《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程設(shè)計(jì)與實(shí)踐探索

黃亞群，蔣慕蓉，李海燕

(云南大學(xué) 信息學(xué)院，昆明 650091)

《高等數(shù)學(xué)》是高校理工科專(zhuān)業(yè)一年級(jí)學(xué)生的一門(mén)公共基礎(chǔ)課，為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及解決實(shí)際問(wèn)題提供必不可少的數(shù)學(xué)知識(shí)及方法，其目標(biāo)是:培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、科學(xué)計(jì)算能力，利用數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題、建立數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問(wèn)題的能力［1］。各種數(shù)學(xué)軟件包的開(kāi)發(fā)和應(yīng)用，使數(shù)學(xué)研究方法發(fā)展到思維加計(jì)算機(jī)的模式，為數(shù)學(xué)的教學(xué)提供了前所未有的環(huán)境。如何在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)“理論與實(shí)踐結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力，以適應(yīng)新時(shí)期高素質(zhì)人才的需要［2］，開(kāi)設(shè)《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》是高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是時(shí)代發(fā)展的需要。

1 高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

傳統(tǒng)的教學(xué)方法以傳授知識(shí)為主，教師講授概念，推導(dǎo)公式，進(jìn)行計(jì)算證明，側(cè)重解題方法和技能的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，弱化了數(shù)學(xué)背景和應(yīng)用的教學(xué)。學(xué)生處于被動(dòng)接受狀態(tài)，沒(méi)有深入了解數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，容易死記硬背，無(wú)法構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，主體作用得不到發(fā)揮。

云南大學(xué)信息學(xué)院采用同濟(jì)大學(xué)的教材，教學(xué)中如何將抽象理論與實(shí)際應(yīng)用有機(jī)地結(jié)合起來(lái)［3］，是我們一直探索的問(wèn)題。我們?cè)诮虒W(xué)中制作了多媒體課件，模擬數(shù)學(xué)現(xiàn)象，簡(jiǎn)單介紹建模思想和數(shù)學(xué)軟件的使用。如果學(xué)生僅為考試而學(xué)習(xí)，只會(huì)做題，不但會(huì)影響學(xué)習(xí)興趣和積極性，而且還會(huì)影響后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)。當(dāng)需要用數(shù)學(xué)知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就無(wú)從下手，缺乏從實(shí)際問(wèn)題提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題以及用數(shù)學(xué)方法和Matlab等數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問(wèn)題的能力［4］。高等數(shù)學(xué)教學(xué)中脫離實(shí)際應(yīng)用的教學(xué)方法不利于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，已不再適合現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展的需要。云南大學(xué)信息學(xué)院近幾年開(kāi)設(shè)了《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程，教學(xué)實(shí)踐證明開(kāi)設(shè)實(shí)驗(yàn)課有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及實(shí)踐創(chuàng)新能力。

2 開(kāi)設(shè)《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程的意義

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是20世紀(jì)90年代中期在我國(guó)高校迅速發(fā)展起來(lái)的一門(mén)課程，是數(shù)學(xué)理論課程的延續(xù)和深化，是一種全新的數(shù)學(xué)思維方式和教學(xué)模式，在教學(xué)和人才培養(yǎng)上具有十分重要的意義。

2.1 促進(jìn)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容、方法的改革

理工科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是為了研究數(shù)學(xué)本身，而是為了用好數(shù)學(xué)，掌握科學(xué)計(jì)算方法，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)以及將來(lái)的研究和工作奠定基礎(chǔ)?！陡叩葦?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程融合了數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)軟件及建模方法等內(nèi)容，旨在深化高等數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力。因此該課程的教學(xué)不同于常規(guī)的課程教學(xué)，可促進(jìn)教學(xué)內(nèi)容、方法等的改革。

2.2 提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)態(tài)度

《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程強(qiáng)調(diào)以學(xué)生動(dòng)手為主，學(xué)生借助計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件，親自動(dòng)手學(xué)數(shù)學(xué)，“做”數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程。對(duì)自己的新奇想法，確定解決方案，經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得以實(shí)現(xiàn)和檢驗(yàn)，體會(huì)失敗與成功的快樂(lè)。學(xué)生通過(guò)主動(dòng)參與，加深了數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提高了學(xué)習(xí)興趣，愿意接近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、談?wù)摂?shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，發(fā)揮了積極性和能動(dòng)性，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)信心，從而形成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度。

2.3 培養(yǎng)建模思想和編程能力

當(dāng)實(shí)際問(wèn)題需要提供分析、預(yù)報(bào)、決策等定量分析時(shí)，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型。需要將文字描述的實(shí)際問(wèn)題經(jīng)過(guò)抽象提煉，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把問(wèn)題表達(dá)出來(lái)，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型。再借助計(jì)算機(jī)技術(shù)及軟件進(jìn)行計(jì)算、推理，得到模型的解。最后將所得結(jié)果結(jié)合實(shí)際進(jìn)行分析討論、檢驗(yàn)、修正［5］。不僅需要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、敏銳的洞察力和想象力、廣博的知識(shí)，還需要有熟練的計(jì)算機(jī)應(yīng)用和軟件操作能力。《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程以建立數(shù)學(xué)建模思想與掌握科學(xué)計(jì)算方法為主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主觀能動(dòng)性。學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和軟件，分析問(wèn)題的處理方法、規(guī)劃解決的途徑，設(shè)計(jì)和動(dòng)手編程，熟悉數(shù)學(xué)軟件的各項(xiàng)功能，提高了編程能力，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模思想。

2.4 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力

計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件強(qiáng)大的計(jì)算功能，可以輕而易舉地完成繁瑣枯燥的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算，學(xué)生能夠?qū)⒏嗟臅r(shí)間和精力用于基本理論的學(xué)習(xí)鞏固和實(shí)際應(yīng)用能力的提高。數(shù)學(xué)應(yīng)用能力主要體現(xiàn)在從實(shí)際問(wèn)題中提出并抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，建立數(shù)學(xué)模型的能力，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)價(jià)和處理的能力［6］。學(xué)生動(dòng)手又動(dòng)腦成為活動(dòng)的主體，大膽猜測(cè)、主動(dòng)探索、尋求結(jié)果，促進(jìn)了對(duì)知識(shí)和方法的深層次理解和掌握，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、實(shí)踐和創(chuàng)新能力。

3 《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程體系的設(shè)計(jì)

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)思路

我們的教學(xué)設(shè)計(jì)思路是:以數(shù)學(xué)建模、算法設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理為主體，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，以高等數(shù)學(xué)理論為實(shí)驗(yàn)原理，以計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件為實(shí)驗(yàn)工具，以模擬仿真、實(shí)例分析、歸納總結(jié)為實(shí)驗(yàn)方法［7］，讓學(xué)生親自分析問(wèn)題、設(shè)計(jì)方案、實(shí)踐操作。在實(shí)驗(yàn)中掌握數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用，鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，揭示新的觀點(diǎn)和方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力、科學(xué)計(jì)算能力以及創(chuàng)新能力。

3.2 實(shí)驗(yàn)工具選取

當(dāng)今數(shù)學(xué)類(lèi)應(yīng)用軟件分兩類(lèi):一類(lèi)如Matlab、Gauss等數(shù)值計(jì)算型，擅長(zhǎng)數(shù)值計(jì)算;另一類(lèi)如Mathematica、Maple等數(shù)學(xué)分析型，擅長(zhǎng)符號(hào)計(jì)算［8］。

Matlab是具有強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算和圖形處理功能的科學(xué)計(jì)算軟件，擁有豐富的庫(kù)函數(shù)和工具箱資源，其符號(hào)工具箱包含了高等數(shù)學(xué)中全部?jī)?nèi)容，如微分、積分、微分方程、級(jí)數(shù)等。其繪圖庫(kù)函數(shù)能輕松地繪制復(fù)雜的二維和三維圖形，有利于學(xué)生對(duì)函數(shù)特性及空間幾何圖形的理解，成為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的有利輔助工具。同時(shí)，Matlab也是后續(xù)專(zhuān)業(yè)課如數(shù)理統(tǒng)計(jì)、圖像處理、優(yōu)化技術(shù)、數(shù)字信號(hào)處理等的基本教學(xué)工具，是學(xué)生必須掌握的基本技能。

3.3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的組成

《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》不同于習(xí)題課和語(yǔ)言教學(xué)課，選取實(shí)驗(yàn)內(nèi)容既要有利于理論知識(shí)的理解與鞏固，又要有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和計(jì)算機(jī)操作能力。因此，我們將實(shí)驗(yàn)內(nèi)容分為基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)驗(yàn)和創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)三個(gè)部分。

1)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)部分。以驗(yàn)證型為主，選擇高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容和重點(diǎn)問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)Matlab軟件的使用方法，進(jìn)行模擬仿真。掌握?qǐng)D形繪制、符號(hào)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)軟件處理問(wèn)題的能力。

2)綜合實(shí)驗(yàn)部分。讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的高等數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)知識(shí)，結(jié)合其他學(xué)科(如數(shù)值方法、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、圖論、運(yùn)籌學(xué)等)解決一些實(shí)際問(wèn)題，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用與建模能力的培養(yǎng)。這部分實(shí)驗(yàn)內(nèi)容選取數(shù)學(xué)研究中的經(jīng)典問(wèn)題和數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽部分真題，或者和專(zhuān)業(yè)課程緊密結(jié)合的課題作為實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，使學(xué)生體驗(yàn)從“實(shí)際問(wèn)題—數(shù)學(xué)模型—數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)—模型求解—結(jié)果分析—實(shí)驗(yàn)報(bào)告”的全過(guò)程。教師只給定實(shí)驗(yàn)的題目及要達(dá)到的目的，中間過(guò)程需要學(xué)生查閱資料和設(shè)計(jì)方案，直至最后調(diào)試完成［9］。若實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果存在偏差，教師可適當(dāng)給出提示，鼓勵(lì)學(xué)生重新設(shè)計(jì)解決方案，在問(wèn)題的探索和解決中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。

3)創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)部分。以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、實(shí)踐動(dòng)手與創(chuàng)新能力為目的。教師只介紹研究方向、主要思想，提出問(wèn)題和任務(wù)，由學(xué)生組成小組，自己動(dòng)手思考發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、運(yùn)用所學(xué)的理論分析和解決問(wèn)題，從而加深對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用［10］。要求學(xué)生充分發(fā)揮自己的想象力和創(chuàng)造力，勇于創(chuàng)新，敢于實(shí)踐，提出合乎實(shí)際的數(shù)學(xué)思想，建立并求解模型。這部分實(shí)驗(yàn)沒(méi)有確定的結(jié)果，有時(shí)會(huì)得不出結(jié)論，但可以激發(fā)學(xué)生探索科學(xué)知識(shí)的興趣，培養(yǎng)科研能力，為參加數(shù)模競(jìng)賽、課外科技活動(dòng)奠定基礎(chǔ)。

4 《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程體系的實(shí)施

從2009級(jí)學(xué)生開(kāi)始，我們將實(shí)驗(yàn)融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)后安排一定實(shí)驗(yàn)，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)組織教學(xué)內(nèi)容。根據(jù)學(xué)院的實(shí)際情況，將實(shí)驗(yàn)分上下兩學(xué)期開(kāi)設(shè)，每學(xué)期采用421的模式進(jìn)行基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)驗(yàn)和創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)的教學(xué)。

基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)共8個(gè)，每次2學(xué)時(shí)。如表1所示。完成基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)后，學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)所提出的問(wèn)題、實(shí)驗(yàn)過(guò)程、完成情況，撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告，選擇表格、圖形、圖片等方式展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行合理分析。

綜合實(shí)驗(yàn)共4個(gè)，分別安排在期中、期末考試后，創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)開(kāi)設(shè)2個(gè)。將數(shù)學(xué)功底較好、編程能力較強(qiáng)的學(xué)生分為3人一組，完成綜合和創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)，不安排具體課時(shí)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)題目，由學(xué)生用掌握的數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)知識(shí)完成實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，按照數(shù)模競(jìng)賽的模式提交實(shí)驗(yàn)論文(包括題目、摘要、正文、參考文獻(xiàn)等)，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力和團(tuán)結(jié)協(xié)作精神。

表1 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)

經(jīng)過(guò)4年“高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程的教學(xué)實(shí)踐，取得了良好的教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)了對(duì)高等數(shù)學(xué)理論教學(xué)的補(bǔ)充，為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。通過(guò)綜合實(shí)驗(yàn)和創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)訓(xùn)練的同學(xué)，踴躍參加了全國(guó)和美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽并取得了良好成績(jī)。自2011年以來(lái)，參加《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程的教師指導(dǎo)信息學(xué)院4個(gè)專(zhuān)業(yè)的本科生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，獲國(guó)家一等獎(jiǎng)6人、國(guó)家二等獎(jiǎng)30人、省一等獎(jiǎng)83人;參加美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，獲一等獎(jiǎng)15人、二等獎(jiǎng)8人。

5 結(jié)束語(yǔ)

《高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》為學(xué)生搭建了一個(gè)理論聯(lián)系實(shí)際的平臺(tái)，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲取知識(shí)、解決問(wèn)題。掌握了Matlab數(shù)學(xué)軟件的使用、科學(xué)計(jì)算方法以及數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程和技能，達(dá)到了鞏固理論知識(shí)，理論聯(lián)系實(shí)際的目的。培養(yǎng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐創(chuàng)新能力，促進(jìn)了數(shù)學(xué)與專(zhuān)業(yè)課程的結(jié)合，提高了教學(xué)質(zhì)量，推動(dòng)了教學(xué)改革。

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