歐債危機環(huán)境中資產組合ES模型比較研究

于文華，魏 宇，淳偉德

（1.成都理工大學商學院，四川成都 610059；2.西南交通大學經濟管理學院，四川成都 610031）

歐債危機環(huán)境中資產組合ES模型比較研究

于文華1，2，魏 宇2，淳偉德1

（1.成都理工大學商學院，四川成都 610059；2.西南交通大學經濟管理學院，四川成都 610031）

本文以中國上證綜指、德國法蘭克福DAX指數(shù)、美國S&P500指數(shù)為研究對象，分別運用DCC-GARCH及時變Copula-EVT模型建模，探討了歐債危機爆發(fā)后股市間相依關系的變化狀況。在此基礎上，將三個股指收益兩兩組合，分別建立了各類模型假定下的資產組合預期損失ES模型，并通過后驗分析方法，探討了危機爆發(fā)后，各類ES風險模型測度精度的變化狀況及對比結果。實證研究表明：歐債危機爆發(fā)后，時變Copula-EVT-ES的風險測度準確度明顯高于DCC-GARCH-ES模型；邊緣分布模型的選擇對于時變Copula-EVT-ES模型的測度精度具有重要影響。綜合對比分析發(fā)現(xiàn)，在金融市場極端波動的狀況下，能夠捕捉杠桿效應且善于刻畫厚尾特征的時變t-Copula-AR（1）-GJR（1，1）-EVT-ES模型能夠取得相對較好的風險測度效果。

歐債危機；DCC-GARCH；時變Copula；EVT；預期損失；后驗分析

1 引言

資產組合風險評估一直是金融研究領域的核心內容，而資產間的相依關系測度則是組合風險計量的基礎。隨著經濟全球化進程的加快，金融市場間的相互影響程度日益加深，在金融危機傳染期間，金融市場或資產間的相依關系將劇烈波動而呈現(xiàn)出非線性、非對稱的相依特征，因此以多元正態(tài)分布作為聯(lián)合分布的假設在實證中得不到支持［1-2］。1999年，Embrechts等［2］將Copula理論引入金融領域，Copula函數(shù)善于捕獲變量間非線性及非對稱的相依關系，在金融市場研究中有著廣闊的應用前景［3］。多數(shù)文獻表明，基于Copula的風險評價方法優(yōu)于使用多維正態(tài)分布或者多維t分布的傳統(tǒng)方法，能夠更加有效地測量風險［4-7］，尤其是結合EVT極值理論（Extreme Value Theory，EVT）的Copula-EVT模型，在尾部分析方面能夠取得良好的風險測度效果［8-10］。風險評價模型的預測精度研究是資產組合風險管理的關鍵所在，已有學者在這方面進行了有益的探索：羅付巖等［11］將時變Copula的測度效果與常相關Copula函數(shù)進行對比，結果表明時變Copula-VaR模型更為準確。戰(zhàn)雪麗、張世英［12］的研究發(fā)現(xiàn)，在刻畫資產組合風險價值VaR方面，Copula-SV模型比Copula-GARCH具有優(yōu)越性。蘇靜等［13］運用四類靜態(tài)Copula函數(shù)對商業(yè)銀行組合信用風險進行了度量。任仙玲等［14］構建了三類Copula-APD-GARCH模型，并進一步研究了均值-ES準則下的資產組合問題。

2009年底，歐債危機爆發(fā)，這是繼次貸危機以來對全球金融市場影響深遠的又一次危機傳染，由此所引發(fā)的多米諾骨牌效應使得金融市場間的相關性愈加錯綜復雜。對于危機傳染的研究相對較多，如Rodriguez［15］運用具有Markov轉換參數(shù)的Copula模型研究了金融危機傳染。龔樸等［16］運用時變t Copula模型分析了次貸危機對中國內地股市的影響。劉喜波等［17］運用Copula理論研究了次貸危機前后國際股票市場相關結構的變化。葉五一等［18］通過阿基米德Copula的變點檢測方法分析了美國次級債金融危機對亞洲市場的傳染效應。吳吉林等［19］運用機制轉換動態(tài)Copula方法，研究了次貸危機中，中國滬市與美國股市、日本股市和香港股市間的相依性結構變化。王永巧等［20］基于時變Copula模型探討了國際主要股市與中國股市間的風險傳染問題。李堪［21］采用四類時變Copula函數(shù)，研究了2008年全球金融危機時期中國與美國、英國金融市場之間的金融危機傳染效應的存在性問題。綜上所述，從研究內容上看，當前文獻主要側重研究危機傳染的機制及變點檢測等，但卻未能探及危機爆發(fā)后風險模型測度精度的比較問題；從研究方法上看，對于資產組合的風險評估，多數(shù)文獻采用VaR風險價值模型進行測度，但VaR模型由于不滿足“一致性風險測度（Coherent Risk Measurement）”而備受爭議，在實際應用中有所限制，盡管已有文獻結合Copula理論構建ES模型對組合風險進行計量［8-9、14］，但卻尚未有文獻基于歐債危機視角進行探討。由此可見，無論是在研究視角、方法還是深度上，對于歐債危機環(huán)境中的資產組合風險測度都存在著值得進一步研究的方向。

鑒于以上分析，我們將以歐債危機為主線，著重探討危機爆發(fā)后股市間尾部極值風險相依結構的變化，以及由此導致的資產組合風險模型測度精度的變化。本文的主要研究內容及特色在于：（1）在危機傳染的環(huán)境中，比較和分析各類風險模型的測度精度，對于資產組合的優(yōu)化及模型選擇至關重要。由于組合資產風險評估過程中，不僅需要考慮單一資產的波動特征，更需要考察資產間的相依關系，因此我們將分別構建DCC-GARCH和時變Copula-EVT相依關系模型，一方面希望研究股市間風險相依強度在危機后的變化狀況，另一方面也將在此基礎上進一步對比研究相依關系模型對組合風險測度精度的影響作用。（2）預期損失ES（Expected Shortfall）模型對于“次可加性”的滿足使其成為真正的“一致性風險測度”，特別是在描述金融資產極端損失方面，與VaR模型相比，ES模型更加符合金融實際操作的要求［22］，因此我們將構建各類模型假定下的資產組合ES模型，并通過嚴謹系統(tǒng)的后驗分析方法（Backtesting Analysis），對各類ES風險模型的測度準確度進行比較研究。（3）在上述研究的基礎上，重點探討歐債危機爆發(fā)以后，市場極端波動的狀況下資產組合ES風險測度模型的選擇問題。

2 數(shù)據(jù)及計量模型描述

歐債危機是美國次貸危機的延續(xù)和深化，為考察繼美國次貸危機之后，歐債危機對股市的影響，本文以2007年4月4日～2009年12月22日為歐債危機爆發(fā)前階段，2009年12月23日～2012年6月15日為歐債危機爆發(fā)后階段，進行比較研究。研究中所采用的股價指數(shù)均為每日收盤價，記為Pt，t= 1，2，3，…，N。文中定義各股指每日對數(shù)收益率rt如式（1）所示：

本文的數(shù)據(jù)采集于Yahoo財經網站，剔除掉交易時間不同的樣本點，每種指數(shù)各有1116個樣本點。計量分析所采用的軟件主要為Rats 7.0和Matlab 7.0。在金融計量研究中，通常假定金融資產的日收益率rt滿足：rt=μt+εt，為刻畫股指收益序列的自相關性，運用AR（1）模型建模：

其中，ht是條件方差（Conditional Variance），zt為新生量（Innovation），令其服從學生t分布。關于波動率的模型構建，本文將分別采用GARCH（1，1）和GJR（1，1）兩種形式，即：

其中：β0＞0，β1≥0，β2≥0。I（·）是指示函數(shù)（Indicator Function），即當（·）中的條件成立時，其取值為1，否則取值為0。模型中的參數(shù)c0，c1，β0，β1，β2，γ可通過極大似然估計方法（MLE）估計得到，結果如表1所示。

表1 AR（1）-GARCH（1，1）與AR（1）-GJR（1，1）模型的參數(shù)估計結果

表2 各股指收益標準殘差序列的描述性統(tǒng)計量及診斷檢驗結果

由表1可見，股指收益模型中β1均大于0，β2均大于0.5，表明股指收益序列存在一定的持續(xù)性和波動聚集性的特點；β1+β2＜1，說明GARCH過程較平穩(wěn)。除中國滬市外，德國與美國股市股指收益的GJR模型中，杠桿系數(shù)γ均不為0，說明存在杠桿效應，即波動的沖擊具有非對稱性。估計出模型參數(shù)之后，則可以根據(jù)式（5）過濾得到第i個股指收益最近n期的標準殘差序列zi。對各標準殘差序列zi進行檢驗，結果如表2所示。

由表2可見：LM檢驗結果顯示標準殘差序列不具有異方差性；Ljune-Box Q（20）統(tǒng)計值表明各標準殘差序列均不拒絕無自相關性；而BDS檢驗結果顯示，多數(shù)股指收益的標準殘差序列不能拒絕滿足獨立同分布（Independent and Identically Distributed，i.i.d.）的原假設，少數(shù)未能通過嚴格BDS檢驗的標準殘差序列也均通過了Ljune-Box Q檢驗，可認為其近似滿足i.i.d.。

3 歐債危機后股市間風險相依關系的變化狀況

金融資產間的相依關系計量是進行組合風險評估的關鍵環(huán)節(jié)，如果不能準確有效的描述資產間的相依關系，則將不可避免地影響到風險評估模型的測度準確性。為描述并對比考察金融資產間的動態(tài)相依關系，本文將分別采用DCC-GARCH及時變Copula-EVT模型進行刻畫。

3.1 DCC-GARCH模型

Engle［23］提出的動態(tài)條件相關模型——DCCGARCH（Dynamic Conditional Correlation GARCH），能夠對變量間的動態(tài)相依關系進行測定。為敘述方便，這里對資產組合中的兩個資產分別使用下標1和2進行標注區(qū)分，DCC-GARCH模型主要包括以下方程：

為了便于和時變Copula-EVT模型所擬合的尾部極值動態(tài)相依系數(shù)進行對比說明，本文將DCCGARCH模型得到的動態(tài)相依系數(shù)ρt統(tǒng)一羅列在3.3節(jié)的表6當中。

3.2 時變Copula-EVT模型

Copula理論表明可以將一個聯(lián)合分布分解為k個邊緣分布和一個Copula函數(shù)，這個Copula函數(shù)描述了變量間的相關性，它也被稱為連接函數(shù)［24］。由于EVT極值理論能夠有效描述金融市場在極端波動情形下的風險狀況，而這也正是金融風險管理的關注重點，因此本文將運用極值理論描述樣本分布的非對稱尾部特征，在此基礎上構建時變Copula-EVT模型，從而刻畫金融資產間的尾部極值動態(tài)相依關系。

3.2.1 結合EVT構建邊緣分布模型

表3 兩類邊緣分布模型的K-S檢驗結果

構建時變Copula-EVT模型時，首先需要求得各股指收益的標準殘差序列，并采用分段方法構造累積分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function，CDF），即：對處于上下尾部閥值之間的標準殘差采用高斯核密度估計（Gaussian Kernel Estimate）的方法來構造經驗累積分布函數(shù)；而對于落入上下尾部的標準化殘差，則運用提高門檻模型（Peaks-O-ver-Threshold，POT）建立累積分布函數(shù)。POT關注隨機變量z超過某個閾值δ的條件極端損失分布函數(shù)Fδ。將z超過某個閾值δ但小于y的條件分布記為Fδ（y），隨著門檻δ逐漸提高，極端損失分布Fδ（y）將收斂于廣義帕累托分布（Generalized Pareto Distribution，GPD）Gξ，β［25-26］，即：

其中，ξ是尾部形狀參數(shù)（tail parameter），β是標度參數(shù)（scale parameter）。β＞0，且當ξ≥0，z≥δ；當ξ＜0，δ≤z≤δ-β/ξ。表3中BDS的檢驗結果表明各標準殘差序列滿足或近似滿足i.i.d.，符合EVT的適用前提，因此可以運用POT模型對各標準殘差序列的尾部建模。本文參照Du Mouchel［27］選擇10%的數(shù)據(jù)作為極值建模，并運用極大似然估計的方法估計得到GPD中的參數(shù)ξ、β。此外，構建Copula模型前，需要檢驗其邊緣分布是否服從i.i.d.的（0，1）均勻分布，Kolmogorov Smirnov（KS）方法可用于這類檢驗。表3中K-S檢驗結果顯示各邊緣分布模型均通過了K-S檢驗，說明這里所構建的AR（1）-GARCH（1，1）-EVT、AR（1）-GJR（1，1）-EVT兩類邊緣分布模型都是合適的，可在此基礎上進一步構建Copula模型。

3.2.2 時變Copula函數(shù)

除了與DCC-GARCH模型進行對比之外，我們還將考察不同的Copula函數(shù)對風險評估模型的影響，所以這里將分別采用兩類時變Copula進行建模：t-Copula和Gaussian Copula。

（1）二元Gaussian Copula函數(shù)的概率密度函數(shù)為［3］：

其中，Φ-1（·）是一元標準正態(tài)分布函數(shù)Φ（·）的逆函數(shù)，ρ∈（-1，1）為相關系數(shù)。

（2）二元t-Copula函數(shù)的條件概率密度函數(shù)為［］：

其中：ρ∈（-1，1）為相關系數(shù)，d是條件自由度，為簡化模型，本文對于條件自由度d不考慮時變性。ζ1=Td-1（u），ζ2=Td-1（υ），Td-1（·）表示學生t分布函數(shù)Td（·）的逆函數(shù)。時變Gaussian Copula和時變t-Copula的動態(tài)相依系數(shù)ρt隨時間的演化方程采用DCC方法［23］，即將相關系數(shù)矩陣ρt分解為：

需要注意的是，這里的et為轉化后的標準化殘差序列（Transformed Standardized Residuals），它與所選用的Copula函數(shù)的類型有關：對于時變Gaussian Copula，et=（Φ-1（ut），Φ-1（υt））；而對于時變t Copula，et則定義為：et=（Td-1（ut），Td-1（υt））。Copula函數(shù)的參數(shù)估計方法使用IFM（inference for margins method），該方法是由Newey和McFadden［28］和White［29］提出的兩步最大估計。IFM的基本思想是在估計得到邊緣分布的參數(shù)之后，再估計得到Copula函數(shù)的相關參數(shù)，時變t Copula函數(shù)和時變Gaussian Copula函數(shù)的參數(shù)估計結果分別如表4和表5所示。

表4 時變t Copula函數(shù)的參數(shù)估計結果

表5 時變Gaussian Copula函數(shù)的參數(shù)估計結果

表6 危機前后股市間風險相依強度比較

3.3 歐債危機前后股市間風險相依強度比較

表6顯示了危機前后股市間的相依強度及其變化趨勢?？傮w上看，由DCC-GARCH模型的擬合結果表明，只有德國與美國股市間的整體風險相依關系在危機后有所增強；而由Copula-EVT模型所擬合的結果卻顯示，危機爆發(fā)后，各股市間的尾部極值相依關系均有不同程度的增強。

4 預期損失ES測度值的計算及后驗分析

金融理論界和實務界所常用的VaR風險價值模型，其實質就是在一定的置信水平下，由于市場波動而導致金融資產在一段時期內可能出現(xiàn)的最大損失收益率。t時刻q分位數(shù)下的VaR估計表達式為：其中，zq為所考察的組合資產收益分布的q損失分位數(shù)，μt、σt分別為t時刻的資產組合的條件均值和條件波動率（本文將資產組合中各個資產設定為等權重）。通過式（13）可以分別計算得到各類模型假定下的VaR測度值。在VaR模型的基礎上，Artzner等［30］提出了能夠滿足“一致性風險測度”的預期損失ES模型，并將其定義為：

ES測度值的估計過程為：將（0，q）區(qū)間做K等份，并由此得到K個VaR值，然后求取K個VaR均值以獲得ES值。由此可見，ES預期損失模型充分考慮了超過VaR值的尾部極端分布狀況，與現(xiàn)實金融風險的經濟意義和測度意義更為貼合，其理論優(yōu)勢與實際應用價值也更為突出。為分析比較各類模型的ES測度效果，可采用自舉法（Bootstrap）對ES風險模型進行后驗分析，具體步驟可參閱文獻Mc Neil和Frey［31］。在對不同模型假定下的ES估計精度進行分析時，采用后驗分析的顯著性p值作為評判標準，即p值越大則表示風險模型的預測準確度越高。表7羅列了在1%和0.1%兩種分位數(shù)水平上的ES后驗分析結果。

表7 不同ES風險計量模型的后驗分析結果

由表7進行綜合對比考察可見：

（1）歐債危機爆發(fā)后，ES風險模型測度精度的變化狀況：在兩種分位數(shù)水平上，本文所構建的ES風險模型大多通過了后驗分析檢驗，但各類風險模型測度的準確度卻有很大不同。危機爆發(fā)后，兩類時變Copula-EVT-ES模型后驗分析得到的p值均有不同程度的增大，這意味著在市場極端波動的情形下，這兩類模型對于資產組合的風險測度更加準確。

（2）邊緣分布模型的選擇，對于時變Copula-EVT-ES模型的影響：在構建時變Copula模型的過程中，本文分別運用了AR-GJR-EVT和ARGARCH-EVT兩類邊緣分布模型，而通過比較可以發(fā)現(xiàn)，邊緣分布的選擇確實對時變Copula-ES模型的測度準確度具有重要影響。具體來講，對于各個資產組合，在危機爆發(fā)前，由兩類邊緣分布模型構造的Copula-ES模型的測度精度并無顯著差異，但危機爆發(fā)后，在AR-GJR-EVT基礎上計算的時變Copula-ES模型的測度準確度卻相對較高。尤其是對于“上證綜指～美國S&P”這一資產組合，在0.1%的分位數(shù)水平上，無論危機前后，DCCGARCH的測度精度均高于以AR-GARCH-EVT作為邊緣分布的Copula-ES模型；而當改變邊緣分布模型，即通過AR-GJR-EVT構造邊緣分布時，其對應的Copula-ES模型的預測精度顯著提高。事實上，由于在構建Copula模型時，可以靈活地選擇邊緣分布，這就為提高基于Copula的風險模型的測度精度提供了廣闊的應用空間，因此Copula模型在刻畫相依關系及資產組合風險測度等方面具有非常明顯的優(yōu)勢。

（3）杠桿效應項的納入，對于時變Copula-EVTES風險模型的影響：歐債危機爆發(fā)以后，在時變Copula-ES模型中納入杠桿效應項，有助于提高其風險測度的準確性。由表2觀察對比杠桿系數(shù)γ在危機后的變化狀況將有助于理解這一現(xiàn)象：GJR模型中的參數(shù)γ為杠桿系數(shù)，用以衡量資產收益對市場波動沖擊的反應。危機發(fā)生以后，德國DAX與美國S&P500指數(shù)收益率對應的杠桿系數(shù)γ均有不同程度的增大，杠桿效應較危機前更為顯著，因而對于這一資產組合，時變Copula-AR-GJR-EVT-ES模型的測度準確度明顯高于其他模型。而對于其他兩項資產組合，危機爆發(fā)后，在劇烈波動的金融環(huán)境中，時變Copula-AR-GJR-EVT-ES模型依然取得了較高的風險測度準確度。

（4）不同風險模型對于預期損失ES測度精度的影響：總體而言，風險測度效果最好的模型為時變t-Copula-EVT-ES模型，時變Gaussian Copula-EVT-ES模型次之，但其測度準確度依然高于DCCGARCH-ES模型，特別是在危機爆發(fā)以后，三類模型預測精度的差異更為明顯。這一實證結果具有兩個方面的意義：第一，歐債危機爆發(fā)以后，與DCCGARCH-ES模型相比，結合EVT極值理論的時變Copula-ES模型對資產組合尾部極值風險的測度更為準確。第二，在市場極端波動狀況下，善于刻畫厚尾分布特征的時變t-Copula-EVT-ES模型表現(xiàn)出良好的風險測度效果。

5 結語

本文分別構建了DCC-GARCH和時變Copula-EVT模型，深入研究了歐債危機后股市間尾部極值動態(tài)風險相依強度的變化狀況；在此基礎上構建了預期損失ES風險測度模型，并對各類模型的測度精度進行了對比研究。本文所取得的主要實證研究結論包括：

（1）與DCC-GARCH-ES模型相比，時變Copula-EVT-ES模型在危機后能夠取得相對較高的風險測度效果。由于時變Copula-EVT模型能夠較好的刻畫尾部極值相依關系，因此在金融市場劇烈動蕩的環(huán)境中，特別是危機傳染期間，這類風險模型值得特別關注。

（2）邊緣分布的選擇對于時變Copula-EVT-ES模型的測度精度具有重要影響。面對金融市場系統(tǒng)性風險的沖擊，將杠桿效應納入Copula-EVT-ES模型計量中，有助于提高其風險測度的準確性。正因如此，歐債危機爆發(fā)后，能夠捕捉杠桿效應且善于刻畫厚尾特征的時變t-Copula-AR（1）-GJR（1，1）-EVT-ES模型取得了很好的風險測度效果。

（3）歐債危機爆發(fā)以后，金融資產收益的分布狀況及資產間的相依結構發(fā)生改變，各類風險評價模型的預測效果具有明顯差異，投資機構應根據(jù)國際金融大環(huán)境、各國金融市場的具體特點及資產組合的實際分布狀況，對各類風險模型的測度精度進行對比分析，選擇合適的模型進行風險評估及預測。由于預期損失ES模型能夠著重考察資產組合分布超過VaR測度值的尾部部分，因此在刻畫金融資產極端損失方面具有獨到的優(yōu)勢和重要的現(xiàn)實意義。而在金融實踐中，由于各類模型的風險測度效果存在明顯差異，因此投資者不僅應特別重視ES模型與VaR模型的有機結合，更需要對比研究各類風險評價模型的測度效果，擇優(yōu)選用。

此外，本文在實證研究中，只比較了AR-GJREVT和AR-GARCH-EVT這兩類邊緣分布對于Copula-ES模型測度精度的影響。而Copula函數(shù)所具備的優(yōu)良數(shù)學特性之一就是可以有選擇地構造邊緣分布，且邊緣分布的選擇確實對Copula-ES模型的風險測度效果具有重要影響，因此我們將考慮把其他類型的邊緣分布納入到Copula-ES風險模型中并作對比研究。最后，關于如何對資產組合中的各類資產分配權重從而達到組合風險最小的問題，也值得我們作更進一步的深入研究和探討。

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Comparatively Study on Portfolio ES Models under European Debt Crisis

YU Wen-hua1，2，WEI Yu2，CHUN Wei-de1
（1.Commercial College，Chengdu University of Technology，Chengdu 610059，China；2.School of Economics and Management，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

DCC-GARCH and time-varying Copula-EVT models are constructed respectively to discuss the changes of dependencies between stock markets after the outbreak of European Debt Crisis.2-2 combinations of the stock index returns are made，the portfolio ES models are established under various models assumed，and the measurement accuracy of all ES models are compared and discussed after the crisis through backtesting analysis.China Shanghai Composite Index，the Frankfurt DAX index of Germany and S&P500 Index of the United States are used to make empirical experiment.Empirical studies show that after the crisis，the risk measure accuracy of time-varying Copula-EVT-ES models are significantly higher than DCC-GARCH-ES.Further，it is important to select marginal distribution for time-varying Copula-EVT-ES models.Finally，under extremely volatile financial market conditions，the time-varying t-Copula-AR（1）-GJR（1，1）-EVT-ES model，which is good at capturing the leverage effect and characterizing fat tails，achieves relatively better risk measure results.

European debt crisis；DCC-GARCH；time-varying copula；EVT；ES；backtesting analysis

F830.9；F222.3

：A

1003-207（2014）05-0008-08

2012-07-16；

2013-11-02

國家自然科學基金資助項目（71071131，71090402，71371157）；高等學校博士學科點專項科研基金資助課題（20120184110020）；中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目（SWJTU11ZT30，SWJTU11CX137，SWJTU12CX120）；國家社會科學基金（12BGL024）；成都理工大學金融與投資科研創(chuàng)新團隊（KYTD201303）；四川省軟科學研究計劃項目（2013ZR0068）；成都理工大學中青年骨干教師培養(yǎng)計劃項目（JXGG201420）；四川省教育廳人文社科重點項目（14SA0039）

于文華（1976-），女（漢族），遼寧大連人，成都理工大學商學院，副教授，研究方向：金融市場與風險管理.