考慮兩類賠款數(shù)據(jù)相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法及改進(jìn)

段白鴿，張連增

（1.復(fù)旦大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海 200433；2.南開大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津 300071）

這里，對于

，有

（9）對于i≥2，j≥1，i+j≥n+1，從均值為

考慮兩類賠款數(shù)據(jù)相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法及改進(jìn)

段白鴿1，張連增2

（1.復(fù)旦大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海 200433；2.南開大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津 300071）

本文創(chuàng)新性地提出基于成對抽數(shù)的非參數(shù)Bootstrap方法、二元正態(tài)分布和Copulas函數(shù)三種考慮已決賠款與已報(bào)案賠款相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法，并結(jié)合非壽險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)中的經(jīng)典流量三角形數(shù)據(jù)，應(yīng)用R軟件對三種考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法進(jìn)行了完整的編程實(shí)現(xiàn)，并模擬得到了最終損失、未決賠款準(zhǔn)備金和IBNR的完整的預(yù)測分布。本文提出的考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法不但考慮了兩類賠款數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，而且體現(xiàn)了不同事故年已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金進(jìn)展情況之間的差異。這種處理相關(guān)性的思路和方法在多元準(zhǔn)備金評估中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法；多元準(zhǔn)備金評估；Copulas函數(shù)；Bootstrap方法；二元正態(tài)分布；預(yù)測分布

1 引言

準(zhǔn)備金評估作為國際精算理論研究的前沿與熱點(diǎn)，近30年來涌現(xiàn)出大量關(guān)于一元準(zhǔn)備金評估隨機(jī)性模型與方法的研究文獻(xiàn)。經(jīng)典文獻(xiàn)可以參考England和Verrall［1-3］，England［4］，Clark［5］，Meyers［6］，Guszcza［7］，Wüthrich和Merz［8］，Peters等［9］，Bj?rkwall等［10］，England等［11］。其中，England、Verrall和Wüthrich三位學(xué)者在這一領(lǐng)域作出了突出貢獻(xiàn)。特別指出的是，2008年，Wüthrich和Merz［8］出版了國際上第一部系統(tǒng)介紹準(zhǔn)備金評估隨機(jī)性方法的劃時(shí)代著作，該著作針對一些常見的準(zhǔn)備金評估方法，詳細(xì)推導(dǎo)了各種方法中準(zhǔn)備金的均值估計(jì)和預(yù)測均方誤差（Mean Square Error of Prediction，MSEP）估計(jì)的解析形式，并附有大量的數(shù)值實(shí)例。同年，張連增［12］出版了國內(nèi)第一本系統(tǒng)介紹準(zhǔn)備金評估隨機(jī)性方法的專著。這兩部著作幾乎仍停留在準(zhǔn)備金估計(jì)的MSEP的波動(dòng)性度量上，鮮少涉及預(yù)測分布的模擬。而預(yù)測分布包含了更完整的分布信息，可以合理度量風(fēng)險(xiǎn)邊際及任意感興趣的風(fēng)險(xiǎn)測度，這方面最新著作見張連增和段白鴿［］。

伴隨著一元準(zhǔn)備金評估方法理論研究的成熟和實(shí)務(wù)中精算技術(shù)的進(jìn)步，該領(lǐng)域的最新發(fā)展趨勢就是多元隨機(jī)性準(zhǔn)備金評估方法的研究，即考慮多個(gè)存在相依結(jié)構(gòu)的流量三角形的準(zhǔn)備金評估問題。在聚合數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)下，同時(shí)研究多個(gè)流量三角形的主要優(yōu)勢在于，研究多個(gè)流量三角形之間的相依性產(chǎn)生的多元化效應(yīng)對準(zhǔn)備金的均值估計(jì)和波動(dòng)性度量（MSEP、預(yù)測分布）具有重要意義。在多元框架下，評估方法又可以進(jìn)一步細(xì)分為基于不同類型賠款數(shù)據(jù)（如已決賠款與已報(bào)案賠款）相關(guān)性的多元準(zhǔn)備金評估和基于不同業(yè)務(wù)線相依性的多元準(zhǔn)備金評估兩類。其中，研究基于已決賠款與已報(bào)案賠款相關(guān)性的多元準(zhǔn)備金評估方法的意義在于，一方面，在實(shí)務(wù)操作中，基于兩類賠款數(shù)據(jù)估計(jì)的未決賠款準(zhǔn)備金往往存在顯著差異，導(dǎo)致精算師對于兩類賠款數(shù)據(jù)的選擇產(chǎn)生困惑。另一方面，由于已決賠款包含于已報(bào)案賠款中，而已報(bào)案賠款又包含了額外的信息，這將影響未來的已決賠款，故這兩類賠款數(shù)據(jù)本身存在相關(guān)性。然而，一元準(zhǔn)備金評估方法卻無法考慮這種相關(guān)性。這方面較新文獻(xiàn)可以參考Liu Huijuan和Verrall［14］，Happ等［15］，Happ和Wüthrich［16］，張連增和段白鴿［17-19］。研究基于不同業(yè)務(wù)線相依性的多元準(zhǔn)備金評估方法的意義在于，這種多元評估方法可以同時(shí)解決相依性問題和可加性問題。這方面最新進(jìn)展見Zhang Yanwei等［20］，Merz等［21］。

結(jié)合這些研究，本文進(jìn)一步擴(kuò)展探討考慮已決賠款與已報(bào)案賠款相關(guān)性的多元準(zhǔn)備金評估方法，提出基于成對抽數(shù)的非參數(shù)Bootstrap方法、二元正態(tài)分布和Copulas函數(shù)三種考慮兩類賠款數(shù)據(jù)相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法，并結(jié)合非壽險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)中的經(jīng)典流量三角形數(shù)據(jù)，應(yīng)用R軟件對三種考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法進(jìn)行了完整的編程實(shí)現(xiàn)，并模擬得到了最終損失（UL）、未決賠款準(zhǔn)備金（R）和已發(fā)生未報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金（IBNR）的完整的預(yù)測分布。相比以往研究，本文的一個(gè)重要?jiǎng)?chuàng)新在于將基于Copulas函數(shù)度量變量間相依風(fēng)險(xiǎn)建模方法引入到考慮已決賠款與已報(bào)案賠款相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法中，為多元準(zhǔn)備金評估方法的研究提供了新的分析思路，擴(kuò)展了張連增和段白鴿［19］的研究成果。這些探索研究對精算學(xué)中定量風(fēng)險(xiǎn)管理技術(shù)的發(fā)展具有重要推動(dòng)作用。

2 三種考慮兩類賠款數(shù)據(jù)相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法

2.1 基于二元正態(tài)分布考慮兩類賠款數(shù)據(jù)的相關(guān)性

令Pi，j和Ii，j（1≤i≤I，1≤j≤J）分別表示事故年i、進(jìn)展年j的累計(jì)已決賠款和累計(jì)已報(bào)案賠款，和（1≤i≤I，1≤j≤J）分別表示事故年i、進(jìn)展年j的增量已決賠款和增量已報(bào)案賠款，且不失一般性，假設(shè)I=J=n。則事故年i、進(jìn)展年j的已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金可以表示為Ri，j= Ii，j-Pi，j（1≤i，j≤n）。

在基于二元正態(tài)分布考慮兩類賠款數(shù)據(jù)相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法中，模擬預(yù)測分布的具體步驟可以概括為：

（1）將流量三角形上三角累計(jì)已決賠款Pi，j和累計(jì)已報(bào)案賠款I(lǐng)i，j轉(zhuǎn)化為增量已決賠款和增量已報(bào)案賠款（i≥1，j≥1，i+j≤n+1）。

（2）構(gòu)造殘差。這里對上三角增量數(shù)據(jù)以列為研究對象，求每列數(shù)據(jù)的樣本均值和、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和，對每列數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，得到構(gòu)造的兩類殘差流量三角形分別為：

顯然，這種構(gòu)造殘差的方式無法計(jì)算進(jìn)展年n的殘差，這里假設(shè)Res（XP1，n）=Res（XI1，n）=0。

（3）對兩類殘差進(jìn)行調(diào)整［17-19］，構(gòu)造調(diào)整后殘差的二元正態(tài)分布。其中，相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式為：

（4）從構(gòu)造的二元正態(tài)分布中抽取調(diào)整后的殘差樣本Res*（）和Res*（），得到兩類調(diào)整后殘差流量三角形，其后按照式（1）進(jìn)行反演變換，得到模擬的上三角增量賠款和、累計(jì)賠款和流量三角形，其計(jì)算公式為：

進(jìn)而，定義如下事故年i、進(jìn)展年j的（P/I）*比率為：

（5）在步驟（4）的基礎(chǔ)上，計(jì)算模擬的上三角已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金、準(zhǔn)備金支付率、準(zhǔn)備金結(jié)轉(zhuǎn)率流量三角形，其計(jì)算公式為：（P/I）i*，j（i≥1，j≥1，i+j≤n）的一元線性回歸模型：

應(yīng)用最小二乘法估計(jì)模型的回歸系數(shù)，得到：

（7）對于事故年i，利用步驟（6）得到的模型參數(shù)估計(jì)值，首先估計(jì)：

然后，對于i≥2，j≥1，i+j≥n+1，再按照準(zhǔn)備金進(jìn)展法的思路，逐步遞歸計(jì)算：

（8）計(jì)算模擬的上三角和下三角賠款數(shù)據(jù)中，進(jìn)展年j（1≤j≤n-1）的支付率和結(jié)轉(zhuǎn)率的均值、標(biāo)準(zhǔn)差，其計(jì)算公式為：、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布中抽取支付率樣本，得到模擬的單個(gè)支付率的下三角，從均值為、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布中抽取結(jié)轉(zhuǎn)率樣本，得到模擬的單個(gè)結(jié)轉(zhuǎn)率的下三角，進(jìn)而按照步驟（7）的做法，便可實(shí)現(xiàn)UL、R和IBNR的預(yù)測分布的一次模擬。

這里，對于

，有

（9）對于i≥2，j≥1，i+j≥n+1，從均值為

（10）重復(fù)步驟（4）-（9），多次再抽樣后，就可以得到UL、R和IBNR的預(yù)測分布，進(jìn)而可以由該分布得到均值、標(biāo)準(zhǔn)差、分位數(shù)等相關(guān)的分布特征。

2.2 基于成對抽數(shù)的非參數(shù)Bootstrap方法考慮兩類賠款數(shù)據(jù)的相關(guān)性

通常來說，上三角累計(jì)已決賠款Pi，j與累計(jì)已報(bào)案賠款I(lǐng)i，j之間存在正的相關(guān)性。在模擬預(yù)測分布的過程中，為了描述這種相關(guān)性，一種更直觀的處理方法就是將上三角每一事故年i、進(jìn)展年j的兩個(gè)調(diào)整后的殘差Res*（）和Res*（）（i+j≤n+1）組成一對有序數(shù)組，在模擬預(yù)測分布的過程中，成對地抽取這兩個(gè)調(diào)整后的殘差樣本。

2.3 基于Copulas函數(shù)考慮兩類賠款數(shù)據(jù)的相關(guān)性

由于Copulas為多元分布建模提供了更一般的結(jié)構(gòu)，且二元正態(tài)分布對應(yīng)于一種特殊的Copula函數(shù)，為此，我們可以選取一些合適的Copulas函數(shù)來構(gòu)造兩類調(diào)整后的殘差數(shù)據(jù)的二元分布。常見的描述二元分布的Copulas家族主要包括Clayton、Frank、Gumbel、Normal、Plackett等。由于不同Copulas家族建立的模型是非嵌套模型，故通常情況下，我們很難比較不同Copulas家族對應(yīng)的模型的擬合效果。即便如此，為了選取一個(gè)合適的Copulas家族來為多元分布建模，我們?nèi)钥梢杂?jì)算各個(gè)模型估計(jì)中得到的一些統(tǒng)計(jì)量，如對數(shù)似然統(tǒng)計(jì)量（ln L）、赤池信息準(zhǔn)則（AIC），以輔助選取更合適的模型。一般首選AIC統(tǒng)計(jì)量的值最小的模型，相應(yīng)的AIC統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為：

其中，ln L表示對數(shù)似然函數(shù)的最大值，d表示自由度，n為每個(gè)維度的觀測樣本數(shù)。

3 模擬結(jié)果及分析

在模擬預(yù)測分布中，選取的累計(jì)已決賠款與累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)來源于吳小平［22］，見附錄中的表1和表2。

3.1 三種考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法的數(shù)值結(jié)果及比較

按照本文第二部分的思路，下面詳細(xì)給出了三種不同抽樣方式下，考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法模擬的預(yù)測分布及相關(guān)的分布特征，這里采用R軟件對其進(jìn)行算法實(shí)現(xiàn)。由于在應(yīng)用R軟件進(jìn)行隨機(jī)模擬時(shí)，可以設(shè)定不同的“種子”數(shù)。本文在各種抽樣方式下，統(tǒng)一選取模擬次數(shù)為10000次，并選擇了同一個(gè)“種子”數(shù)，這不但可以唯一確定模擬結(jié)果，而且有助于對各種抽樣方法的結(jié)果進(jìn)行比較。3.1.1 基于成對抽數(shù)和二元正態(tài)分布的模擬結(jié)果

圖1和圖2分別給出了基于成對抽數(shù)的非參數(shù)Bootstrap方法和二元正態(tài)分布兩種不同抽樣方式下，10000次模擬運(yùn)算得到的UL、R和IBNR的模擬樣本值。

從圖1和圖2可以看出，在應(yīng)用成對抽數(shù)的非參數(shù)Bootstrap方法模擬UL、R和IBNR的預(yù)測分布時(shí)，出現(xiàn)了極小值-1.996e+27。在基于二元正態(tài)分布模擬UL、R和IBNR的預(yù)測分布時(shí)，出現(xiàn)了極大值4.485e+33。之所以會(huì)出現(xiàn)這些極大值或極小值，其原因在于當(dāng)某次模擬得到的流量三角形中含有異常大或異常小的賠款額的情況下，可能導(dǎo)致無法滿足相應(yīng)的評估模型的假設(shè)條件，此時(shí)，直接模擬就會(huì)產(chǎn)生一些極端值。

在使用各種隨機(jī)性準(zhǔn)備金評估方法模擬預(yù)測分布的過程中，依賴于所選取的評估方法和抽樣方式，不可避免地會(huì)產(chǎn)生一些極端值。從更一般意義上講，這可以歸結(jié)為準(zhǔn)備金評估模型或方法的穩(wěn)健性問題，這需要借鑒統(tǒng)計(jì)學(xué)中的各種模型診斷方法，并將其應(yīng)用于具體的準(zhǔn)備金評估模型中。目前在國際精算領(lǐng)域中，鮮少有這方面的研究文獻(xiàn)。一種更直觀的處理方法就是通過增加模擬次數(shù)，剔除模擬結(jié)果中的少量極端值，采用剔除極端值后的有效模擬結(jié)果來繪制各種預(yù)測分布。為此，我們引入“有效模擬次數(shù)”這一概念。有效模擬次數(shù)是指各種抽樣方式下，繪制UL、R和IBNR的預(yù)測分布中選取的模擬樣本個(gè)數(shù)。顯然，相對于模擬次數(shù)來說，有效模擬次數(shù)應(yīng)該足夠大。從某種程度上講，當(dāng)模擬次數(shù)相同時(shí)，有效模擬次數(shù)越大，相應(yīng)的評估方法越穩(wěn)健。

圖1 基于成對抽數(shù)非參數(shù)Bootstrap方法得到的UL、R和IBNR的模擬樣本值

圖2 基于二元正態(tài)分布得到的UL、R和IBNR的模擬樣本值

圖3 基于成對抽數(shù)和二元正態(tài)分布模擬得到的UL、R和IBNR的預(yù)測分布

我們剔除極端值之后，繪制了這兩種不同抽樣方式下，考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法模擬的UL、R和IBNR的預(yù)測分布見圖3，單位為千元，相應(yīng)的分布特征如表4所示。

3.1.2 基于Copulas函數(shù)的模擬結(jié)果

（1）Copula函數(shù)的選取

經(jīng)簡單計(jì)算得出上三角兩類調(diào)整后殘差樣本的相關(guān)系數(shù)為0.6687，這表明兩類賠款數(shù)據(jù)之間存在很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系。為了選取合適的Copula函數(shù)來描述這種正相關(guān)性，表3給出了采用半?yún)?shù)方法估計(jì)5種常用的Copulas函數(shù)，得到的相關(guān)性參數(shù)κ、相關(guān)系數(shù)τ和ρ的估計(jì)結(jié)果，以及l(fā)n L統(tǒng)計(jì)量和AIC統(tǒng)計(jì)量的值。從表3可以看出，5種Copulas函數(shù)中，Clayton Copula函數(shù)的AIC統(tǒng)計(jì)量的值最小。因此，我們建議首選Clayton Copula函數(shù)來描述兩類調(diào)整后殘差隨機(jī)變量之間的相關(guān)性。

表3 不同Copulas函數(shù)的估計(jì)結(jié)果比較及檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

（2）基于Clayton Copula函數(shù)模擬的預(yù)測分布圖4給出了基于Clayton Copula函數(shù)的再抽樣方式下，10000次模擬運(yùn)算得到的UL、R和IBNR的模擬樣本值。

從圖4可以看出，基于Clayton Copula函數(shù)模擬預(yù)測分布時(shí)，模擬得到的UL、R和IBNR的極小值分別為327700、-100100和-228400。很明顯可以看出，Clayton Copula函數(shù)的模擬結(jié)果更穩(wěn)健。剔除極端值之后，圖5繪制了基于Clayton Copula函數(shù)考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法模擬得到的UL、R和IBNR的預(yù)測分布。為了便于與基于成對抽數(shù)和二元正態(tài)分布的模擬結(jié)果進(jìn)行比較，圖5中也給出了這兩種抽樣方式下模擬的預(yù)測分布，單位為千元，相應(yīng)的分布特征如表4所示。

（3）其它三種Copulas函數(shù)模擬的預(yù)測分布

基于Frank、Gumbel、Plackett三種Copulas函數(shù)模擬UL、R和IBNR的預(yù)測分布時(shí)，都出現(xiàn)了極小值，其中，F(xiàn)rank Copula函數(shù)下的極小值為-3.051e+15，Gumbel Copula函數(shù)下的極小值為-1.826e+18，Plackett Copula函數(shù)下的極小值為-3.974e+16。顯然，這三種Copulas函數(shù)都不如Clayton Copula函數(shù)的模擬結(jié)果穩(wěn)健。為了與Clayton Copula函數(shù)的模擬結(jié)果進(jìn)行比較，我們剔除極端值后，給出了這三種Copulas函數(shù)下，模擬得到的UL、R和IBNR的預(yù)測分布的分布特征，如表5所示。

圖4 基于Clayton Copula函數(shù)得到的UL、R和IBNR的模擬樣本值

圖5 三種考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法模擬得到的UL、R和IBNR的預(yù)測分布

表4 三種考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法得到的UL、R和IBNR的預(yù)測分布的分布特征

表5 基于其它三種Copulas函數(shù)模擬得到的UL、R和IBNR的預(yù)測分布的分布特征

3.2 主要結(jié)論

從上面的數(shù)值結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

（1）從圖3可以看出，剔除極端值后，基于成對抽數(shù)的非參數(shù)Bootstrap方法和基于二元正態(tài)分布模擬得到的預(yù)測分布幾乎完全重合，表4中相應(yīng)的分布特征也都很接近。這充分說明了非參數(shù)Bootstrap方法和基于二元正態(tài)分布的參數(shù)Bootstrap方法具有一致性。

（2）從圖5可以看出，與Clayton Copula函數(shù)模擬的預(yù)測分布相比，基于成對抽數(shù)和二元正態(tài)分布模擬的UL和R的預(yù)測分布的均值明顯更小一些，IBNR的預(yù)測分布的均值差異并不顯著，UL、R和 IBNR的波動(dòng)性明顯大很多，這些特征也可以從表4中的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等相關(guān)的分布特征得到驗(yàn)證。針對這種差異，進(jìn)一步探討在一定的準(zhǔn)則下，選取合理的相依建模方法是非常有必要的。

（3）從表4和表5可以看出，剔除極端值后，Clayton、Frank、Gumbel和Plackett四種Copulas函數(shù)下，考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法模擬的預(yù)測分布的分布特征都很接近。

（4）在表4中，與成對抽數(shù)和二元正態(tài)分布兩種抽樣方式相比，當(dāng)模擬次數(shù)為10000次時(shí)，基于Clayton Copula抽樣方式下，UL、R和IBNR的預(yù)測分布的有效模擬次數(shù)都是9998次，表明基于Clayton Copula考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法更穩(wěn)健些，這也可以從圖1、圖2和圖4的模擬樣本值中得到驗(yàn)證。類似地，在表5中，三種Copulas函數(shù)的有效模擬次數(shù)都小于9998次，也一定程度上表明采用Clayton Copula函數(shù)來描述這兩類調(diào)整后殘差數(shù)據(jù)的相關(guān)性更合適。

4 結(jié)語

本文提出了基于成對抽數(shù)的非參數(shù)Bootstrap方法、二元正態(tài)分布和Copulas函數(shù)三種考慮已決賠款與已報(bào)案賠款相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法，并結(jié)合非壽險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)中的經(jīng)典流量三角形數(shù)據(jù)，應(yīng)用R軟件對三種考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法進(jìn)行了完整的編程實(shí)現(xiàn)，并模擬得到了最終損失、未決賠款準(zhǔn)備金和IBNR的完整的預(yù)測分布。本文提出的考慮相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法不但考慮了兩類賠款數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，而且通過建立支付率與P/I比率、結(jié)轉(zhuǎn)率與P/I比率的一元線性回歸模型來體現(xiàn)不同事故年已發(fā)生已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金進(jìn)展情況之間的差異。類似地，這種處理相關(guān)性的思路也適合于另一種基于不同類型賠款數(shù)據(jù)相關(guān)性的多元準(zhǔn)備金評估，即考慮兩類賠款數(shù)據(jù)相關(guān)性的隨機(jī)性Munich鏈梯法。作為進(jìn)一步的研究方向，可以將Copulas函數(shù)應(yīng)用于另一類基于不同業(yè)務(wù)線的多元準(zhǔn)備金評估中。

附錄

表1 累計(jì)已決賠款數(shù)據(jù) 單位：千元

表2 累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù) 單位：千元

［1］England P D，Verrall R J.Analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claims reserving［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1999，25（3）：281-293.

［2］England P D，Verrall R J.Stochastic claims reserving in general insurance［J］.British Actuarial Journal，2002，8（3）：443-518.

［3］England P D，Verrall R J.Predictive distributions of outstanding liabilities general insurance［J］.Annuals of Actuarial Science，2007，1（2）：221-270.

［4］England P D.Addendum to“analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claims reserving”［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2002，31（3）：461-466.

［5］Clark D R.LDF curve fitting and stochastic loss reserving：a maximum likelihood approach［J］.Casualty Actuarial Society Forum，2003，（3）：41-91.

［6］Meyers G.Estimating predictive distributions for loss reserve models［J］.Variance，2007，1（2）：248-272.

［7］Guszcza J.Hierarchical growth curve models for loss reserving［J］.Casualty Actuarial Society E-Forum，2008，（3）：146-172.

［8］Wüthrich M V，Merz M.Stochastic Claims Reserving Methods in Insurance［M］.New York：Wiley，2008.

［9］Peters G W，Shevchenko P V，Wüthrich M V.Model uncertainty in claims reserving within Tweedie's compound Poisson models［J］.ASTIN Bulletin，2009，39（1）：1-33.

［10］Bj?rkwall S，H?ssjer O，Ohlsson E，et al.A generalized linear model with smoothing effects for claims reserving［J］.Insurance：Mathematics and Economics，2011，49（1）：27-37.

［11］England P D，Verrall R J，Wüthrich M V.Bayesian over-dispersed Poisson model and the Bornhuetter-Ferguson claims reserving method［J］.Annals of Actuarial Science，2012，6（2）：258-283.

［12］張連增.未決賠款準(zhǔn)備金評估的隨機(jī)性模型與方法［M］.北京：中國金融出版社，2008.

［13］張連增，段白鴿.非壽險(xiǎn)索賠準(zhǔn)備金評估隨機(jī)性方法［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2013.

［14］Liu Huijuan，Verrall R J.Bootstrap estimation of the predictive distributions of reserves using paid and incurred claims［J］.Variance，2010，4（2）：121-135.

［15］Happ S，Merz M，Wüthrich M V.Claims development result in the paid-incurred chain reserving method［J］. Insurance：Mathematics and Economics，2012，51（1）：66-72.

［16］Happ S，Wüthrich M V.Paid-incurred chain reserving method with dependence modeling［J］.ASTIN Bulletin，2013，43（1）：1-20.

［17］張連增，段白鴿.準(zhǔn)備金評估的隨機(jī)性Munich鏈梯法及改進(jìn)——基于Bootstrap方法的實(shí)證分析［J］.數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2011，28（11）：98-111.

［18］張連增，段白鴿.未決賠款準(zhǔn)備金評估的隨機(jī)性Munich鏈梯法［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2012，31（5）：880-897.

［19］張連增，段白鴿.基于已決賠款與已報(bào)案賠款相關(guān)性的隨機(jī)性準(zhǔn)備金進(jìn)展法［J］.管理評論，2013，25（5）：155-166.

［20］Zhang Yanwei，Dukic V，Guszcza J.A Bayesian nonlinear model for forecasting insurance loss payments［J］.Journal of Royal Statistical Society，Series A，2012，175（2）：637-656.

［21］Merz M，Wüthrich M V，Hashorva E.Dependence modeling in multivariate claims run-off triangles［J］. Annals of Actuarial Science，2013，7（1）：3-25.

［22］吳小平.保險(xiǎn)公司非壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)準(zhǔn)備金評估實(shí)務(wù)指南［M］.北京：中國財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，2005.

Stochastic Reserves Development Methods Based on the Correlation Among Paid-Incurred Payments Data and Their Improvement

DUAN Bai-ge1，ZHANG Lian-zeng2
（1.School of Economics，F(xiàn)udan University，Shanghai 200433，China；2.School of Economics，Nankai University，Tianjin 300071，China）

Three stochastic reserves development methods are innovatively proposed in this paper considering the correlation between paid-incurred payments data，i.e.based on non-parametric Bootstrap method with pairwise resampling，based on bivariate normal distribution，and based on Copulas function.Combined the classic run-off triangles data in the non-life actuarial practice，a complete programming for three stochastic reserve development methods is provided based on the correlation with R software.Further，the complete predictive distributions of ultimate loss，outstanding claims reserves and IBNR are simulated. The proposed stochastic reserve development methods based on the correlation not only consider the correlation between the paid payments and the incurred payments，but also reflect the development difference of incurred and reported outstanding claims reserves in different accident years.Such ideas and methods considering correlation have important theoretical significance and practical value for multivariate reserving.

stochastic reserve development methods；multivariate reserving；Copulas function；Bootstrap method；bivariate normal distribution；predictive distribution

F840.4

：A

1003-207（2014）04-0009-08

2011-08-09；

2014-02-06

國家自然科學(xué)基金面上資助項(xiàng)目（71271121）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（NKZXTD1101）

段白鴿（1983-），女（漢族），山西臨汾人，復(fù)旦大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院教師，博士，師資博士后，中國準(zhǔn)精算師，研究方向：精算與定量風(fēng)險(xiǎn)管理、不確定經(jīng)濟(jì)學(xué).