半空間內(nèi)孔邊界面裂紋對SH波的動力響應(yīng)

趙春香，齊 輝，楊在林，王蕾蕾

（1.黑龍江科技大學(xué)理學(xué)院，哈爾濱 150022；2.哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

半空間內(nèi)孔邊界面裂紋對SH波的動力響應(yīng)

趙春香1，齊 輝2，楊在林2，王蕾蕾2

（1.黑龍江科技大學(xué)理學(xué)院，哈爾濱 150022；2.哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

采用“鏡像”和“剖分－契合”等方法，對SH波作用下半空間孔邊界面裂紋的動應(yīng)力問題進(jìn)行了研究。首先，采用“鏡像法”，將半空間鏡像為全空間，構(gòu)造出滿足邊界條件的散射波場；其次，借助“剖分－契合”方法和“裂紋切割”技術(shù)，將全空間沿界面分割成兩個半空間求解后，再由界面應(yīng)力位移連續(xù)“契合”條件組合成全空間，建立起求解該問題的積分方程組；最后，對界面裂紋端點的動應(yīng)力強度因子（DSIF）進(jìn)行數(shù)值分析。分析結(jié)果表明：適當(dāng)?shù)乇荛_入射波波數(shù)、入射角度及裂紋長度等最不利影響因素的組合，可達(dá)到降低裂紋尖端點動應(yīng)力的目的。

半空間；界面裂紋；SH波；“鏡像法”；動應(yīng)力強度因子（DSIF）

天然地質(zhì)條件形成的介質(zhì)分層、斷層等連續(xù)與非連續(xù)界面分布廣泛，地介質(zhì)內(nèi)同時存在界面、裂紋和孔洞等工程結(jié)構(gòu)也是工程中的常見現(xiàn)象。研究斷層、裂隙等非連續(xù)介質(zhì)界面動力性能，掌握界面裂紋在動態(tài)荷載作用下的力學(xué)行為，對工程應(yīng)用過程中合理評估裂紋對工程結(jié)構(gòu)構(gòu)成的威脅和保障地下結(jié)構(gòu)的安全具有重要意義［1－2］。

彈性波對固體介質(zhì)中界面、裂紋和孔洞等缺陷的動力作用及彈性波傳播時界面、裂紋和孔洞等缺陷間的相互作用，是現(xiàn)今界面波動力學(xué)和界面斷裂動力學(xué)的主要研究內(nèi)容［3］。自Sih［4］研究界面裂紋尖端附近縱向剪切問題的應(yīng)力分布以來，國內(nèi)外學(xué)者相繼在該領(lǐng)域進(jìn)行了大量的研究工作［5－7］。然而，目前的研究主要集中在SH波入射條件下全空間界面孔洞等缺陷與界面裂紋或任意位置裂紋的相互作用以及半空間界面裂紋與其附近孔洞等缺陷的相互作用問題，而對界面孔洞與界面裂紋同時存在的半空間問題還有待研究。本文在文獻(xiàn)［7］基礎(chǔ)上，采用“鏡像”和“剖分－契合”等方法就半空間雙相介質(zhì)界面上同時嵌有圓孔和裂紋時SH波對界面裂紋的動力作用進(jìn)行研究，并對界面裂紋尖端動應(yīng)力強度因子（DSIF）進(jìn)行數(shù)值分析。

1 力學(xué)模型

設(shè)自由鉛垂面右側(cè)無限半空間介質(zhì)存在水平分界面，分界面兩側(cè)各自四分之一空間的介質(zhì)為均勻、連續(xù)、各向同性的彈性介質(zhì)。當(dāng)平面SH波入射時，該水平界面上并存圓形孔洞與裂紋的鉛垂半空間的力學(xué)模型如圖1所示。

在圖1所示的坐標(biāo)系下，上下四分之一區(qū)域Ⅱ和Ⅰ中介質(zhì)的密度和剪切模量分別是ρ2、μ2和ρ1和μ1；半徑為a的圓形孔洞兩側(cè)的裂紋長度分別為A；圓形孔洞的圓心到鉛垂界面的距離為d；穩(wěn)態(tài)SH波以入射角α0入射。

圖1 力學(xué)模型Fig.1 Mechanicalmodel

2 理論分析

在該問題的求解中，由于雙向介質(zhì)水平界面、界面上的圓形孔洞與裂紋和鉛垂半空間表面的存在，造成入射的SH波出現(xiàn)多次散射和反射而形成新的波源，導(dǎo)致很難直接構(gòu)造出滿足鉛垂表面應(yīng)力自由條件的散射波場。為此，本文在文獻(xiàn)［8］基礎(chǔ)上，采用“鏡像法”，將該半空間問題向左側(cè)鏡像為全空間問題。

其中：W0、W2和W4分別為入射波、反射波和折射波的位移幅值。

在介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ中產(chǎn)生的散射波場分別為：

借助文獻(xiàn)［6］“剖分－契合”思想和“裂紋切割”技術(shù)，將全空間問題分割成能應(yīng)用Helmholtz控制方程求解的上下兩個均勻、連續(xù)、各向性質(zhì)相同的彈性介質(zhì)半空間。

由式（1）～（10），即可確定區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ中的散射波場和應(yīng)力場。

其中：G1和G2分別為區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的Green函數(shù)。

根據(jù)散射波的衰減特性和文獻(xiàn)［4］的求解方法，即可確定式（11）和（12）中的f1（r0，θ0）和f2（r0，θ0）。

通常用下面的無量綱動應(yīng)力強度因子（DSIF）來描述裂紋尖端點的動應(yīng)力集中程度，即

3 數(shù)值分析

下面對具體算例的界面裂紋離孔遠(yuǎn)端端點的DSIF進(jìn)行數(shù)值分析，并討論其與相關(guān)影響因素的依存關(guān)系。為消除計算模型中尺寸的影響而采用的無量綱參數(shù)k1a、A/a、d/a、μ*＝μ2/μ1和k*＝k2/k1分別表示入射波數(shù)、界面裂紋長度、圓形孔洞中心到鉛垂邊界的距離、介質(zhì)Ⅱ和Ⅰ剪切模量比和波數(shù)比，并令圓形孔洞半徑a＝1.0。

圖2給出了k*＝1.0、μ*＝1.0、d/a＝3.0和A/a＝1.0時，SH波以不同入射角α0＝0°、α0＝45°和α0＝90°入射時，左右兩側(cè)界面裂紋尖端點動應(yīng)力強度因子k3與入射波數(shù)k1a的相關(guān)曲線。從圖中可以看出，當(dāng)α0＝90°時，左右兩側(cè)k3曲線都位于最上方；左側(cè)k3峰值出現(xiàn)在k1a＝0.4時，這和文獻(xiàn)［7］中采用波數(shù)展開法在相同條件下求解的圖5.6的結(jié)果一致；該圖k3的最大值發(fā)生于SH波以入射波數(shù)k1a＝1.6垂直入射時的右側(cè)裂紋尖端點，且右側(cè)k3的峰值是左側(cè)k3峰值的6.5倍。

圖2 k3隨k1a的變化Fig.2 Variation of k3with k1a

圖3 SH波垂直入射時，k3隨d/a的變化Fig.3 Variation of k3with d/a disturbed by SH-wave vertically

圖4 SH波垂直入射時，k3隨k1a的變化Fig.4 Variation of k3with k1a disturbed by SH-wave vertically

圖3給出了μ*＝1.0、α0＝90°、k1a＝1.6和A/a＝1.0時，SH波以波數(shù)比k*＝0.5～k*＝0.4入射條件下，右側(cè)界面裂紋尖端點k3隨d/a變化的曲線。從圖中可以看出，當(dāng)k*＝0.5時，k3趨于直線，基本不隨d/a變化；當(dāng)k*＝1.0時，k3隨著d/a的增大而呈現(xiàn)周期性變化；當(dāng)k*＝2.0和k*＝4.0時，在d/a＝27.0和d/a＝19.5位置，k3表現(xiàn)出劇烈的振蕩。該圖反映了鉛垂邊界距孔心的距離d/a和k*對DSIF的綜合影響不容忽視，同時也表明了可通過適當(dāng)調(diào)整d/a的大小來達(dá)到降低k3的目的。

圖4給出了k*＝1.0、μ*＝1.0、α0＝90°、d/a＝3.0時，不同的裂紋長度情況下，右側(cè)界面裂紋尖端點k3隨k1a的變化規(guī)律。從圖中可以看出，k3的波峰出現(xiàn)在了裂紋長度為A/a＝4.0的情況，波峰位于k1a＝1.0位置；其他裂紋長度時k3的波峰分別位于不同的k1a位置，且依裂紋長度的減小而減小。這些現(xiàn)象表明了裂紋長度和入射波數(shù)對界面裂紋尖端點的DSIF的綜合影響。

4 結(jié) 論

本文采用“鏡像法”和“剖分－契合法”等方法，研究了SH波作用下半空間界面圓孔兩側(cè)界面裂紋尖端點的動應(yīng)力問題，給出了該問題界面裂紋尖端點的動應(yīng)力強度因子的解析解和數(shù)值解。數(shù)值結(jié)果表明：

（1）SH波作用下半空間界面圓孔右側(cè)裂紋尖端點動應(yīng)力強度因子的峰值遠(yuǎn)大于其左側(cè)峰值，且介質(zhì)材料參數(shù)的波數(shù)比、入射波數(shù)、入射角度、圓形孔洞中心到鉛垂邊界的距離及裂紋長度對裂紋尖端點動應(yīng)力的綜合影響也必須給予充分考慮。

（2）可根據(jù)裂紋端部的動應(yīng)力強度因子的分布規(guī)律，適當(dāng)避開波數(shù)比、入射波波數(shù)及裂紋長度等最不利影響因素的組合，以達(dá)到降低裂紋尖端點動應(yīng)力的目的。

［1］王鐸，汪越勝.界面動力學(xué)研究近況［J］.上海力學(xué)，1993，14（4）：1－15.

WANG Duo，WANG Yue-sheng.Recent progress in dynamics of interface［J］.Shanghai Journal of Mechanics，1993，14（4）：1－15.

［2］楊在林，許華南，黑寶平.半空間橢圓夾雜與裂紋對SH波的散射［J］.振動與沖擊，2013，32（11）：56－61＋79.

YANG Zai-lin，XU Hua-nan，HEI Bao-ping.Interaction of elliptical inclusion and crack under incident SH-wave in a halfspace［J］.Journal of Vibration and Shock，2013，32（11）：56－61＋79.

［3］章梓茂，陳英俊，馬興瑞，等.裂紋體彈性波散射問題研究概述［J］.力學(xué)進(jìn)展，1993，23（2）：195－205.

ZHANG Zi-mao，CHEN Ying-jun，MA Xing-rui，et al.The scattering of elastic waves by cracks［J］.Advances in Mechanics，1993，23（2）：195－205.

［4］Sih G C.Stress distribution near internal crack tips for longitudinal shear problems［J］.Journal of Applied Mechanics，1965，32（1）：51－58.

［5］Matus V V，Kunets Y I.Null field method of SH-wave scattering by partially debounded elastic inclusion［C］//NASU.13th International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problemsof Electromagnetic and AcousticWave Theory，New York：IEEE Conference Publications，2008：176－178.

［6］Qi Hui，Yang Jie.Dynamic analysis for circular inclusion of arbitrary positions near interfacial crack impacted by SH-wave in half-space［J］.European Journal of Mechanics/A Solids，2012，36：18－24.

［7］劉宏偉.界面圓孔和孔邊裂紋對SH波散射問題的研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)，1997.

［8］齊輝，折勇，李宏亮，等.SH波入射時垂直半空間中雙相介質(zhì)界面附近圓孔的動力分析［J］.爆炸與沖擊，2009，29（1）：73－79.

QIHui，SHIYong，LIHong-liang，et al.Dynamic analysis for scattering of SH-wave by circular cavities near bimaterial interfaces in a vertical half-space［J］.Explosion and Shock Waves，2009，29（1）：73－79.

［9］Zhao Chun-xiang，Qi Hui.The green's function solution of rightangle plane including a semi-cylindrical canyon［C］//Xu Shilang，Tan Kanghai，Chen Chaohe.Applied Mechanics and Materials.Switzerland：Trans Tech Publications，2013：830－835.

Dynam ic response of interface cracks originating at an hole in a half-space to SH-wave

ZHAO Chun-xiang1，QIHui2，YANG Zai-lin2，WANG Lei-lei2
（1.College of Science，Heilongjiang University of Science and Technology，Harbin 150022，China；
2.College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

The dynamic stress responses of interface cracks originating at an hole in a half-space to SH-wave were studied using themethods of‘image’and‘partitioning-conjunction’.Firstly，the half spacewas imaged into a full space and a scatteringwave field satisfying boundary conditionswas constructed with themethod of‘image’.Secondly，with the help of the‘partitioning-conjunction’method and‘crack-division’technique，the solving domain was divided into two parts along the interface，the two sub-domains satisfying the continuous‘conjunction’conditions of displacement and stress on the interface were conjoined，and a group of integral equations were built to solve this problem.Finally，the dynamic stress intensity factor of the interface crack tip was analyzed with the numerical method.Numerical results demonstrated that the purpose of reducing crack tip's dynamic stress can be achieved by properly avoiding the combination of themost adverse effect factors，such as，incidentwave number，incident angle，and crack length，etc.

half space；interface crack；SH-wave；image'method；dynamic stress intensity factor（DSIF）

O343.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.028

黑龍江省自然科學(xué)基金項目（A201307）

2014－05－26 修改稿收到日期：2014－08－19

趙春香女，博士，副教授，1967年生