對兩相材料薄板聲功率及其靈敏度研究

薛曉理，吳錦武，趙龍勝

(南昌航空大學(xué)飛行器工程學(xué)院，江西南昌 330063)

0 引 言

環(huán)境中存在各種各樣的振動(dòng)現(xiàn)象，振動(dòng)輻射噪聲污染環(huán)境，因而受到廣泛關(guān)注。機(jī)器結(jié)構(gòu)聲輻射噪聲的大小成為評價(jià)其動(dòng)態(tài)性能的重要指標(biāo)。基于聲輻射模態(tài)研究結(jié)構(gòu)聲功率及其靈敏度，對降低噪聲有重要的指導(dǎo)意義。聲功率靈敏度是指聲功率關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的變化率，能夠量化各設(shè)計(jì)參數(shù)對聲功率的影響程度，以聲功率靈敏度為指標(biāo)，通過定量修改設(shè)計(jì)參數(shù)，降低結(jié)構(gòu)輻射噪聲，是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要途徑。

90年代初，Borgiotti、Cunefare、Elliott[1-3]等學(xué)者提出聲輻射模態(tài)的概念，其實(shí)質(zhì)是將結(jié)構(gòu)表面的振動(dòng)分解成一組聲輻射獨(dú)立的速度分布，這樣聲功率可表示成每階聲輻射模態(tài)速度幅值的平方與相應(yīng)特征值乘積的和。近年來，邊界元法和有限元法聯(lián)合求解聲輻射問題得到廣泛應(yīng)用[4-6]。Salagame[7]等學(xué)者通過瑞利積分推出了聲功率靈敏度表達(dá)式，姜哲等[8]學(xué)者分析了加筋板的聲功率靈敏度。

本文進(jìn)一步拓展求解聲功率及其靈敏度的研究范圍，基于聲輻射模態(tài)再結(jié)合有限元求解兩相材料薄板的聲功率及其關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度。建立有限元模型，處理振動(dòng)環(huán)節(jié)，用振型疊加法求解模態(tài)坐標(biāo)從而求出結(jié)構(gòu)的速度分布，用聲輻射模態(tài)方法處理聲輻射環(huán)節(jié)。

1 有限元模型

利用有限元法建立阻尼振動(dòng)系統(tǒng)在外力激勵(lì)下的振動(dòng)微分方程：

其中M、C、K分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣，F(xiàn)0為激勵(lì)力幅值向量，ω為激勵(lì)頻率，δ為振動(dòng)法向位移向量。結(jié)構(gòu)的阻尼一般難以準(zhǔn)確確定，工程中常采用Raileigh阻尼，將阻尼矩陣表示成質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合[9]：

其中α、β為常數(shù)，與結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比有關(guān)。設(shè)ωi、ωj分別為第i個(gè)和第j個(gè)固有頻率，ξi、ξj分別為第i個(gè)和第j個(gè)振型的阻尼比(即實(shí)際阻尼和改振型的臨界阻尼的比值)，則α、β表示為：

設(shè)在簡諧力激勵(lì)下結(jié)構(gòu)法向位移響應(yīng)復(fù)數(shù)形式為

將式(5)代入式(1)，約去時(shí)間項(xiàng)得到：

可得到：

若用式(7)直接求解，則需要矩陣求逆運(yùn)算，大規(guī)模的矩陣逆運(yùn)算耗時(shí)且由于取舍誤差導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果誤差較大。利用振型疊加法求解模態(tài)坐標(biāo)，從而求得結(jié)構(gòu)的速度分布。

在求出無阻尼振動(dòng)的固有頻率和振型的基礎(chǔ)上，將位移向量δ0看成是振型[φ]的線性組合，引入變換式：

ηi稱為模態(tài)坐標(biāo)，將式(8)代入式(6)，方程左右兩端同時(shí)左乘[φ]T，得到：

將對角化后的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣代入式(9)可實(shí)現(xiàn)對振動(dòng)微分方程的解耦：

解式(10)得到模態(tài)坐標(biāo)：

對于線性系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)分析，振型疊加法是很有效的。它的優(yōu)點(diǎn)在于簡便。由于高振型對反應(yīng)的貢獻(xiàn)不顯著，通?？紤]前幾階振型的反應(yīng)貢獻(xiàn)就可得到所需的精度。

振動(dòng)法向速度是法向位移關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，舍去時(shí)間因子項(xiàng)，得到

振速對設(shè)計(jì)參數(shù)x求偏導(dǎo)為：

由式(13)、(14)得到：

2 聲輻射模態(tài)模型

任意形狀的振動(dòng)結(jié)構(gòu)表面S以圓頻率ω振動(dòng)，向無界空間V輻射聲。在空間V中充滿均勻介質(zhì)，介質(zhì)的密度為ρ，聲速為c。設(shè)振動(dòng)表面S上的法相振速為U，輻射聲壓為P(ω)。對于單頻振動(dòng)，結(jié)構(gòu)的輻射聲功率[10]可表示為：

式中：Re表示取復(fù)數(shù)實(shí)部，上標(biāo)H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置。

通過瑞利積分，平板上任一點(diǎn)X處聲壓P(X,ω)與結(jié)構(gòu)表面法相振速可離散為

式中，Z為阻抗矩陣。

由式(17)，可將式(16)寫成如下形式[10]：R為實(shí)對稱正定矩陣[10]，將其進(jìn)行特征值分解可以得到一個(gè)正交矩陣Q和對角矩陣：Λ

式(19)中，T表示矩陣轉(zhuǎn)置；n為結(jié)構(gòu)離散節(jié)點(diǎn)數(shù)，Λ為由特征值λi構(gòu)成的對角矩陣。將式(19)代入式(18)可以得到

式中：y=QH·U，稱為聲輻射模態(tài)的伴隨系數(shù)矩陣，yi為第i階聲輻射模態(tài)伴隨系數(shù)。根據(jù)式(20)，可以得到聲功率關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)x的偏導(dǎo)數(shù)，即聲功率靈敏度為：

特別對于與分析頻率無關(guān)的參數(shù)，由于輻射表面形狀、尺寸不受影響，此時(shí)聲輻射模態(tài)不發(fā)生變化。聲功率靈敏度表達(dá)變?yōu)?/p>

3 算例及分析

3.1 聲功率分析

設(shè)采用工程中常用的矩形薄板結(jié)構(gòu)，薄板由兩相材料構(gòu)成，一種為剛性材料，一種為柔性材料。

設(shè)薄板的長、寬以及厚分別為a=0.2m，b=0.2m，t=0.001m 。給定結(jié)構(gòu)剛性材料(鋼)和柔性材料(PVF)彈性模量分別為E1= 2 .1×1011N/m2，密度分別為ρ1=7800 kg/m3，泊松比μ=0.3，空氣密度聲速c=343m/s。在板中心位置施加單頻激勵(lì)力，幅值F0=1N，激勵(lì)頻率為1:8 00 Hz。

根據(jù) Bend?se[11]的研究結(jié)果，得到復(fù)合薄板的彈性模量和密度按照帶懲罰的變密度SIMP插值方式構(gòu)成：

式中：x為材料分布密度，取= 0 .5，懲罰因子p=4。

對兩相材料薄板進(jìn)行模態(tài)分析，得到了結(jié)構(gòu)的前10階模態(tài)頻率見表1。

表1 簡支薄板前十階固有頻率Table.1 The first ten natural frequencies of a simple supported plate

根據(jù)式(18)得到了薄板隨頻率變化的聲功率級，所得結(jié)果如圖1所示。

分析表1和圖1可知，薄板在第一階固有頻率(72.6 Hz)處聲功率達(dá)到最大值，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)避免激勵(lì)頻率與第一階固有頻率接近。本例中薄板是正方形，其第(m,n)階和第(n,m)階模態(tài)頻率相等，在第5階和第6階的時(shí)候，實(shí)際激起的模態(tài)振型有兩階，因此在這個(gè)頻率(362.9 Hz)的時(shí)候，結(jié)構(gòu)輻射聲功率也很大。

圖1 薄板輻射聲功率級Fig.1 Sound power level radiated by a thin plate

3.2 聲功率關(guān)于板厚的靈敏度分析

為了從理論上研究分析兩相材料薄板的厚度、分布密度和振動(dòng)頻率對薄板聲輻射的影響，在上述模型的基礎(chǔ)上，分別改變算例中板厚和分布密度，對其進(jìn)行研究。

按照算例模型，板的厚度t可變，其變化規(guī)律為：t=(0.008+0.008n) mm，(n=0,1,2,…,99)。分析了激勵(lì)頻率為100、200、300、400 Hz時(shí)聲功率及其關(guān)于板厚變化的靈敏度，得到圖2和圖3。

分析圖2、圖3可知，當(dāng)聲功率達(dá)到峰值時(shí)，相應(yīng)的聲功率靈敏度也達(dá)到峰值，這些峰值是由于激勵(lì)頻率與薄板的固有頻率接近使薄板產(chǎn)生了共振。

圖2 不同厚度下薄板的聲輻射功率Fig.2 Sound powers radiated by the plate of different thicknesses

薄板厚度在1 mm以下時(shí)，聲功率及其靈敏度隨著板厚的變化比較明顯。隨著厚度的增加，聲功率及其靈敏度會出現(xiàn)一些“平坦區(qū)域”，在這些區(qū)域內(nèi)，板厚對聲功率的影響不明顯。

圖3 薄板關(guān)于厚度的聲功率靈敏度Fig.3 Sound power sensitivity to the thickness of the plate

隨著激勵(lì)頻率的增大，聲功率及其靈敏度的峰值位置所對應(yīng)的薄板厚度在向后推移。激勵(lì)頻率為100 Hz時(shí)，峰值出現(xiàn)在1.36 mm處，聲功率及其靈敏度分別為81.606 dB和8.466；200 Hz時(shí)，峰值出現(xiàn)在2.72 mm處，聲功率及其靈敏度分別為75.548 dB和8.134；300 Hz時(shí)，峰值出現(xiàn)在4.16 mm處，聲功率及其靈敏度分別為75.326 dB和8.255；400 Hz時(shí)，峰值出現(xiàn)在5.52 mm處，聲功率及其靈敏度分別為79.312 dB和8.783。說明在實(shí)際中不是薄板的厚度越大越好，薄板的厚度應(yīng)該根據(jù)結(jié)構(gòu)的激勵(lì)源來確定。

3.3 聲功率關(guān)于分布密度的靈敏度分析

按照算例模型，板的材料密度分布x可變，其變化規(guī)律為：x=0.01+0.01n，(n=1,2,…,99)。分析了激勵(lì)頻率為100、200、300、400 Hz時(shí)聲功率及其關(guān)于分布密度變化的靈敏度，得到圖4和圖5。

圖4 不同分布密度下的薄板聲功率Fig.4 Sound power radiated by the plate of different distribution densities

分析圖4、5可知，當(dāng)聲功率達(dá)到峰值時(shí)，相應(yīng)的聲功率靈敏度也達(dá)到峰值，這些峰值是由于薄板在激勵(lì)頻率下產(chǎn)生了共振。在峰值之前，聲功率及其靈敏度出現(xiàn)了“平坦區(qū)域”，在這區(qū)域內(nèi)調(diào)整結(jié)構(gòu)的材料分布密度，不能有效地控制結(jié)構(gòu)噪聲。在峰值之后，薄板聲功率隨密度的增大而迅速減小。

圖5 薄板關(guān)于分布密度的聲功率靈敏度Fig.5 Sound power sensitivity to the distribution density of the plate

在低頻激勵(lì)時(shí)，聲功率及其靈敏度出現(xiàn)峰值次數(shù)很少，隨著激勵(lì)頻率的增加，聲功率及其靈敏度出現(xiàn)峰值的次數(shù)也在增加，變化也越來越復(fù)雜。

3.4 聲功率綜合分析

分別取圖2和圖4峰值位置的板厚與分布密度，在相應(yīng)的激勵(lì)頻率下求得相應(yīng)的聲功率，得到表2。表2中的聲功率明顯小于圖2和圖4中峰值位置所對應(yīng)的聲功率，說明兩相材料薄板的聲功率受到薄板厚度、材料分布密度、外界激勵(lì)頻率的綜合因素的影響。

表2 簡支薄板聲功率Table 2 Sound power radiated by a simple supported plate

綜合分析得到：當(dāng)激勵(lì)頻率接近薄板固有頻率附近，結(jié)構(gòu)聲輻射功率急劇增加達(dá)到峰值。在“平坦區(qū)域”內(nèi)，薄板的聲輻射功率并不隨著板厚與密度分布的增加而減小，這主要是由于薄板的固有頻率隨著板厚與分布密度的變化而變化，從而引起聲輻射功率的變化。同時(shí)可以看出，隨著結(jié)構(gòu)厚度或者分布密度的增加，結(jié)構(gòu)輻射聲功率的總體變化趨勢是減小的，但聲輻射功率并不是隨結(jié)構(gòu)厚度或者分布密度的增加而單調(diào)減小，在某些厚度或者分布密度下，結(jié)構(gòu)輻射聲功率不降反升。同時(shí)也說明，薄板結(jié)構(gòu)并不是越厚越好，也不是密度越大越好，其厚度與分布密度值的選擇還應(yīng)取決于激勵(lì)源特性。

4 結(jié) 論

本文利用有限元與聲輻射模態(tài)對兩相材料薄板結(jié)構(gòu)的聲輻射聲功率及其關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度進(jìn)行了研究，以四邊簡支正方形薄板為例，分析了激勵(lì)頻率、薄板厚度與分布密度的變化對其聲輻射的影響。在有限元部分，用振型疊加法求解模態(tài)坐標(biāo)得到位移向量，從而得到薄板表面速度分布。基于聲輻射模態(tài)理論，求解了聲功率及其關(guān)于設(shè)計(jì)參數(shù)的靈敏度。

數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：對于動(dòng)力響應(yīng)分析，振型疊加法是很有效的。激勵(lì)頻率、不同的板厚與分布密度對薄板的聲輻射都有較大的影響。

將有限元與聲輻射模態(tài)方法相結(jié)合，可以實(shí)現(xiàn)對任意邊界條件薄板的聲輻射特性進(jìn)行研究，從而為低噪聲設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)，對實(shí)際中結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)有重要的指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)

[1] Giorgio V Borgiotti. The power radiated by a vibrating body in an acoustic fluid and its determination from boundary measurements[J]. J. Acoust. Soc. Am, 1990, 88(4): 1884-1893.

[2] Cunefare K A, Koopmann G H. Acoustic design sensitivity for structural radiators [J]. ASME, J. Vib. Acoust, 1992, 114(2):178-186.

[3] Elliott S J, Johnson M E. Radiation modes and the active control of sound power[J]. J. Acoust. Soc. Am, 1993, 94(4): 2194-2204.

[4] 張軍, 兆文忠, 張維英. 結(jié)構(gòu)聲輻射有限元/邊界元法聲學(xué)-結(jié)構(gòu)靈敏度研究[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2005, 18(3): 366-370.ZHANG Jun, ZHAO Wenzhong, ZHANG Weiying. Research on acoustic-structure sensitivity basing on FEM and BEM[J]. Journal of Vibration Engineering, 2005, 18(3): 366-370.

[5] 白楊, 汪鴻振. 聲學(xué)-結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)靈敏度分析[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2003,22(3): 43-46.BAI Yang, WANG Hongzhen. Acoustic-Structural design sensitivity analysis[J]. Journal of Vibration and Shock, 2003, 22(3): 43-46.

[6] 陳劍, 程昊, 高煜, 等. 基于有限元—邊界元的聲學(xué)構(gòu)形靈敏度分析[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2009, 22(2): 213-217.CHEN Jian, CHENG Hao, GAO Yu, et al. Acoustic configuration sensitivity analysis based on FEM and BEM[J]. Journal of Vibration Engineering, 2009, 22(2): 213-217.

[7] Salagame R R, Koopmann G H. Analytical sensitivity of acoustic power radiated from plates[J]. J. Vib. Acoust, 1995, 117(1): 43-45.

[8] 邱亮, 姜哲, 袁國清. 基于聲輻射模態(tài)的粘彈性阻尼板聲功率靈敏度[J]. 噪聲與振動(dòng)控制, 2009, 5(5): 131-135.QIU Liang, JIANG Zhe, YUAN Guoqing. Analysis of sound power sensitivity of viscoelastic damping plates based on acoustic radiation modes[J]. Noise and Vibration Control, 2009, 5(5):131-135.

[9] 王元漢, 李麗娟, 李銀平. 有限元法基礎(chǔ)與程序設(shè)計(jì)[M]. 廣州:華南理工大學(xué)出版社, 2001: 157.WANG Yuanhan, LI Lijuan, LI Yinping. Finite element theory and programming[M]. Guangzhou: South China University of Technology Press, 2001: 157.

[10] 姜哲. 聲輻射問題中模態(tài)分析: I理論[J]. 聲學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 29(6):507-515.JIANG Zhe. A modal analysis for the acoustic radiation problems:I Theory[J]. Acta Acustica, 2004, 29(6): 507-515.

[11] Bend?se M P, Sigmund O. Material interpolation schemes topology optimization[J]. Arch Appl Mech, 1999, 69(9-10): 635-654.