數(shù)學教學中培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的途徑

劉立明　林珊　韋宏

【關(guān)鍵詞】中學數(shù)學 創(chuàng)造性思維

培養(yǎng)途徑

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）11A-

0006-04

數(shù)學是一門邏輯性強且比較抽象的學科，在數(shù)學教學中，教師要遵循學科的認知規(guī)律和學生的思維特點，有意識地培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。鑒于此，本文結(jié)合數(shù)學創(chuàng)造性思維的特征，探討關(guān)于中學生數(shù)學創(chuàng)造性思維塑造的途徑和方法。

一、扎實基礎(chǔ)知識，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

一個人掌握的知識越豐富，越牢固，思維能活動的空間就會越大。扎實的基礎(chǔ)知識積累是發(fā)展數(shù)學思維的前提。教師要善于引導學生對所學的知識進行系統(tǒng)的總結(jié)與概括，建立自己的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，這樣學生才能有豐富的知識儲備和清晰的知識脈絡(luò)，在解決問題時才能迅速地從知識儲備庫中提取相關(guān)信息為解題提供理論支撐，并能快速篩選出最便捷、靈活的一種方法來解決問題。因此具備扎實的基礎(chǔ)知識和良好的知識結(jié)構(gòu)是使數(shù)學創(chuàng)造性思維靈活運轉(zhuǎn)的重要條件。讓學生掌握基礎(chǔ)知識、構(gòu)建良好知識結(jié)構(gòu)要注意以下幾點。

（一）從最基礎(chǔ)的知識點開始抓起

教師在教授某個概念或某個定理時，要注重對這個概念、定理的應(yīng)用，及時布置相關(guān)練習，鞏固學生對該概念或定理的理解，并從解題中得到學生對概念（或定理）掌握程度的反饋，務(wù)必做到當堂講、當堂練、當堂理解。

（二）學習結(jié)束后知識的串聯(lián)和知識結(jié)構(gòu)的構(gòu)建

數(shù)學知識內(nèi)容多且零散，在學習過程中需要不斷整合知識，再擴散知識，這就需要在每個章節(jié)學習結(jié)束后及時梳理好該章節(jié)的知識。為了讓學生對所學內(nèi)容一目了然，使各個知識點之間的聯(lián)系清晰易懂，避免混淆或遺忘知識，教師可以要求學生在每一章節(jié)學習結(jié)束后以列表或者樹形圖等方式將本章節(jié)的內(nèi)容聯(lián)系起來，理清所學知識的脈絡(luò)，以本章節(jié)所學重點為中心，將分散的知識點進行整合并加以串連起來。

（三）要讓學生及時地回憶和再現(xiàn)知識，鞏固知識

理解了知識不等于掌握了知識，或許學生當時的確是理解了，但是經(jīng)過長時間的擱置和新知識的覆蓋，學生容易將之前學過的知識遺忘，因此還要讓學生在理解的基礎(chǔ)上鞏固知識。讓學生掌握知識，就要溫故知新，在學習新知識的同時回顧舊知識，讓學生將新舊知識銜接起來，尤其是知識結(jié)構(gòu)相似的知識內(nèi)容。

（四）培養(yǎng)學生學習的主動性

學習的主體是學生，學生若是不愿意或者排斥學習、厭惡學習，哪怕教師講授再多的知識，教授技能再好，也不能使學生掌握好扎實的基礎(chǔ)知識。

1.合理創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學生的求知欲和好奇心

人們往往是因為好奇心和求知欲才會對某一事物感興趣或者接受某一事物的，因此好奇心和求知欲是促使學生主動學習數(shù)學的動因。好奇心越強，學生越容易接受數(shù)學知識并主動地去學習數(shù)學知識。所以教師要誘發(fā)學生的好奇心和求知欲，激發(fā)學生積極、主動地探索數(shù)學，獲取新知識。

比如，在上課前可以提出一些與學習內(nèi)容相關(guān)的生活問題，留下懸念，調(diào)動起學生的好奇心和求知欲，讓學生了解到數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，在學習新內(nèi)容時，學生就會主動地去探究。

例如，在學習“等比數(shù)列求和公式”時，可以通過這樣一個故事來激發(fā)學生的求知欲和好奇心：傳說，波斯國王第一次玩國際象棋就被深深地迷住了，他下令要獎賞國際象棋的發(fā)明者，并讓受獎?wù)咦约禾岢鲆勑┦裁础０l(fā)明者指著國際象棋的棋盤對國王說，令人滿意的賞賜是在棋盤的第一格內(nèi)放上一粒麥子，在第二格內(nèi)放兩粒麥子，第三格內(nèi)放4粒，第四格內(nèi)放8?！催@樣的規(guī)律放滿64格棋盤格。國王反對說，這么一點點麥子算不上什么賞賜，但發(fā)明者認為如此就足夠了。結(jié)果是弄得國王傾盡國家財力還不夠支付。這個故事激起了學生們強烈的好奇心。

2.循序漸進地學習

學習數(shù)學需要長期的知識積累，因此在學習過程中不能急躁，知識的傳授要由淺入深，由易到難，練習題的設(shè)置也是如此。假如一開始就設(shè)置較難的題目，學生解不出來會產(chǎn)生挫敗感，從而失去學習數(shù)學的信心。

例如，在進行正弦、余弦誘導公式的鞏固練習時，可以先從“求cos240°的值”入手。

因為cos240°=cos（180°+60°）=-cos60°=-

在這道例題中，解題步驟比較少，并且能直接套入公式進行計算，對剛學習了新知識的學生來說屬于比較容易的題。在學生熟悉了如何解答這類相對簡單的問題之后，就可以讓他們嘗試較難的綜合題。

例如計算sin（-1071°）·sin99°+sin（-171°）·sin（-261）°的值。

這道題的解答過程為：原式=sin（-3×360°+9°）·sin（180°-81°）+sin171°·sin261°=sin9°·sin81°+sin（180°-9°）·sin（180°+81°）=sin9°·sin81°+sin9°·sin（-81°）=sin9°·sin81°-sin9°·sin81°=0

我們可以看到，這道題解題過程比較繁雜，公式運用比較多，且較為綜合。假如教師在給學生進行鞏固練習時先設(shè)置這道題，由于是新學內(nèi)容，學生無從下手，就會產(chǎn)生“這一節(jié)的內(nèi)容很難”的第一印象，從而容易導致學生對這一節(jié)的內(nèi)容產(chǎn)生排斥感，影響后面內(nèi)容的學習。

二、鼓勵學生大膽猜想和質(zhì)疑

許多數(shù)學概念的形成，都是經(jīng)過各個數(shù)學家們不斷去猜想——探索——實踐而形成的，而猜想往往是新知識產(chǎn)生的源泉。作為教師，應(yīng)當鼓勵學生大膽地去猜想，去假設(shè)，去探索，去實踐。

例如有這樣一道題：假設(shè)要從裝著一堆白色與紅色襪子的盒子中拿出一對，至少需要拿出多少只才能保證拿出一雙襪子？若是你的盒子里有白、紅、藍3種顏色的襪子，至少要拿出多少只襪子才能配出一雙襪子？假若你盒子里有N種顏色的襪子呢？endprint

在第一個問題中，隨機拿出2只襪子，就有以下3種可能：2只白色，2只紅色，1只紅色1只白色。因為有1白1紅的可能存在，所以并不能保證隨意拿出2只，就能湊一雙。那么再拿出1只來，就出現(xiàn)以下4種可能：3只白色，3只紅色，2白1紅，1白2紅，就能夠保證一定能夠配成一雙襪子。因此，在襪子顏色只有2種時，需要拿出至少3只的襪子才能保證一定能夠配成一雙襪子。在發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律后，就可以作出大膽的猜想：當有3種顏色的襪子時，至少需要拿出4只襪子才能保證拿出一對襪子，當有N種顏色的襪子時，至少要拿出（N+1）只襪子才能配出一雙襪子。提出了猜想之后，接下來就是去驗證自己的猜想是否正確。

教學中教師要有意識地設(shè)計類似的、可供學生進行“觀察—猜想—試驗—得出結(jié)論”的情境和題目，不斷訓練學生大膽猜想和驗證的能力。長期處在這樣一個氛圍中，學生會逐步形成思考問題的自覺性，哪怕教師不再特意提供猜想的情境，學生也能自己去創(chuàng)設(shè)、猜想新的結(jié)論，并自覺進行驗證。

在學生進行猜想和假設(shè)的過程中，需要注意的是，教師切忌打擊學生提問和質(zhì)疑的積極性和自信心。現(xiàn)代化教學要摒棄傳統(tǒng)教學中教師的“權(quán)威”，不能以教師為中心，忽略學生的想法。所謂一千個讀者就有一千個哈姆雷特，學生在學習的過程中也可能會對某道題目或者某個概念有不同的見解，當他們提出自己的想法和質(zhì)疑時，教師不要認為學生挑戰(zhàn)了教師的“權(quán)威”，武斷地否定學生的思考，強迫學生接受自己的主觀意見，而是應(yīng)當仔細傾聽并分析學生的看法。若是他們提出的看法是正確的，要及時給予鼓勵和表揚；若是他們提出的看法不正確，在及時糾正錯誤的同時也要耐心解釋其錯誤之處，并肯定其主動質(zhì)疑的態(tài)度，鼓勵他們更多地提出想法，促進他們創(chuàng)造性思維的塑造。

三、培養(yǎng)學生的觀察力和發(fā)現(xiàn)問題的能力

數(shù)學教學中要注重培養(yǎng)學生敏銳的觀察能力和發(fā)現(xiàn)問題的能力。在以正常思維無法或者難以解決問題的時候，就要換一個角度去觀察和理解題目，搜集隱藏在題目中細微的線索，才能讓閉塞的思維頓開，從而根據(jù)所提取出的線索找到相應(yīng)的方法解題。

例：求（sin1°+cos1°）·（sin2°+cos2°）……（sin180°+cos180°）的值。在這道題中，若是用傳統(tǒng)、常規(guī)的方法解答，即將sinx和cosx一個一個先求出來，再將它們求和相乘，這樣的算法既耗費大量時間，又容易出錯。仔細觀察式子，并動手分別畫出sinx和cosx的圖象（如圖1）：

仔細觀察圖象，不難發(fā)現(xiàn)，在90°≤x≤180°的范圍內(nèi)，sinx≥0，cosx≤0且有角x=135°使sinx=-cosx，抓住這一解題關(guān)鍵，再去除繁雜的信息，就能迅速地解決問題。當然，若是學生對各個特殊角的正、余弦函數(shù)的值記憶清晰且牢固，他可以無需畫圖，只要仔細觀察式子，便能直接得出以上結(jié)論。因此敏銳的觀察力和發(fā)現(xiàn)問題的能力是創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的前提，它們能讓學生迅速地發(fā)現(xiàn)和挖掘出新的思路。那么，如何培養(yǎng)學生的觀察力呢？

（一）觀察時要從整體進入細節(jié)

一個事物是存在于表象與內(nèi)在的，整體和細節(jié)相互獨立又相互聯(lián)系。觀察不能只停留在對表象的觀察，要觀察到內(nèi)里，特別要注意細節(jié)。學生往往容易因為忽略了細節(jié)問題而導致對題目對知識的理解出現(xiàn)偏差，從而導致解題難以入手，或解題出錯。

例：將大小形狀質(zhì)地相同的3個黑球和4個白球排成一排，問共有多少種排法？

學生很容易將這道題誤認為是7個小球的全排列。這些“馬虎”的學生忽略了一個問題：這3個黑色小球是完全相同的，這4個白色小球也是完全相同的，因此同色球之間互換位置屬于同一種排法，故而在解決這道題時，應(yīng)該先從7個位置中選出3個位置給黑球（或者4個位置白球），剩下的位置就是白球（或者黑球）的，因為這3個黑球（或者4個白球）是完全相同的，因此這里不存在順序問題，只屬于組合問題，因此在這個問題中共有C37=35種排法。

（二）培養(yǎng)比較觀察的能力

比較法是認識事物的重要方法之一，通過比較法能快速看出事物的本質(zhì)與非本質(zhì)、共同點與不同點及其相互之間的聯(lián)系，而我們往往也是在比較事物的過程中發(fā)現(xiàn)新的事物。

在比較同一事物時，既要觀察出事物在各階段的特點，又要比較觀察出事物在各個階段的異同點，特別是特殊情況下事物所呈現(xiàn)的特點。例如在學習二次函數(shù)圖象和性質(zhì)時，要求學生能通過觀察分析二次函數(shù)的圖象，總結(jié)歸納出二次函數(shù)的性質(zhì)特點，以及各個階段上y值的變化。

而在比較不同事物時，則注重觀察找出不同事物間的差異和聯(lián)系。例如排列和組合的比較，如表1所示：

在學習排列組合這一章節(jié)時，要讓學生分清排列和組合的不同點，使學生能準確辨析題目所求的是排列還是組合，或者是綜合應(yīng)用，這就要求學生要能夠仔細觀察，總結(jié)歸納出排列、組合之間的區(qū)別和聯(lián)系。

正是因為在比較的過程中要求學生對事物進行充分的觀察和辨析，判斷出事物的異同點和相互之間的聯(lián)系，從而能夠準確區(qū)分出各個不同的事物，因此培養(yǎng)學生比較的能力是提高學生觀察力的重要途徑。

四、培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學的重要思想之一，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合思想也是創(chuàng)造性思維塑造的重要途徑。眾所周知，數(shù)學具有很強的抽象性。要想去理解和記憶抽象的東西，就需要我們把抽象的東西形象化、具體化。我國著名數(shù)學家華羅庚也曾有詩曰：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠聯(lián)系莫分離?！边@充分說明了數(shù)形結(jié)合的重要性。

在前面舉出的三角函數(shù)的例子中，只要學生對特殊角的正、余弦函數(shù)值記憶牢固，不畫圖就可以得出結(jié)論。但是，數(shù)學知識領(lǐng)域廣泛，不畫圖就難以解答的題目不在少數(shù)，尤其是幾何，例如：在正方體ABCD-A1B1C1D1中：（1）求BC1與B1D1所成的角的大??；（2）若E、F分別為AB、AA1的中點，求C1D與EF的位置關(guān)系。endprint

為了方便理解和查看，我們把題中（1）和（2）的圖形所需要添加的輔助線分開畫。首先，我們來看（1），（1）問的解答如下：依題意，做正方體ABCD-A1B1C1D1，如圖2：

連結(jié)BD，DC1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方體，可知BD∥B1D1，從而BC1與B1D1所成的角就是BD與BC1所成的角，由于BC1，BD，C1D分別是正方體ABCD-A1B1C1D1三個面正方形BCC1B1、正方形ABCD、正方形CDD1C1上的對角線，∴BC1=BD=C1D，△AB1C是等邊三角形，∠DBC1=60°，即BC1與B1D1所成角為60°。

（2）解答如下：依題意，作圖（如圖3）：

連結(jié)AB1、EF、A1B、C1D，∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，DC1∥AB1，又E、F分別為AB、AA1中點，∴EF∥A1B，則BD與AC，∵AB1⊥A1B，AB1⊥EF，∴EF⊥C1D，故A1C1與EF的位置關(guān)系是：相互垂直。

我們可以看到，這道題目對于學過幾何的學生來說并不十分難，傳統(tǒng)的解法就能夠把答案求出來，只要學生能把圖畫出來，已知和所求就能清晰地展現(xiàn)在我們面前。但是若是不畫圖，這道題就會顯得十分抽象，線與線之間的關(guān)系，角與角之間的關(guān)系就不清晰，容易混亂，因此在數(shù)學中，數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)十分重要。而數(shù)形結(jié)合的基本途徑和方法就是幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題幾何化。

五、注重培養(yǎng)學生的發(fā)散思維

美國著名心理學家吉爾福特認為，思維分為復合思維和發(fā)散思維兩種，并認為創(chuàng)造性思維的核心就是發(fā)散思維，并用發(fā)散思維的流暢性、變通性、獨特性的好壞來衡量創(chuàng)造性的高低，因此在塑造創(chuàng)造性思維的過程中，要注重培養(yǎng)和發(fā)展發(fā)散思維。

（一）通過一題多解能力培養(yǎng)思維的流暢性

所謂發(fā)散思維的流暢性，指的是創(chuàng)造性高的人，他們在短時間內(nèi)能夠反應(yīng)迅速并且想到的關(guān)聯(lián)事物也較多。通俗來說，例如成語接龍：一蹴而就，就事論事，事在人為，為人師表……能接上的詞語越多，說明思維的流暢性越好。在數(shù)學中，我們將組成詞語的數(shù)量等價于解題方法的數(shù)量，即我們可以通過想到的解題方法的數(shù)量去判斷發(fā)散思維的流暢程度。即想到的解法越多，說明發(fā)散思維的流暢性越好。

例如雞兔同籠問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？這個題目有很多種算法：

解法1：我們用《孫子算法》里的砍腳法，先分別砍去兔子和雞2只腳，籠子里的腳就少了動物的頭數(shù)×2（即35×2）只腳，因為雞只有2只腳，所以此時雞沒有腳，而兔子還剩兩只腳，由此得出兔子腳數(shù)為94-35×2只，故兔子數(shù)是兔腳的總數(shù)的一半，即（94-35×2）÷2=12只，雞數(shù)=總頭數(shù)-兔子頭數(shù)，即35-12=23只。

解法2（一元一次方程解法）：設(shè)兔子有x只，則雞有35-x只；

依題意有：4x+2×（35-x）=94；

解方程有：x=12（只），35-12=23（只），即兔子有12只，雞有23只。

解法3（二元一次方程組解法）：設(shè)兔子有x只，雞有y只，依題意有x+y=35

4x+2y=94

解方程組有x=12只，y=23只，即兔子有12只，雞有23只。

此題并不只局限于以上三種解法，其他的解法在此不再一一列舉。就以這道題為例，只想到一種解法的學生說明思維的流暢性較差，想到兩種解法的學生次之，以此類推，想到的解法越多，說明該生思維的流暢性越好。

（二）通過一題多變培養(yǎng)思維的變通性

所謂變通性，是指思維的靈活性。變通性強意味著能觸類旁通、舉一反三。同樣舉個例子：要求在5分鐘內(nèi)列出水的用途，若是學生列出的用途中都是榨蘋果汁、榨葡萄汁、榨番石榴汁等這些變化范圍不大的例證，說明其變通性差，但若是能列出種植、榨果汁、清洗物品、發(fā)電、觀賞等變化范圍大的例證，則說明變通性越好。這在數(shù)學中反應(yīng)為一題多變的能力。類比來說，就是一道題，能列舉出多種性質(zhì)不同的變化越多，說明變通性越好。一題多變的形式有命題條件與結(jié)論的互換、命題的推廣、圖形變換、變換條件而結(jié)論不變等。創(chuàng)造性思維要求思維能夠靈活變通，轉(zhuǎn)換自如。因此培養(yǎng)思維的變通性也是培養(yǎng)和發(fā)展發(fā)散思維的重要手段之一。

例如：如圖4所示，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，問圖中有多少對相似三角形？分別是哪些？為什么？

這道題主要考查相似三角形的問題，此題可以如下變式：

①對三角形角度的考查：如與∠CBA互余的角有哪些。

②對三角形邊的考查：如已知過D有DM⊥AC于M，問DM和BC有什么關(guān)系。

③對三角形面積的考查：如若BC=3，AC=4，AB=5，求△BCD的面積。

④對勾股定理的考查：如求證AC2+BC2=AB2。

⑤對全等三角形的考查：如已知過D有DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，求證：△CDM≌△CDN。

⑥對三角形內(nèi)切圓、外接圓的考查：如△ABC內(nèi)切的面積是多少。

⑦特殊三角形的考查：如若AC=AB，求證△ACD和△BCD的關(guān)系。

⑧條件結(jié)論互換：如已知直角△ABC中，∠ACB=90°.過點C作直線交AB于D，△ABC∽△BCD，問CD與AB有什么關(guān)系？

這道題能變化的內(nèi)容和方式還有很多種，有興趣的老師可以繼續(xù)研究和補充。

通過研究，數(shù)學創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)可從幫助學生掌握扎實的基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)學生觀察力、發(fā)散思維和數(shù)形結(jié)合的運用能力，鼓勵學生大膽猜想等方面入手，但如何培養(yǎng)學生活躍的思維能力和思維的獨特性仍需要繼續(xù)深入研究。

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【基金項目：廣西高等教育教學改革工程項目——以創(chuàng)新研究型數(shù)學教師培養(yǎng)為導向、構(gòu)建教師教育實踐教學模式的探索與實踐（2012JGA162）；廣西研究生教育創(chuàng)新計劃資助項目——以“導師合作共同體”創(chuàng)立為平臺，提升研究生導師團隊指導能力的實踐與研究（JGY2014092）.】

（責編 黃珍平）endprint