāng)其沖地體現(xiàn)在對教學(xué)內(nèi)容的把握上．高水平的教師，在教教材中顯性知識的同時(shí)，能挖掘出其后的隱性知識，教到一些別人教不出來的內(nèi)容．這些不易教到的隱性知識，就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)、過程、思想和結(jié)構(gòu)．通過深度挖掘教材中各種數(shù)學(xué)概念、結(jié)論等背后的隱性知識，達(dá)到與隱性知識的深度對話，有助于提高數(shù)學(xué)課堂實(shí)效和學(xué)生的綜合能力．

數(shù)學(xué)本質(zhì)；數(shù)學(xué)過程；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

教學(xué)研究的基本問題是“教什么”和“怎么教”，前者關(guān)乎教學(xué)內(nèi)容問題，后者關(guān)乎教學(xué)形式問題．教學(xué)內(nèi)容決定教學(xué)形式，教學(xué)形式服務(wù)于教學(xué)內(nèi)容．“教什么”永遠(yuǎn)比“怎么教”更重要．先進(jìn)理念首先關(guān)乎教學(xué)內(nèi)容，首先要關(guān)注“教什么”．

從“教什么”的視角來看，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平的高低，首當(dāng)其沖地體現(xiàn)在對教學(xué)內(nèi)容的把握上．低水平的教書匠，只會照本宣科，看到什么就教給學(xué)生什么，只是知識的搬運(yùn)工；高水平的教師，能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，在教教材中顯性知識的同時(shí)，能挖掘出其后的隱性知識，教到一些別人教不出來的內(nèi)容．

這些不易教到的隱性知識是什么呢？概括而言，研究者認(rèn)為是數(shù)學(xué)的本質(zhì)、過程、思想和結(jié)構(gòu)等4個(gè)方面．認(rèn)識到數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含的這些隱性知識，通過深度挖掘和解讀教材隱性知識，達(dá)到與隱性知識的深度對話，有助于提高數(shù)學(xué)課堂實(shí)效和學(xué)生的綜合能力．

1 教“本質(zhì)”

1.1 教數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的思維產(chǎn)物，所謂本質(zhì)屬性就是該類事物共有和特有的穩(wěn)定屬性，也可以說，本質(zhì)屬性就是事物變化當(dāng)中保持不變的屬性．掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，既需要靜態(tài)的分析其定義形式，更需要在比較、變化等聯(lián)系性活動(dòng)中揭示其內(nèi)涵．

比如，對于復(fù)數(shù)的本質(zhì)的把握，必須認(rèn)識到復(fù)數(shù)是一種二元數(shù)，而實(shí)數(shù)則是一元數(shù)．與把一元的實(shí)數(shù)看作“單純的數(shù)”相比，二元的復(fù)數(shù)不僅有數(shù)量意義，而且還有方向意義，它是一種“有方向的數(shù)”，“數(shù)量加方向”是復(fù)數(shù)的本質(zhì)屬性，這一本質(zhì)屬性可以通過復(fù)數(shù)的代數(shù)表示、三角表示和幾何表示來進(jìn)行揭示．

有一些數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，相對比較隱晦，更需要教師努力揭示．比如，在小學(xué)和初中階段，分別學(xué)過不同的“距離”：“兩點(diǎn)之間的距離”，“直線外一點(diǎn)到已知直線的距離”，“兩平行線之間的距離”．那么，距離的本質(zhì)是什么呢？其實(shí)，更一般來看，距離的本質(zhì)就是“最小值”：圖形內(nèi)的任一點(diǎn)與圖形內(nèi)的任一點(diǎn)間的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離．把握住這一本質(zhì)，高中階段學(xué)習(xí)“點(diǎn)到平面的距離”，“直線到與它平行的平面的距離”，“兩個(gè)平行平面的距離”，“異面直線的距離”的概念時(shí)，學(xué)生也能做到不教自明．

需要說明的是，掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，并不意味著背誦概念的定義．比如對于方程的定義“含有未知數(shù)的等式叫方程”，并沒有反映方程的本原思想．教師在方程定義的黑體字上大做文章，反復(fù)舉例，咬文嚼字地學(xué)習(xí)，朗朗上口地背誦，沒有實(shí)質(zhì)性的意義．絕對沒有學(xué)生因?yàn)楸巢怀鲞@句話而學(xué)不會“方程”的．方程的實(shí)質(zhì)是“為了尋求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立起來的一種等式關(guān)系”．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生能否記住方程的定義并不重要，關(guān)鍵在于領(lǐng)會其基本思想，并能夠進(jìn)行靈活地應(yīng)用[1]．

此外，對于數(shù)學(xué)概念定義的呈現(xiàn)，并非越嚴(yán)密、越精確，就越有助于掌握其本質(zhì)，還必須考慮到學(xué)生的可接受性．特別是對于抽象程度較高的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生接受起來比較困難，這時(shí)為了更好地幫助學(xué)生掌握概念的本質(zhì)，需要適度淡化概念的形式定義，以使學(xué)生更好地理解概念的內(nèi)涵．比如在高中數(shù)學(xué)教材中，對于導(dǎo)數(shù)和定積分概念的呈現(xiàn)，便采用了這樣的處理方式．

1.2 教數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)

數(shù)學(xué)中的結(jié)論很多，但大凡列入教材中的重要數(shù)學(xué)結(jié)論，如各種數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則等，主要在于其經(jīng)常用到、推證不易、形式簡單．把握數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，并不在于記誦結(jié)論本身，而在于理解其內(nèi)涵，明確其意義，掌握其功能，認(rèn)識其成立的理由．

比如在三角形的學(xué)習(xí)中有許多結(jié)論，對每一結(jié)論都應(yīng)盡可能把握其本質(zhì)：三角形的三內(nèi)角和定理反映了任意三角形的三內(nèi)角和所保持的不變性，其正確性在小學(xué)可以通過剪拼、折疊或拉伸的方法來進(jìn)行驗(yàn)證，在初中可以通過平行線的性質(zhì)定理來進(jìn)行嚴(yán)格證明；三角形的面積公式本質(zhì)上是刻畫了三角形底邊與對應(yīng)高的乘積的不變性，這一不變量可以度量三角形這一封閉圖形的大小，其正確性在小學(xué)可以通過剪拼或折疊的方法來進(jìn)行驗(yàn)證，在初中可以通過三角形的相似來進(jìn)行證明；三角形全等的判定定理本質(zhì)上是揭示了唯一確定三角形的大小和形狀所需要滿足的最簡條件；等等．

1.3 教數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)

數(shù)學(xué)中除了一些結(jié)論性知識，還有大量的方法性知識，比如運(yùn)算的方法、度量的方法、變換的方法、論證的方法等．掌握數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，不僅要掌握“怎么做”，即方法運(yùn)用的程序與步驟，還要掌握“為什么可以這樣做”，即數(shù)學(xué)方法的內(nèi)涵是什么，不同數(shù)學(xué)方法使用的條件是什么，適用的范圍是什么，數(shù)學(xué)方法與問題特質(zhì)具有怎樣的關(guān)聯(lián)性．

比如對于數(shù)的加、減運(yùn)算的方法，必需抓住計(jì)數(shù)單位這一本質(zhì)．因?yàn)樽匀粩?shù)以“1”為標(biāo)準(zhǔn)，“1”是自然數(shù)的單位，所以任何兩個(gè)自然數(shù)都可以直接相加減．同分母分?jǐn)?shù)，因?yàn)樗鼈兊姆謹(jǐn)?shù)單位相同，所以能直接相加減；異分母分?jǐn)?shù)，因?yàn)樗鼈兊姆謹(jǐn)?shù)單位不同，所以就要把它們化成相同的單位，這樣才可以相加減．小數(shù)的加減運(yùn)算中，小數(shù)點(diǎn)對齊才能相加減，其本質(zhì)也是相同計(jì)數(shù)單位要相同．因?yàn)橹灰?shù)點(diǎn)對齊，相同數(shù)位就對齊了，相同計(jì)數(shù)單位也就同樣能相加減了，而不必考慮小數(shù)的末位是不是一定對齊．

2 教“過程”

數(shù)學(xué)有3種形態(tài)：原始形態(tài)、學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)[2]．原始形態(tài)是指數(shù)學(xué)家在探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理時(shí)所進(jìn)行的曲折、復(fù)雜的數(shù)學(xué)思考；學(xué)術(shù)形態(tài)是指數(shù)學(xué)家對探索、發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)真理進(jìn)行歸納、整理形成文本材料后的一種形態(tài)，它呈現(xiàn)出的是“簡潔的、冰冷的形式化美麗”；教育形態(tài)是指教師通過自己的設(shè)計(jì)，將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識有效地“激活”，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，能夠模仿數(shù)學(xué)家那樣進(jìn)行“火熱的思考”，它是介于原始形態(tài)和學(xué)術(shù)形態(tài)之間的一種形態(tài)．

弗賴登塔爾曾經(jīng)這樣描述數(shù)學(xué)的表達(dá)形式：沒有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子公開發(fā)表出來，一個(gè)問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗，因此他說教材是“教學(xué)法的顛倒”．為了彰顯數(shù)學(xué)知識的過程性，通過數(shù)學(xué)知識的教育形式散發(fā)出數(shù)學(xué)的巨大魅力，讓數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”煥發(fā)學(xué)生“火熱的思考”，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中需要采用稚化思維的設(shè)計(jì)策略．

所謂稚化思維，就是教師把自己的外在權(quán)威隱蔽起來，在教學(xué)時(shí)不以一個(gè)知識豐富的教師自居，而是把自己的思維降格到學(xué)生的思維水平上，親近學(xué)生，接近學(xué)生，有意識地退回到與學(xué)生相仿的思維狀態(tài)，設(shè)身處地地揣摩學(xué)生的學(xué)習(xí)水平、狀態(tài)等，有意識地生發(fā)一種陌生感、新鮮感，以與學(xué)生同樣的認(rèn)知興趣、同樣的學(xué)習(xí)情緒、同樣的思維情境、共同的探究行為來完成教學(xué)的和諧共創(chuàng)．

比如在高中數(shù)學(xué)教材中，定義了直線的方向向量．為什么要給出這一數(shù)學(xué)概念？為什么要采用這樣的方式來對其進(jìn)行定義？通過分析與探究不難發(fā)現(xiàn)，定義直線的方向向量的根本目的，是為了刻畫和確定直線的方向．所謂直線的方向相同，就是指這些直線是互相平行的．那么，為什么不定義直線的“法向量”（與直線垂直的非零向量）？可否用直線的“法向量”來刻畫直線的方向呢？回答是否定的，因?yàn)橐粋€(gè)直線的“法向量”無法確定直線的方向．兩個(gè)不共線的“法向量”可以確定一個(gè)平面，而與平面垂直的直線的方向是確定的．由此可見，用與直線垂直的兩個(gè)不共線的非零向量也可以表示這條直線的方向，只不過數(shù)學(xué)追求簡潔美，用直線的方向向量只需一個(gè)向量就可以了[3]．

通過類似于以上這樣的分析和探究，有助于掌握數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和形成的客觀基礎(chǔ)，包括知識的來龍去脈，結(jié)論的背景、產(chǎn)生過程和意義，獲取知識的方法等．這樣不僅可以避免“知其然而不知其所以然”，而且可以有效把握知識的本質(zhì)和思想方法．

需要說明的是，沒有對數(shù)學(xué)知識的來龍去脈的正確把握，不僅會影響對數(shù)學(xué)概念發(fā)展的認(rèn)知和理解，也會影響到對具體數(shù)學(xué)問題的解決．比如，對于題目“求

的所有實(shí)數(shù)根”的求解，當(dāng)有人在求解中利用二次方程之判別式應(yīng)大于或等于0時(shí)，即

時(shí)，許多人對此就會提出“更正”．理由是“原方程根本就不是二次方程”，不能用判別式[4]．產(chǎn)生這一錯(cuò)誤認(rèn)識的根本原因，就在于當(dāng)人們熟記住了一元二次方程的求根公式之后，許多人忘記了求根公式的來龍去脈，忘記了判別式其實(shí)是“配方法的結(jié)果”，想當(dāng)然地認(rèn)為只有對一元二次方程才能使用判別式非負(fù)的性質(zhì)．

所以教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的過程中，為了凸顯知識的本質(zhì)特征，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，就必需重視知識的生成、發(fā)生、發(fā)展等過程性．掐頭去尾燒中段，忽視知識的來龍去脈，有意無意減縮思維過程，就可能造成思維斷層，出現(xiàn)嚴(yán)重“消化不良”，這樣就會導(dǎo)致學(xué)生對知識的表層理解和機(jī)械記憶．

3 教“思想”

數(shù)學(xué)問題可以千變?nèi)f化，而其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，卻往往是相通的．不去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，只滿足于對知識結(jié)論的記憶和解題技巧的掌握，這種“重術(shù)輕道”的數(shù)學(xué)教學(xué)，難以培養(yǎng)出有創(chuàng)造力的人才[5]．因?yàn)閿?shù)學(xué)知識教學(xué)只是信息的傳遞，而數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)才能使學(xué)生形成觀點(diǎn)和技能．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的，就在于掌握這種具有普遍意義和廣泛遷移價(jià)值的策略性知識——數(shù)學(xué)思想方法．

所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們從某些具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中抽象概括出來的對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識．?dāng)?shù)學(xué)方法是指人們在數(shù)學(xué)問題解決過程中所采取的步驟、程序和實(shí)施辦法．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法的升華與結(jié)晶，它支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，它為數(shù)學(xué)思想提供邏輯手段和操作原則．運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識不斷積累的過程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程度時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想．若把數(shù)學(xué)知識看作一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)方法相當(dāng)于建筑施工的手段，這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想．

數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，但這些思想方法往往并沒有明確地寫在教材上．如果說顯性的數(shù)學(xué)知識是寫在教材上的一條明線，那么隱性的思想方法就是潛藏其中的一條暗線．明線容易理解，暗線不易看明．“明線”直接用文字形式寫在教材里，反映知識間的縱向聯(lián)系；“暗線”反映著知識間的橫向聯(lián)系，常常隱藏在基礎(chǔ)知識的背后，需要經(jīng)過分析、提煉才能顯露出來．在數(shù)學(xué)教材里，到處都體現(xiàn)著這兩條線的有機(jī)結(jié)合．在數(shù)學(xué)教學(xué)中，在教顯性知識的同時(shí)，能否教出隱性的思想，既影響到了學(xué)習(xí)的效果，又彰顯了教師的素質(zhì)和水平．

對許多函數(shù)性質(zhì)的研究和探討，滲透的都是這些思想方法，它們不依內(nèi)容而異，呈現(xiàn)出某種相通性．這些思想方法看不見、摸不著，要使學(xué)生較好地掌握它們：一方面，教師在涉及到思想方法的關(guān)鍵處，要多留出時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立分析和思考，盡可能讓他們自己尋找和“發(fā)現(xiàn)”這些思想方法，“逼迫”他們在面臨問題時(shí)學(xué)會“數(shù)形結(jié)合”，學(xué)會“分類討論”，學(xué)會“從特殊到一般”等，因?yàn)榫唧w函數(shù)及其性質(zhì)僅是學(xué)習(xí)的載體，通過知識學(xué)習(xí)掌握這些思想方法、具備這種能力，才是教學(xué)的重點(diǎn)和關(guān)鍵；另一方面，教師在教學(xué)中要有意識地使用一些提示語，使學(xué)生在潛移默化地領(lǐng)會思想方法的同時(shí)，盡可能使數(shù)學(xué)思想方法顯性化，使學(xué)生對思想方法的學(xué)習(xí)和掌握，從自發(fā)走向自覺，從無意識默會走向有意識習(xí)得．

教學(xué)中不僅要教宏觀意義的思想方法，也要教具體解決問題的思想方法．比如在數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)中，教師在教學(xué)時(shí)要善于通過“多解歸一”的方式，尋求不同解法的共同本質(zhì)，乃至不同知識類別及思考方式的共性，上升到思想方法、哲理觀點(diǎn)的高度，從而不斷地抽象出具有共性的數(shù)學(xué)方法．因?yàn)閿?shù)學(xué)知識的鞏固主要在于做題，但做數(shù)學(xué)題不僅要注意“一題多解”，更要注意“多解歸一”．“一題”之所以能“多解”，往往就在于這些解法之間是有聯(lián)系的，這些聯(lián)系之間是有規(guī)律可循的，通過“多解”后的“歸一”，讓學(xué)生能夠站在系統(tǒng)的高度看問題，進(jìn)而升華到從哲學(xué)的角度認(rèn)知世界，這樣就可以形成強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力．

比如對于高中教材中正弦定理的證明，常見的有以下幾種不同的證明方法：

（1）作三角形底邊上的高線，以高作橋梁進(jìn)行證明；

（2）作三角形底邊上的高線，利用面積法進(jìn)行證明；

（3）作三角形的外接圓來進(jìn)行證明；

（4）作三角形的角平分線，根據(jù)角平分線定理及角平分線性質(zhì)定理進(jìn)行證明．

在具體教學(xué)中，究竟講幾種方法為好，常使任課教師感到困惑．其實(shí)，問題的關(guān)鍵并不在于方法的多與寡，而更在于能否透過不同解法，挖掘與提煉出更一般的思想方法，即不變量思想和化歸轉(zhuǎn)化思想．第一種證法是以高作為不變量來建立等量關(guān)系，第二種證法是以面積作為不變量來建立等量關(guān)系，第三種證法是以三角形的外接圓的直徑作為不變量來建立等量關(guān)系，第四種證法是根據(jù)角平分線性質(zhì)定理中的線段相等來建立等量關(guān)系．而在以上無論哪種方法的證明過程中，都是通過添加輔助線構(gòu)造出了直角三角形，利用直角三角形中三角函數(shù)的定義建立邊與角的關(guān)系，而這就是數(shù)學(xué)中化歸轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)．

4 教“結(jié)構(gòu)”

數(shù)學(xué)家華羅庚先生常說“既要能把書讀厚，又要能把書讀薄”．讀厚，就是要把每一邏輯關(guān)系，每一個(gè)細(xì)節(jié)搞清楚，想明白；讀薄，就是能抓住課程的主線和基本脈絡(luò)，抓住課程的內(nèi)在聯(lián)系，形成整體認(rèn)識．

美國教育家布魯納也認(rèn)為，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)．”所謂學(xué)科基本結(jié)構(gòu)，是指該學(xué)科的基本概念、基本原理及其相互之間的關(guān)聯(lián)性，是指知識的整體性和事物的普遍聯(lián)系，而非孤立的事實(shí)本身和零碎的知識結(jié)論．他認(rèn)為，這種基本結(jié)構(gòu)應(yīng)該成為教學(xué)過程的核心，因?yàn)檎莆樟藢W(xué)科知識的基本結(jié)構(gòu)，就能把握住知識體系的核心和關(guān)鍵，就可以從宏觀上理解學(xué)科知識，避免“只見樹木不見森林”．

比如，在初中數(shù)學(xué)教材中，從等角定理（如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)）出發(fā)，通過對一個(gè)角的一邊或兩邊的平移，與另一個(gè)角的邊的重合，不難發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)事實(shí)，即分散在課本里的6條定義、定理（角相等定義、平角定義、對頂角相等，兩直線平行則同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)），竟全包括在一個(gè)等角定理內(nèi)．這1個(gè)定理是那6條定義、定理的聯(lián)合推廣，那6條定義、定理則是這1個(gè)定理的特例．因?yàn)樗鼈冊臼且粋€(gè)系統(tǒng)．

正如數(shù)學(xué)特級教師孫維剛所言，融會貫通的過程，使人們透過繁雜的現(xiàn)象，抓住了本質(zhì)，同時(shí)簡化了記記．更重要的是，接觸到了一種嶄新的認(rèn)識問題的思想方法：由尋找聯(lián)系入手，運(yùn)用定義、平移變換等數(shù)學(xué)思想和從“特殊到一般，又從一般到特殊”的方法，把個(gè)別的、離散的現(xiàn)象構(gòu)造成渾然一體的系統(tǒng)，這已經(jīng)標(biāo)志著能力的提高和素質(zhì)的發(fā)展了．以這種提高和發(fā)展，去學(xué)習(xí)、去解題，將與過去不可同日而語[6]．

又如，單調(diào)性、斜率與導(dǎo)數(shù)是3個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念，分別在高中不同階段進(jìn)行學(xué)習(xí)．表面看似聯(lián)系不甚緊密的3個(gè)概念，其實(shí)存在著內(nèi)在的本質(zhì)性聯(lián)系．

可以看出，只有打通不同知識之間的壁壘，對學(xué)科知識體系通曉義理、融會貫通，才能在教學(xué)時(shí)達(dá)到觸類旁通、左右逢源的效果．

總之，教師要做到“淺出”，必需先進(jìn)行“深入”．通過犀利而深邃的數(shù)學(xué)眼光，透過教材中各種數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則和圖表，看到書中跳躍著的真實(shí)而鮮活的數(shù)學(xué)內(nèi)容．這些涉及本質(zhì)、過程、思想、結(jié)構(gòu)等的隱性內(nèi)容，給人的感覺是“不在書里，就在書里”．此時(shí)的教師身上自然散發(fā)著一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)光華與氣息，攜自身的全部數(shù)學(xué)涵養(yǎng)融入教室、融入課堂、融入學(xué)生，學(xué)生由此而汲取數(shù)學(xué)的豐富營養(yǎng)．

[1] 張奠宙．關(guān)于數(shù)學(xué)知識的教育形態(tài)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2001，（4）：1-2．

[2] 張奠宙．教育數(shù)學(xué)是具有教育形態(tài)的數(shù)學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（3）：1-3．

[3] 李祎．基于探究學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)策略研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2009，（2）：22-24．

[4] 羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論[M]．西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997．

[5] 劉茂全．從道家思想看數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個(gè)關(guān)系問題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008，17（1）：15-17．

[6] 孫維剛．孫維剛初中數(shù)學(xué)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2005．

High Level of Mathematics Teaching in the End What to Teach

LI Yi

(College of Mathematics and Computer, Fujian Normal University, Fujian Fuzhou 350108, China)

Mathematics teacher’s teaching level firstly reflects on the mastery of teaching content. A high level of teachers can not only teach explicit knowledge in textbook, but also can teach the tacit knowledge in textbook which can’t be mined by other teachers. The tacit knowledge which is not easy to be mined is mathematical essence, mathematical ideas, mathematical process and mathematical structure. A high level of teachers can recognize the tacit knowledge in textbook, and have a conversation with the tacit knowledge which can be acquired by mining mathematical concepts and mathematical conclusions. It is helpful to improve the effect of classroom teaching and students’ comprehensive ability.

mathematical essence; mathematical process; mathematical ideas; mathematical structure

2014–07–10

2013年教育部人文社會科學(xué)研究規(guī)劃基金——數(shù)學(xué)教師基于教學(xué)的學(xué)科知識水平發(fā)展研究（13YJA880043）

李祎（1971—），男，山西臨汾人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

G420

A

1004–9894（2014）06–0031–05

[責(zé)任編校：周學(xué)智]