基于正交多項(xiàng)式法的動(dòng)力吸振器安裝點(diǎn)的等效質(zhì)量識(shí)別

何 山，楊志堅(jiān)，2，丁 康，吳欽杰

（1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣州 510640；

2.重慶理工大學(xué)汽車(chē)零部件先進(jìn)制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400054）

基于正交多項(xiàng)式法的動(dòng)力吸振器安裝點(diǎn)的等效質(zhì)量識(shí)別

何 山1，楊志堅(jiān)1，2，丁 康1，吳欽杰1

（1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣州 510640；

2.重慶理工大學(xué)汽車(chē)零部件先進(jìn)制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400054）

在動(dòng)力吸振器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，為方便匹配和尋找動(dòng)力吸振器的最優(yōu)參數(shù)，需要識(shí)別主系統(tǒng)在安裝點(diǎn)的等效質(zhì)量來(lái)將其簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)。針對(duì)傳統(tǒng)質(zhì)量感應(yīng)法操作復(fù)雜、識(shí)別精度低的缺點(diǎn)，采用正交多項(xiàng)式法來(lái)識(shí)別主系統(tǒng)的等效質(zhì)量，通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合驗(yàn)證對(duì)比正交多項(xiàng)式法和質(zhì)量感應(yīng)法的識(shí)別結(jié)果。結(jié)果表明正交多項(xiàng)式法相對(duì)于質(zhì)量感應(yīng)法識(shí)別精度高，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果較好的吻合，且通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證利用正交多項(xiàng)式法匹配的動(dòng)力吸振器有較優(yōu)的吸振效果，基本符合不動(dòng)點(diǎn)理論的最優(yōu)條件。

動(dòng)力吸振器；正交多項(xiàng)式法；等效質(zhì)量

在動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)過(guò)程中，需要根據(jù)其安裝點(diǎn)的特性對(duì)主系統(tǒng)作簡(jiǎn)化，從而獲得主系統(tǒng)的等效質(zhì)量，等效剛度以及等效阻尼。對(duì)于這三個(gè)參數(shù)，在原點(diǎn)頻響函數(shù)測(cè)得的情況下，只要識(shí)別出等效質(zhì)量，能夠方便地推算出等效剛度和等效阻尼。因此，在主系統(tǒng)的簡(jiǎn)化過(guò)程中，關(guān)鍵在于識(shí)別等效質(zhì)量。

等效質(zhì)量的傳統(tǒng)識(shí)別方法有特征向量法［1］、質(zhì)量感應(yīng)法［2－3］等。其中特征向量法是利用總能量相等的原則，把離散化之后的主系統(tǒng)所有位置的振動(dòng)總能量等價(jià)到動(dòng)力吸振器的安裝點(diǎn)上，這種方法的識(shí)別精度與離散的點(diǎn)數(shù)有關(guān)，需要先做模態(tài)分析離散系統(tǒng)以及計(jì)算振型向量，計(jì)算量大、操作復(fù)雜，因此使用不廣泛。而質(zhì)量感應(yīng)法是目前使用較普遍的一種方法，其原理是在主系統(tǒng)上附加一個(gè)質(zhì)量，改變其固有頻率，通過(guò)附加質(zhì)量前后的固有頻率關(guān)系來(lái)推算出主系統(tǒng)的等效質(zhì)量，該方法直觀易懂、原理簡(jiǎn)單，操作較特征向量法方便。

近年來(lái)，隨著模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法的發(fā)展，在頻響函數(shù)的擬合和參數(shù)識(shí)別方面有很大進(jìn)步［4－5］，擬合精度高且穩(wěn)定性好，有一定的抗噪性。因此，本文選用正交多項(xiàng)式法作為等效質(zhì)量的識(shí)別方法，用以對(duì)比傳統(tǒng)的質(zhì)量感應(yīng)法，分析該算法的優(yōu)劣。該方法只需要測(cè)得動(dòng)力吸振器安裝點(diǎn)的原點(diǎn)頻響函數(shù)，選定擬合的頻段即可識(shí)別出該頻段內(nèi)主系統(tǒng)的等效質(zhì)量、等效剛度以及阻尼比。

1 正交多項(xiàng)式法原理

系統(tǒng)頻響函數(shù)用正交多項(xiàng)式的形式表示為

其中：N為模態(tài)階數(shù)；ak和bk（k＝0，1，2，…，2N）為正交多項(xiàng)式系數(shù)，均為有理數(shù)。pi（jω）和qi（jω）均為第i階正交多項(xiàng)式。

構(gòu)造正交多項(xiàng)式，通過(guò)推導(dǎo)頻響的誤差函數(shù)，以其作為目標(biāo)函數(shù)，解方程組即可求出待定系數(shù)ak和bk（k＝0，1，2，…，2N），具體步驟見(jiàn)參考文獻(xiàn)［6］。

2 單自由度系統(tǒng)識(shí)別

仿真一個(gè)質(zhì)量為m＝1 kg，固有頻率在f＝50 Hz，阻尼比為0.005的單自由度系統(tǒng)，其位移幅頻函數(shù)如圖1所示，頻率分辨率為0.1 Hz。通過(guò)正交多項(xiàng)式擬合而得的位移幅頻函數(shù)（紅色實(shí)線）與原始位移幅頻函數(shù)（黑色虛線）基本完全重合。擬合所得的等效質(zhì)量為m1＝0.999 9 kg，誤差為0.01%，與原系統(tǒng)相當(dāng)接近。

對(duì)比質(zhì)量感應(yīng)法，在該系統(tǒng)上附加一個(gè)0.1 kg的附加質(zhì)量，由公式

圖1 單自由度系統(tǒng)位移幅頻函數(shù)擬合Fig.1 Single degree of freedom system FRF fitting

計(jì)算可得m2＝1.012 5 kg，誤差為1.25%，相比正交多項(xiàng)式法誤差較大，而提高頻率分辨率為0.01之后，識(shí)別出的等效質(zhì)量m2＝1.003 2 kg，誤差降低為0.32%。由此可見(jiàn)，在單自由度系統(tǒng)中，正交多項(xiàng)式法和質(zhì)量感應(yīng)法的識(shí)別效果都較準(zhǔn)確，但質(zhì)量感應(yīng)法的誤差大小較依賴(lài)于頻率分辨率的高低。

3 平面框架仿真與實(shí)驗(yàn)

3.1 平面框架仿真模型的建立與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

利用LMSVirtual.Lab按實(shí)際尺寸建立平面框架的仿真模型，框架尺寸為800mm×300mm×11.2mm，楊氏模量為2.26×1011N/m2，泊松比為0.291，對(duì)有限元模型做自由模態(tài)仿真，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果做對(duì)比。

結(jié)果如圖2、3所示，仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的前兩階模態(tài)的振型和固有頻率基本吻合，因此，可以使用該有限元模型作為驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)。

圖2 第一階振型Fig.2 The first order vibrationmode

3.2 平面框架的等效質(zhì)量識(shí)別

以框架的第一階固有頻率作為吸振頻率，則動(dòng)力吸振器應(yīng)安裝在第一階振型的幅值點(diǎn)，即長(zhǎng)邊中點(diǎn)處。使用力錘激勵(lì)測(cè)得該點(diǎn)的原點(diǎn)位移幅頻函數(shù)，分別用正交多項(xiàng)式法和質(zhì)量感應(yīng)法識(shí)別其等效質(zhì)量。

（1）利用正交多項(xiàng)式法識(shí)別等效質(zhì)量，選取70 Hz～80 Hz作為擬合頻段，擬合結(jié)果如圖4所示，擬合頻響和實(shí)驗(yàn)測(cè)得頻響完全重合，擬合精度很高。

圖3 第二階振型Fig.3 The second order vibration mode

（2）利用質(zhì)量感應(yīng)法識(shí)別等效質(zhì)量，在該點(diǎn)附加一個(gè)1 kg的質(zhì)量塊，如圖5所示，測(cè)得附加質(zhì)量塊前后的固有頻率。

同時(shí)，利用LMSVirtual.Lab對(duì)上述兩種方法進(jìn)行仿真，其中質(zhì)量感應(yīng)法直接在安裝點(diǎn)附加一個(gè)1 kg的集中質(zhì)量，如圖6所示，仿真安裝位置的原點(diǎn)位移幅頻函數(shù)。將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果作對(duì)比，結(jié)果見(jiàn)表1。

圖4 框架實(shí)驗(yàn)位移幅頻函數(shù)擬合Fig.4 Framework experiment FRF fitting

圖5 質(zhì)量感應(yīng)法識(shí)別等效質(zhì)量Fig.5 Mass responsemethod estimating equivalentmass

表1 等效質(zhì)量識(shí)別結(jié)果Tab.1 Equivalentm ass identification results

圖6 安裝點(diǎn)附加1 kg的集中質(zhì)量Fig.6 Add 1kg concentrated mass onmounting point

分析表1中數(shù)據(jù)可知：①若只對(duì)比兩種方法的仿真結(jié)果，識(shí)別出來(lái)的等效質(zhì)量較接近，證明在理論上兩種方法都是可行的；②利用正交多項(xiàng)式法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果非常接近，識(shí)別效果很好。③利用傳統(tǒng)質(zhì)量感應(yīng)法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果相差較大。分析原因可能是由于附加質(zhì)量增加了主系統(tǒng)在這個(gè)位置的局部剛度，修改仿真模型，在附加質(zhì)量附近利用剛性蜘蛛網(wǎng)約束周?chē)鷰讉€(gè)節(jié)點(diǎn)，再進(jìn)行仿真而得的等效質(zhì)量是6.6 kg，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相接近。因此，證明在實(shí)驗(yàn)中，附加質(zhì)量會(huì)提高安裝點(diǎn)附近的局部剛度，使得固有頻率增大，因此等效質(zhì)量增加。

3.3 安裝動(dòng)力吸振器的效果對(duì)比

加工一個(gè)質(zhì)量、剛度和阻尼可調(diào)的動(dòng)力吸振器，其結(jié)構(gòu)如圖7所示。質(zhì)量塊和橡膠之間、橡膠和底座之間均采用過(guò)盈配合固定。①通過(guò)替換質(zhì)量塊，可以方便地調(diào)整動(dòng)力吸振器的質(zhì)量；②改變質(zhì)量塊與橡膠的接觸深度h，可以在較大范圍內(nèi)調(diào)節(jié)動(dòng)力吸振器的剛度，而擰緊（松）固定橡膠的螺母，則在小范圍內(nèi)調(diào)節(jié)其剛度；③通過(guò)替換不同的橡膠配方，能夠分級(jí)改變其阻尼。

圖7 動(dòng)力吸振器剖視圖Fig.7 DVA cutaway view

通過(guò)上述兩種方法計(jì)算出的等效質(zhì)量，把主系統(tǒng)簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)。利用無(wú)阻尼的不動(dòng)點(diǎn)理論分別匹配兩組不同的動(dòng)力吸振器參數(shù)［7］，選定動(dòng)力吸震器質(zhì)量為0.5 kg，則其他參數(shù)匹配結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 動(dòng)力吸震器參數(shù)匹配Tab.2 DVA parameter matching

根據(jù)阻尼比值，選擇45NR＋SBR材料的橡膠，在長(zhǎng)邊中點(diǎn)安裝動(dòng)力吸振器，如圖8所示。將動(dòng)力吸振器用502膠水粘在鐵地板上，利用錘擊測(cè)試并分別調(diào)節(jié)動(dòng)力吸振器固有頻率至表中的計(jì)算最優(yōu)固有頻率，測(cè)安裝吸振器前后的原點(diǎn)頻響，頻率分辨率設(shè)為0.25 Hz。

圖8 安裝動(dòng)力吸振器后測(cè)原點(diǎn)位移幅頻函數(shù)Fig.8 Measure FRF aftermounting DVA

圖9 安裝動(dòng)力吸振器后的原點(diǎn)頻響對(duì)比Fig.9 FRF contrast aftermounting DVA

實(shí)測(cè)位移幅頻函數(shù)如圖9所示，可得結(jié)論：①對(duì)比圖4和圖9可知，由于框架阻尼太小，在未安裝動(dòng)力吸振器之前位移幅頻函數(shù)的峰值達(dá)到5×10－4m/N，而安裝動(dòng)力吸振器能夠把幅值有效抑制在1.2×10－5m/N以?xún)?nèi)。②對(duì)比圖9內(nèi)的兩條頻響可知，以正交多項(xiàng)式法識(shí)別的等效質(zhì)量來(lái)匹配的吸振器最大幅值較小，且出現(xiàn)了較明顯的兩個(gè)峰，兩邊的峰值高度很接近，基本符合不動(dòng)點(diǎn)理論的最優(yōu)條件；而以質(zhì)量感應(yīng)法識(shí)別的等效質(zhì)量來(lái)匹配的吸振器最大幅值大一點(diǎn)，左邊的峰值明顯大于右邊的峰值，吸振效果并非最優(yōu)。

4 結(jié) 論

利用正交多項(xiàng)式法識(shí)別動(dòng)力吸振器安裝點(diǎn)的等效質(zhì)量，并與傳統(tǒng)的質(zhì)量感應(yīng)法進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)合驗(yàn)證了正交多項(xiàng)式法優(yōu)于質(zhì)量感應(yīng)法。

相對(duì)于質(zhì)量感應(yīng)法，正交多項(xiàng)式法有如下優(yōu)點(diǎn)：

（1）正交多項(xiàng)式法操作相對(duì)方便，只需要測(cè)一次安裝點(diǎn)的原點(diǎn)位移幅頻函數(shù)即可；而質(zhì)量感應(yīng)法則需分別測(cè)安裝質(zhì)量塊前后的原點(diǎn)位移幅頻函數(shù)。

（2）質(zhì)量感應(yīng)法由于需要直接讀取峰值頻率，因此其受頻率分辨率影響較大，而正交多項(xiàng)式法對(duì)頻率分辨率并不敏感。

（3）正交多項(xiàng)式法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果較好吻合，而質(zhì)量感應(yīng)法在實(shí)驗(yàn)中附加質(zhì)量會(huì)增加安裝點(diǎn)的局部剛度，導(dǎo)致固有頻率上升，使得識(shí)別的等效質(zhì)量較真實(shí)值大。

（4）利用正交多項(xiàng)式法識(shí)別的等效質(zhì)量來(lái)計(jì)算匹配的動(dòng)力吸振器吸振效果較好，基本符合不動(dòng)點(diǎn)理論的最優(yōu)條件。

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Estim ating equivalentmass of a dynamic vibration absorber atm ounting point based on method of orthogonal polynom ials

HE Shan1，YANG Zhi-jian1，2，DINGKang1，WU Qing-jie1
（1.School of Mechanical and Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China；
2.MOE Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology for Automobile Parts，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

For the convenience ofmatching the optimal parametersof a dynamic vibration absorber，itsmain system needs to be simplified to a 1-DOF system by estimating its equivalentmass atmounting point.As the traditionalmass response method has shortcomings of complex operation and low identification accuracy.Here，the orthogonal polynomials were used to estimate the equivalentmass.Then，the results of the orthogonal polynomialmethod and themass response method were compared through combination of simulation and test.The results showed that the orthogonal polynomial method's identification precision is high，the test results are close to the simulation ones.In addition，through tests，itwas shown that using the method of orthogonal polynomial to match with a dynamic vibration absorber has a better vibration reduction effect being coincidentwith the optimal conditions of the fixed point theory.

dynamic vibration absorber；orthogonal polynomials；equivalentmass

TB535.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.035

汽車(chē)零部件先進(jìn)制造技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2010年度開(kāi)放基金資助（2010KLMT04）

2013－08－08 修改稿收到日期：2014－02－20

何山男，碩士生，1988年11月生

楊志堅(jiān)男，博士生，副教授，1982年1月生