應(yīng)用Poisson板理論求解S0蘭姆波在通孔缺陷的散射

張海燕，姚杰聰，馬世偉

(1. 上海大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，特殊光纖與光接入網(wǎng)省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200444；2. 上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海市電站自動(dòng)化技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200072)

0 引 言

因?yàn)樘m姆波在(NonDestructive Testing, NDT)應(yīng)用的潛力，近年來波導(dǎo)中的散射問題受到相當(dāng)大的關(guān)注。由于其復(fù)雜性，所進(jìn)行的研究主要是應(yīng)用數(shù)值方法如有限元法(Finite Element Method, FEM)[1]或邊界元法(Boundary Element Method, BEM)[2]。雖然二維(2D)研究能夠部分洞察蘭姆波與缺陷之間的相互作用，為了全面地理解散射過程，3D建模是必須的。盡管計(jì)算能力和效率不斷提高，數(shù)值方法仍然需要相當(dāng)高的計(jì)算代價(jià)。即使高性能計(jì)算機(jī)，對(duì)一個(gè)特定的入射波場(chǎng)，計(jì)算時(shí)間也是幾個(gè)小時(shí)的數(shù)量級(jí)。而解析或半解析解對(duì)這樣的問題是適用的，能夠快速仿真眾多不同散射體的散射。對(duì)于2D問題，解析解方法已用于研究蘭姆波遇圓形腔體[3]或裂紋[4]的散射。對(duì)于3D問題，尋求解析解相當(dāng)復(fù)雜。雖然瑞利-蘭姆波解是精確的，然而，它在表征蘭姆波與結(jié)構(gòu)缺陷的作用時(shí)相當(dāng)困難，因?yàn)樵跓o限多的模式中，需要考慮模式耦合的影響[5-8]。即使激發(fā)頻率低于第一階模式的截止頻率(也即僅有一個(gè)傳播模式)，近場(chǎng)波高階模式[9]在缺陷與周圍結(jié)構(gòu)的界面上也參與模式轉(zhuǎn)換過程[10]。Grahn[6]采用雙級(jí)數(shù)波函數(shù)展開法，給出了部分穿透孔的數(shù)值解，發(fā)現(xiàn)為了實(shí)現(xiàn)收斂，需要大量的蘭姆波模式。例如，在第二個(gè)彎曲模式的1/3倍截止頻率這樣低的頻率，計(jì)算中需要9個(gè)蘭姆波模式[11]。對(duì)于更高的頻率，在展開式中將會(huì)有更多項(xiàng)，這樣將導(dǎo)致很慢的收斂率。因此，要求尋找計(jì)算上更有效的求解方法。

作為對(duì)蘭姆波精確解的替代，各種近似板理論，如 Kane-Mindlin膨脹形變(extensional deformation)理論[12]以及 Mindlin板彎曲理論[13]，無論是對(duì)稱和反對(duì)稱模式，都已可以很精確地描述蘭姆波的頻散特性，達(dá)到了第二個(gè)彎曲模式的截止頻率[14]。在低頻限制下，對(duì)于膨脹波(S0波)，Mindlin板理論退化到 Poisson板理論，對(duì)于彎曲波(A0波)，Mindlin板理論退化到 Kirchhoff板理論。Mckeon和Hinders[15]采用Mindlin板理論，考察了S0波與各種尺寸孔的散射特征。對(duì)點(diǎn)源激發(fā)的 S0波，證實(shí)了當(dāng)孔的尺寸大于波束尺寸時(shí)，散射的影響很重要，解釋了鋁板中大缺陷孔平行投影層析成像中存在星狀條紋圖案贗像的原因，文中的理論和散射求解方法對(duì)發(fā)展蘭姆波衍射層析成像具有重要作用。

本文基于Poisson板理論，研究了入射的S0平面波與圓形通孔缺陷之間的相互作用。由于所考慮的問題是3D問題，散射場(chǎng)中也包含SH波。又因?yàn)槿肷鋱?chǎng)關(guān)于板中面是對(duì)稱的，散射體也是對(duì)稱的，在低頻時(shí)，散射場(chǎng)中僅包含對(duì)稱的S0和SH0模式，文中對(duì)這兩種模態(tài)的散射特性進(jìn)行了研究，并與Diligent的3D精確理論[5]進(jìn)行比較。給出了這兩個(gè)模式位移散射場(chǎng)的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖，研究了激發(fā)頻率和缺陷尺寸對(duì)散射結(jié)果的影響，希望能為蘭姆波無損檢測(cè)提供一些理論指導(dǎo)。

1 問題描述

考慮入射的 S0平面波遇到圓形通孔缺陷的散射。幾何模型如圖1所示，板的厚度為2h，通孔的半徑為a，坐標(biāo)系統(tǒng)原點(diǎn)位于通孔的中心?？紤]時(shí)諧狀態(tài)，省略時(shí)間因子exp(i)tω?，其中ω表示角頻率，t表示時(shí)間。

2 Poisson板理論

2.1 基本方程

Poisson板理論是描述膨脹運(yùn)動(dòng)的低階近似板理論。其位移場(chǎng)是由兩個(gè)標(biāo)量勢(shì)場(chǎng)φ、ψ控制，在固定頻率下，兩者滿足亥姆霍茲(Helmholtz)方程：

圖1 含通孔板幾何模型Fig.1 The geometry of plate with a through hole

圖2給出了Poisson板理論與3D精確理論頻散曲線的比較。Poisson板理論的cl在低頻時(shí)與S0模式重合，Poisson板理論的ct在整個(gè)頻率范圍內(nèi)與SH0模式重合。在低于S1模式的截止頻率(頻厚積約為2.8 MHz·mm)，S0和SH0是3D精確理論中的傳播模式，它們對(duì)波場(chǎng)的貢獻(xiàn)最大，其它非傳播模式(凋零波，波數(shù)為復(fù)數(shù))相對(duì)于這兩個(gè)模式對(duì)波場(chǎng)的貢獻(xiàn)較小。因此，在與這兩個(gè)模式重合的頻率范圍內(nèi)，Poisson板理論可以作為3D精確理論的一種近似替代。

圖2 Poisson板理論與3D精確理論頻散曲線的比較Fig.2 Dispersion curves of the Poisson theory (dash lines) compared to the exact 3D theory (solid lines)

柱狀坐標(biāo)下的應(yīng)力和應(yīng)變可表示為[6]：

式(3)中的位移用勢(shì)函數(shù)表示為

結(jié)合式(2)~(4)，可得：

2.2 波場(chǎng)展開

S0平面波入射時(shí)，入射場(chǎng)用勢(shì)函數(shù)表示為：

將式(6)代入式(5)，可得

在散射場(chǎng)區(qū)域，方程(1)的解為

am與bm為散射場(chǎng)的展開系數(shù)，可利用在缺陷處的邊界條件求出。

將式(8)代入式(5)，可得

2.3 邊界條件

同3D精確理論類似，在孔邊緣r=a處的邊界條件為：

方程(8)中的展開系數(shù)可通過式(10)確定。對(duì)每一個(gè)m值，含有兩個(gè)未知數(shù)的系統(tǒng)方程用矩陣形式表示為

式(11)中的αi,j(i,j=1,2)、βi(i= 1 ,2)見后面附錄。

3 數(shù)值計(jì)算

數(shù)值示例中所用的材料為剛板，其材料參數(shù)為：楊氏模量E=210GPa，泊松比υ=0.3，或Lamé常數(shù)λ=121.2 GPa，μ=80.8 GPa，密度ρ=8100 kg/m3。

數(shù)值分析中的無量綱參數(shù)為：入射場(chǎng)的波數(shù)k與孔半徑的乘積ka(k為入射的S0模式的波數(shù)，這里k=kl)，歸一化頻率Ω=ωh/ct，孔半徑a/h。

文獻(xiàn)[5]給出了Poisson板理論和Diligent的3D精確理論在不同頻率、不同孔徑時(shí)兩種基本對(duì)稱模式的位移遠(yuǎn)場(chǎng)散射方向圖，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行了比較。散射波的位移遠(yuǎn)場(chǎng)幅值定義為

3.1 頻率變化對(duì)散射場(chǎng)的影響

圖3 不同頻率時(shí)S0模式的位移散射遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖Fig.3 Far field patterns of displacement scattering for S0 mode at different frequencies

圖4 不同頻率時(shí)SH0模式的位移散射遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖Fig.4 Far field patterns of displacement scattering for SH0 mode at different frequencies

圖3和圖4給出了S0和SH0的位移散射遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖，其中，ka=1(a≈λ/6，λ為入射波的波長(zhǎng))。可以看到，隨頻率(更確切地說，頻厚積)增加，Poisson板理論偏離3D精確理論的變化情況。低頻時(shí)，Ω≤0.4，兩個(gè)理論模型具有完好的一致性。隨著頻率增加，兩者間逐漸分離，當(dāng)Ω=1.2時(shí)，Poisson板理論與3D精確理論的偏差較小。但隨著頻率繼續(xù)增大，Poisson板理論在形狀上與3D精確理論的差異逐漸增大。對(duì)不同的孔徑，如ka=2(a≈λ/3)，隨著頻率變化，這兩個(gè)理論具有類似的變化趨勢(shì)，只不過它們出現(xiàn)偏離時(shí)的頻率可能不同，這里不再給出。

3.2 缺陷尺寸對(duì)散射場(chǎng)的影響

既然Poisson板理論在低頻情況下可以作為3D精確理論的替代，我們可以在低頻時(shí)采用 Poisson板理論研究散射體(缺陷)變化對(duì)散射場(chǎng)的影響，以便對(duì)缺陷進(jìn)行評(píng)價(jià)，這將大大簡(jiǎn)化計(jì)算。圖5和圖6給出了Ω=0.4，不同ka值時(shí)的S0和SH0模式的位移散射遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖?？梢钥吹剑⑸涞?S0波主要集中在前向(0°)和后向(180°)(圖5)，而散射的 SH0波主要集中在橫向方向(90°~150°,210°~270°)(圖6)。隨著ka增大，S0波越來越集中在前向，且具有更強(qiáng)的波束指向性和更大的幅值(圖5)。同樣，隨ka增大，SH0波在橫向方向也具有更大的幅值(圖6)。更清晰的比較顯示在圖7中，可以看到，0°散射角時(shí)的S0散射波幅值可以反映ka的變化，而110°(或 250°，由于對(duì)稱性，圖中未給出)附近散射角時(shí)SH0散射波的幅值也可以反映ka的變化，且這種變化近似線性，如圖7(b)、7(d)所示，以此可以對(duì)缺陷的大小進(jìn)行評(píng)判。

圖5 Ω=0.4，不同ka值時(shí)S0模式的位移散射遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖Fig.5 Far field patterns of displacement scattering for S0 mode at Ω= 0 .4 for different ka values

圖6 Ω=0.4，不同ka值時(shí)SH0模式的位移散射遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖Fig.6 Far field patterns of displacement scattering for S0 mode at Ω= 0 .4for different ka values

圖7 Ω =0.4，不同ka值時(shí)S0和SH0模式的散射圖Fig.7 Scattering patterns of S0 and SH0 modes for different ka values atΩ=0.4

4 結(jié) 語

盡管3D精確理論在高頻情況下求解散射場(chǎng)比較精確，但是其計(jì)算過程繁瑣，并且隨著頻率的增高，模態(tài)數(shù)變多，計(jì)算復(fù)雜性變大。在低頻情況下，采用3D精確理論并沒有顯示出優(yōu)越性。基于此，本文用簡(jiǎn)單的Poisson板理論計(jì)算S0蘭姆波對(duì)通孔的散射，并與 3D精確理論進(jìn)行了對(duì)比，給出了Poisson板理論的適用范圍。在此基礎(chǔ)上，對(duì)S0和SH0的遠(yuǎn)場(chǎng)散射特性進(jìn)行了研究，得出的結(jié)論是：

(1) Poisson板理論是最低階的描述膨脹波運(yùn)動(dòng)的近似板理論，僅在低頻下(如對(duì)鋼板，Ω≤0.4，相當(dāng)于頻厚積≤0.4MHz·mm)才可以給出較精確的結(jié)果。

(2) 在低頻限制下，Poisson板理論相比3D精確理論是一種較好的選擇，可以極大地簡(jiǎn)化計(jì)算。這是因?yàn)?D精確理論波場(chǎng)展開式中包含較多的傳播模式和非傳播模式，而 Poisson板理論僅含有兩個(gè)模式。實(shí)際上，為了避免蘭姆波的頻散和多模式混疊，蘭姆波檢測(cè)多在低頻情況下進(jìn)行。

(3) S0和SH0具有不同的散射場(chǎng)分布。S0散射波能量主要集中在前向和后向，其前向散射波幅度隨孔徑增大線性增加。SH0散射波能量主要集中在橫向方向，在某些散射角度方向散射波幅值也隨孔徑呈近似線性變化。這兩種模式都可以為缺陷無損評(píng)價(jià)提供理論指導(dǎo)。

(4) 本文所用的理論和方法為用解析法求解蘭姆波在固體中的散射提供了基礎(chǔ)。從入射場(chǎng)來說，可以推廣到任何可能的波型，如更高階的對(duì)稱模式、彎曲波模式(反對(duì)稱模式)，也可以從平面波入射推廣到點(diǎn)源、有限寬度的源入射。從缺陷類型來說，可以從通孔推廣到盲孔，也可以從圓孔推廣到橢圓孔，甚至不規(guī)則孔。從材料來說，也可從各向同性材料推廣到各向異性復(fù)合材料。

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