壽險定價的線性優(yōu)化模型

王 波

（浙江廣播電視大學工商學院，浙江寧波 315016）

壽險定價的線性優(yōu)化模型

王 波

（浙江廣播電視大學工商學院，浙江寧波 315016）

實際的金融市場中存在多種不同期限的利率。在定義最大累積函數(shù)的基礎(chǔ)上建立了一個稱為“收支問題”的線性規(guī)劃模型，這個模型的最優(yōu)值刻畫了合理安排保費資金的投資期限所能夠達到的最大保險支付水平，從而給出了多利率條件下壽險費率的計算依據(jù)。使用局部優(yōu)化方法證明了收支問題最優(yōu)解的兩個性質(zhì)，這些性質(zhì)說明在滿足保險支出的條件下，保險收入資金應(yīng)該優(yōu)先考慮期限較長（即利率較大）的投資。對于典型的壽險產(chǎn)品模型，給出了最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)，針對兩個具體實例列出了計算結(jié)果。結(jié)果表明，在保險費率的計算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一個綜合水平。

多種利率；最大累積函數(shù)；線性優(yōu)化；收支問題；壽險定價

1 引言

傳統(tǒng)的精算理論是按照單一的預(yù)定利率計算壽險費率的，但是一般情況下實際的金融市場利率與預(yù)定利率并不一致，因此產(chǎn)品的定價要受到市場利率的影響。這個影響來自于兩個方面，一個是利率隨機性所帶來的風險，另一個是利率的期限結(jié)構(gòu)。關(guān)于前者，自1971年以來，一批學者對隨機利率下的壽險定價進行了系統(tǒng)的研究。隨機的利率模型主要有兩種，早期采用時間序列方法對息力函數(shù)進行建模，自1990年以來部分學者采用攝動方法，利用O-U過程，Wiener過程和反射Wiener過程對息力累積函數(shù)進行建模，基于這種模型Beekman和Fuelling［1-2］，De Scheppe等［3-4］，Perry和Stadje［5］，Milvesky［6］研究了確定年金在隨機利率下的現(xiàn)值，得到了期望值和方差的一些公式以及矩母函數(shù)和分布函數(shù)；Kaas等［7］，De Schepper等［8］相繼利用凸序的相關(guān)性質(zhì)給出了隨機利率下年金現(xiàn)值的上界。此外Parker［9］還討論了隨機利率下貼現(xiàn)函數(shù)的問題，Zaks［10］則在假定各年利率均為獨立且具有相同期望和方差的隨機變量序列下，求出了確定年金累計值的期望和方差公式。

盡管隨機利率下的壽險精算取得了比較豐富的成果，但是要應(yīng)用于實際卻有很大的難度。一般情況下壽險保單并不使用隨機模型進行定價，這是由于隨機模型雖然能在一定程度上降低利率的不確定性，但是并不能消除利率不確定性所帶來的風險；同時壽險具有長期性的特點，而現(xiàn)實的金融市場復(fù)雜多變，我們很難對長時間內(nèi)的利率建立合理的模型并作出準確的預(yù)測與估計，因此壽險業(yè)更愿意采用確定性的定價模型。同時為了規(guī)避利率風險，通常是采用一個比較保守的預(yù)定利率加上分紅的方法。

與隨機利率下的大量研究相比，關(guān)于利率期限結(jié)構(gòu)的影響在文獻中卻很少涉及，當市場利率水平較高的時候，這種影響并不明顯。以中國為例，從上世紀八十年代末到九十年代中期一直處于高利率的環(huán)境之中，其中一年期的存款基準利率最高的時候曾經(jīng)達到11.34%，在大部分的時間內(nèi)都高于當時壽險業(yè)8.8%的預(yù)定利率，所以當壽險準備金采用一年期利率投資生息時，并不會影響未來的保險償付能力，這時候就不會去關(guān)注利率期限結(jié)構(gòu)的影響。但是自從1996年以來，由于宏觀經(jīng)濟形勢發(fā)生了很大的變化，人民銀行持續(xù)地下調(diào)基準利率，一年期存款利率最低的時候達到了1.98%，導(dǎo)致保險監(jiān)管部門將預(yù)定利率調(diào)低到了2.5%。由于新的預(yù)定利率與原來8.8%的水平有較大的差距，所以一度對壽險業(yè)務(wù)的發(fā)展產(chǎn)生了較大的影響，同時當一年期利率低于預(yù)定利率時，壽險公司原有的資金運用方法有可能會產(chǎn)生巨大的利差損失。考慮到一般情況下長期的利率要高于一年期的短期利率，因此就提出了一個問題：我們是否可以通過對壽險資金的投資期限進行合理安排以提高保險金的支付能力，或者說提高壽險公司的盈利能力？最大能夠達到多少？

基于上述背景，王波［11-12］提出了在多利率條件下合理配置保費資金的投資期限以求得最大的保險金額，田存福等［13］則考慮通過優(yōu)化責任準備金的投資期限以求得最大的期末盈余。兩者都是利用線性規(guī)劃建立模型，區(qū)別主要是目標函數(shù)不同。由于上述模型都是根據(jù)每個時間點資金的流入與流出相等的原則構(gòu)造線性規(guī)劃的約束，不便于對優(yōu)化解的性質(zhì)作進一步的分析，因此本文在定義最大累積函數(shù)的基礎(chǔ)上根據(jù)收支相等原則建立了一個稱之為“收支問題”的線性規(guī)劃模型。根據(jù)這個模型我們能夠計算出多利率條件下最大的保險金支付水平，從而給出費率定價的依據(jù)，同時使用局部優(yōu)化方法證明了最優(yōu)解的兩個性質(zhì)，由此給出了典型壽險產(chǎn)品收支問題的優(yōu)化解結(jié)構(gòu)。這不僅簡化了實際應(yīng)用中的計算，而且還基本上回答了這么一個問題：在壽險精算中，起主要作用的是什么樣期限的利率？這既為預(yù)定利率的制定確立了理論基礎(chǔ)，又為壽險資金的運用提供了參考意見。

2 最大累積函數(shù)

假設(shè)市場上有T種無風險利率，期限分別為1，2，…，T，對應(yīng)的利率為it≥0（復(fù)利），其中t表示利率期限。我們將1個單位的資金在經(jīng)過總期限為t的數(shù)次投資計息后所得到的最大本利和用函數(shù)v（t）來表示，即：

v（t）是利息理論中累積函數(shù)概念［14］在多利率條件下的一個推廣，我們稱之為最大累積函數(shù)（maximum accumulation function），特別地規(guī)定v（0）=1。一般情況下，長期利率要高于短期利率，這時候就有v（t）=（1+it）t（1≤t≤T）。

根據(jù)定義，v（t）滿足超指數(shù)性質(zhì)，即對于任意的t1和t2，有v（t1）v（t2）≤v（t1+t2）。如果對于任意的1≤t1，t2≤T≤t1+t2，函數(shù)v（t）還滿足條件：

那么當t＞T時，我們就有v（t）=v（T）·v（t-T），這時v（t）稱為T周期的。

條件（1）意味當投資期限t大于T時，其最優(yōu)投資方案的唯一性，即首先考慮期限為T的投資，然后再考慮剩余期限內(nèi)的投資。如果更進一步地假設(shè)，對于任意的1≤t1，t2≤t≤t1+t2≤T，最大累積函數(shù)v（t）均滿足條件：

那么我們就稱v（t）為正規(guī)的。

3 收支問題

這節(jié)中我們考慮一種簡化的壽險定價模型。在模型中，保險費的收入期是從時間1到T（即最大利率期限），時間x的期望收入為f（x）（x=1，2，…，T）；保險金的支付期是從時間T+1到2T，當保險金額等于1個單位時，時間x的期望支出為g（x）（x=T+1，T+2，…，2T）。我們的問題是：如何來安排保險費的投資期限，使得將來能夠支付的保險金達到最大？也就是下列線性規(guī)劃問題：

其中v（t）是最大累積函數(shù)。我們稱上述規(guī)劃問題為收支問題（income-outcome problem，IOP），f（x）和g（x）分別稱為IOP的收入函數(shù)和支出函數(shù)。

命題1如果最大累積函數(shù)v（t）是T周期的，則IOP存在最優(yōu)解，對于每一個min（f（i），^λg（T+i）/v（T））。

顯然^x′滿足約束條件（3），（4）和（5）（s≠T+ i），且有：-v（k-i）v（T+i-j）/v（k-j））

由于v（t）是T周期的，根據(jù)式（1），有：

v（k-i）v（T+i-j）≤v（T+k-j）=v（T）v（k -j）

如果v（k-i）v（T+i-j）＜v（T）v（k-j），則i），這樣就得到了一個新的最優(yōu)解（^x′，^λ），在這個最優(yōu)解中。因此可以斷言存在最優(yōu)解（^x，^λ），使得）。由于上述過程中并不改變其它基變量的數(shù)值，所以使用相同的方法，最終就能夠得到一個最優(yōu)解，使得對于每一個i，，證畢。

命題1表明了，IOP的最優(yōu)解中時間i的保險收入優(yōu)先支付時間T+i的保險金支出，那么多余的收入是如何支付不足的支出？下面先來考慮一種特殊的情況。

對于一個IOP，如果存在1≤μ＜T，使得下面兩種情況之一成立：

（1）當x≤μ時f（x）=0；x≥T+μ+1時g（x）=0。

（2）當x≥μ+1時f（x）=0；T+1≤x≤T +μ時g（x）=0。

那么我們稱該IOP為半收支問題（quasi income-outcome problem，QIOP）。

命題2假設(shè)最大累積函數(shù)v（t）是正規(guī)的，則QIOP存在最優(yōu)解，對于它的任意兩個基變量＞0和＞0，如果i≤j，則有k≥l。

證明：與命題1類似，利用式（2），略。

如果最大累積函數(shù)是正規(guī)的，命題2顯示QIOP的最優(yōu)解具有非常良好的結(jié)構(gòu)：最近時刻的收入優(yōu)先支付最遠時刻的支出。例如圖1所示，時間μ+1的收入首先支付時間T+μ的支出，如果有盈余，則支付時間T+μ-1的支出，如果有虧缺，則虧缺部分由時間μ+2的收入來支出；最后時間T的收入支付T+1時刻的支出，如果有盈余，則支付T+2時刻的支出，如果有虧缺，則虧缺部分由T-1時刻的收入來支出。準確地說，最優(yōu)解的基變量是｛，j=1，2，…，T；μ+1=t1≤t2≤…≤tT=T；T+μ=s1≥s2≥…≥sT=T+1｝，tj取遍從μ+是最優(yōu)解矛盾。所以v（k-i）v（T+i-j）=v（T）·v（kj），由此可以推出1到T的每一個值，sj取遍從T+1到T+μ的每一個值。

圖1 QIOP最優(yōu)解示意圖（第一種情況）

根據(jù)命題1與2，當f（x）與g（x）滿足一定的條件時，我們能夠清楚地描述IOP最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)，即下列推論：

推論1 假設(shè)最大累積函數(shù)v（t）是正規(guī)的，則IOP存在最優(yōu)解i）/v（T））；i=1，2，…，T｝是的基變量，并且有：

（1）如果存在正整數(shù)μ≤T，使得x≤μ時h（x）≤0，μ＜x≤T時h（x）≥0，其中h（x）= f（x）-（T+x）/v（T）。則^x的其它基變量為｛，j=1，2，…，T；μ+1=t1≤t2≤…≤tT=T；T+μ=s1≥s2≥…≥sT=T+1｝，tj取遍從μ+ 1到T的每一個值，sj取遍從T+1到T+μ的每一個值（圖2）；

（2）如果存在正整數(shù)μ≤T，使得x≤μ時h（x）≥0，μ＜x≤T時h（x）≤0（h（x）同上）。則^x的其它基變量為｛，j=1，2，…，T；1=t1≤t2≤…≤tT=μ；2T=s1≥s2≥…≥sT=T+μ+ 1）｝，tj取遍從1到μ中的每一個值，sj取遍從T+μ +1到2T的每一個值（圖3）。

圖2 IOP最優(yōu)解示意圖（一）

圖3 IOP最優(yōu)解示意圖（二）

對于滿足推論1條件的IOP，最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)可以這樣來描述：i時刻的收入優(yōu)先支付T+i時刻的支出，最近時刻多余的收入優(yōu)先支付最遠時刻不足的支出。因而我們可以利用二分搜索法來計算最優(yōu)值而無需求解線性規(guī)劃問題。圖2和圖3還定性地給出了最優(yōu)解中不同期限利率的作用大小，如果陰影部分面積較小，那么最大期限以外的其它利率的作用就不大；相反陰影部分面積越大，那么其它利率的作用也就越大。雖然在實際的金融利率市場中，最大累積函數(shù)v（t）不一定是正規(guī)的，甚至還不一定是T周期的，但是只要長期利率高于短期利率，我們就可以把推論1中所給出的結(jié)構(gòu)作為（近似）最優(yōu)解，這樣所計算出的最大保險金額要小于理論上的最大值，因而從定價上來說是安全的。

4 多利率下的壽險定價

現(xiàn)在我們來考慮一般情況下的壽險定價模型。假設(shè)有一大群相同的保單，時刻1表示保單簽發(fā)的時間，ω為保單的終止時間。保險人在時間x（x= 1，2，…，ω）的期望保險費收入為P（x），當保險金額等于一個單位時，保險人按照保險合同在時間x所要支付的期望保險金為R（x）。為簡單起見，在本文中不考慮附加保險費用。按照收支相等的原則，可以假設(shè)保險支出的資金全部來源于保費的收入及其投資利息，與IOP相似，我們考慮下列線性規(guī)劃問題：

其中，v（t）是最大累積函數(shù)。在本節(jié)中我們均規(guī)定v（T+t）=v（T）·v（t）。變量表示在時間t的保險收入中將用于支付時間s的保險金支出的數(shù)量，由于時間t收入的資金數(shù)在s時刻所能得到的最大本利和是v（s-t），所以上述問題準確地刻畫了通過合理配置保險收入（由P（t）表示））的投資期限（由表示）能夠使保險金支出水平（用λR（s）表示）達到最大，我們稱之為廣義收支問題（generalized income-outcome problem，GIOP）。而這個線性規(guī)劃問題的最優(yōu)值，則給出了多利率條件下保險費率的計算依據(jù)。要說明的是，在第二個約束式中我們使用了等式條件，而不是≥條件。這是因為在實際應(yīng)用中，GIOP的可行解一般都是存在的，也就是說，所有的保費收入在投資生息后都能夠用在將來的保險金支出上。

在我們的定義中，P（x）與被保險人繳納保費的方式有關(guān)，R（x）與壽險產(chǎn)品的設(shè)計有關(guān)。當這兩個函數(shù)確定后，影響精算定價的就是最大累積函數(shù)v（t）。由于對于任何的t≥0，v（t）=vi（T）· v（t-iT）（iT≤t≤（i+1）T），因此我們考慮對GIOP進行簡化。不失一般性，假設(shè)ω=kT（k≥1），令：

命題3如果保險支出發(fā)生在保險收入之后，那么GIOP與對應(yīng)的IOP等價。

證明：不妨假設(shè)保險收入發(fā)生在時間1至lT之間，保險支出發(fā)生在時間l T+1至kT之間。如果是相應(yīng)IOP的一個可行解，對于每一個分量，我們按照下式構(gòu)造GIOP的一組分量：

命題4如果在保險期（ω=k T）內(nèi)P（x）單調(diào)減少，R（x）單調(diào)增加，那么GIOP與對應(yīng)IOP的最優(yōu)值是相等的。

對于每一個基變量^x′s′t′，我們按照下式構(gòu)造GIOP的一組分量：

命題3和4表明了在多利率條件下，包括生存年金、定期人壽保險乃至更為廣泛的一類壽險產(chǎn)品，其定價模型GIOP可以歸結(jié)為相應(yīng)的IOP。由于在P～（x）和R～（x）的定義中唯一起作用的是期限為T的利率，這個結(jié)果也就意味著如果保險期比最大利率期限大的話，那么在精算定價中起主要作用的就是最大期限的利率iT，也就是最大利率。

最后我們來看一種特殊情況，當保險期與最大利率期限相等時，那么有（x）=P（x），（x）= v（T）·R（x-T）。根據(jù)命題1，相應(yīng)的IOP存在最優(yōu)解（x，），其中=min（（i），（T+ i）/v（T））=min（P（i），^λR（i））是基變量，即GIOP存在基變量為=min（P（i），R（i））的最優(yōu)解，這可以解釋為在最優(yōu)解中保險費收入優(yōu)先支付同一時間的保險金支出。如果P（x）/R（x）變化不大的話，那么絕大部分的保費收入將用于支付同一時間的保險金支出，此時費率的計算與利率的大小基本無關(guān)；相反如果P（x）/R（x）變化較大的話，那么不同期限的利率（不含最大期限的利率iT）均起到一定的作用。

5 應(yīng)用分析

在本節(jié)中我們將給出兩個具體實例的計算結(jié)果，其中生命表均參照美國1979—1981全體人口生命表。假設(shè)最大利率期限為5年（T=5），其利率（復(fù)利）分別如下表所示：

表1 假設(shè)的利率期限結(jié)構(gòu)表

我們發(fā)現(xiàn)對應(yīng)的最大累積函數(shù)v（t）不是正規(guī)的，甚至還不是T周期的（因為v（5）·v（3）＜v2（4）），所以我們根據(jù)推論1中的最優(yōu)解結(jié)構(gòu)使用二分搜索法所計算出的最大保險金額要略微小于理論上的最大值。

第一個例子是終身生存年金，保費繳付方式是年繳（等額），年金支付形式是每年領(lǐng)?。ǖ阮~），并且有十年固定年金。

設(shè)年齡為a歲者la（生命表中年齡為a的生存人數(shù)，下同）人，每人都投保上述終身生存年金，年繳保險費為P0（從a歲至a+n-1歲），共繳付n年。如果用時間1表示第一次繳費的時間（a歲），那么在a+n歲時生存者la+n人在時間x所繳付的保險費為P（x）=P0la+n（1≤x≤n）。由于n一般不是T的倍數(shù)，所以我們將初始時間前移n0，其中n0= T-n%T，n%T是n除以T的余數(shù)，那么在繳費期間P（x）則為如下的等價形式：

從a+n歲開始，生存者每年領(lǐng)取生存年金（具有十年固定年金），那么當年金金額為1個單位時期望的年金支出為：

上式中ω表示的是生命表中的極限年齡。

表2 最大年金表

表3 最大保險金額表

通過計算我們發(fā)現(xiàn)表中數(shù)值基本上與以最大期限的利率（本例中是5%）作為單一預(yù)定利率所計算出來的相同。原因是保險期比較長，同時（x）/（T+x）（1≤x≤T）變化不大，接近于一個常數(shù)c，由命題1，其對應(yīng)的IOP的最優(yōu)值^λ近似地等于c·v（T）。因此在生存年金的費率計算中，最大期限的利率起到了主要的作用，也就是說，資金的運用應(yīng)該以利率最高的長期投資為主。

第二個例子是定期人壽保險，保費繳付方式也是年繳（等額），保險金即刻賠付。為了簡單起見，我們假設(shè)保險期n是T的倍數(shù)，保險資金在一年之內(nèi)是不計利息的（即最小計息期限是一年）。

設(shè)年齡為a歲者la人，每人都投保n年期人壽保險，每年年初繳付保險費為P0，那么在時間x的期望保險費收入為：

當保險金額為1個單位時，期望的保險金支出則為：

由于生命表中死亡人數(shù)基本上是隨著年齡增大而增加的，同時保險期是T的倍數(shù)，所以R（x）和（x）接近于單調(diào)增加函數(shù)，而P（x）和（x）均為單調(diào)減少函數(shù)。根據(jù)命題4，相應(yīng)GIOP與對應(yīng)的IOP的最優(yōu)值可以認為是相等的，我們稱之為最大保險金額，并且也基本滿足推論1中的條件（第2種情況）。表3是利用二分搜索法計算的年繳純保費1個單位時的最大保險金額表。

6 結(jié)語

在本文中，我們應(yīng)用線性優(yōu)化的方法解決了在多利率條件下壽險費率的定價問題。命題1和2表明了這么一個事實，如果長期利率高于短期利率，那么保險收入資金的運用在滿足保險支出的情況下應(yīng)該優(yōu)先考慮期限較大（也就是利率較大）的投資，因而在保險費率的計算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一個綜合水平。這個結(jié)果也就意味著，在壽險資金的運用中，應(yīng)該考慮以長期投資為主，這為預(yù)定利率的確立提供了可靠的理論基礎(chǔ)。如果將收支問題中的收入函數(shù)看作為“本金”，將最優(yōu)值與支出函數(shù)的乘積看作為“累積值”，那么實際上我們已經(jīng)把單一利率下的現(xiàn)值與終值的概念推廣到了多利率的情況。在這種情況下，“本金”、“現(xiàn)值”或者“終值”不再是某一個時刻的金額數(shù)值，而是一個時間區(qū)間（長度為最大利率期限T）上的收入或者支出金額的分布，這為推廣傳統(tǒng)的單一利率下的利息理論，建立更廣泛意義的利率期限結(jié)構(gòu)框架下的利息理論提供了模型基礎(chǔ)。

附錄

1.命題2的證明

命題2假設(shè)最大累積函數(shù)v（t）是正規(guī)的，則QIOP存在最優(yōu)解，對于它的任意兩個基變量＞0和＞0，如果i≤j，則有k≥l。

證明：這里我們只證明QIOP的第一種情況，第二種情況與此類似。如果QIOP的最優(yōu)解中存在兩個基變量＞0，＞0，其中μ+1≤i≤j≤T，T+1≤k＜l≤T+μ。令，構(gòu)造一個新的解：

因為μ+1≤i≤j≤T＜k＜l≤T+μ，所以有1≤l-j，k-i≤l-i＜T。由于v（t）是正規(guī)的，根據(jù)式（2），有v（l，即。如果，與是最優(yōu)解矛盾。所以有，則，由此可以推出，即得到了一個新的最優(yōu)解，在這個最優(yōu)解中不同時存在兩個基變量。由于除了以外，其它的基變量均沒有改變，所以使用相同的方法，最終就能夠得到一個最優(yōu)解，在這個最優(yōu)解中不會同時存在兩個基變量≤T＜k＜l），證畢。

2.下面是第3節(jié)系推論1中兩種典型情況的最大保險金額λmax的類C語言二分搜索算法，其中ε是給定的表示誤差范圍的一個小數(shù)，λh是給定的保險金額較大的初始值，數(shù)組變量Sp和Ls分別表示多余的保險收入和不足的保險支出。

（1）f（x）單調(diào)增加（含常值），g（x）單調(diào)減少（圖2）。

（2）f（x）單調(diào)減少，g（x）單調(diào)增加（圖3）。

3.第5節(jié)實例中對應(yīng)IOP的收入函數(shù)~P（x）和支出函數(shù)~R（x）的表達式。

（1）終身生存年金

（2）定期人壽保險

其中a是投保年齡，n=pT（p≥1）。

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Linear Optimization Model for Life Insurance Pricing

WANG Bo
（Institute of Business of Zhejiang Radio and TV University，Ningbo 315016，China）

There are various interest rates of different terms in the actual financial markets.In order to calculate the life insurance rates under the condition of multiple interest rates，a linear programming model which is called“Income-outcome problem（IOP）”was established on the basis of the definition of maximum accumulation function，and its optimal value describes the maximum level of insurance payment that can be achieved through the rational arrangement of investment term of premium funds.Using local optimizationmethod，two properties of the optimal solution of IOP are proved，and these properties show that the premium income fund should gives priority to the investment which has longer term（that is，larger interest rates）on the condition of meeting the insurance expenditures.For some typical life insurance product model，we give the structure of the optimal solution and list the calculated results of premium rate of two specific examples.The results show that the main factor in the calculation of premium rates is the longest term interest rate，followed by an comprehensive level of the different interest rates.The model of this paper also provides the basis for creating generalized theory of interest under the condition of multiple interest rates.

multiple interest rates；maximum accumulation function；linear optimization；income-outcome problem；life insurance pricing

F840

：A

1003-207（2014）05-0033-09

2012-04-29；

2013-05-09

王波（1970-），男（漢族），浙江寧波人，浙江廣播電視大學工商學院，講師，研究方向：最優(yōu)化算法與應(yīng)用.